Ecklösung des Maximierungsproblems
On Februar 18, 2021 by adminAntwort
Hallo, ich lade die eigentliche Frage mit meiner 8-seitigen Antwort hoch. Bitte können Sie es überprüfen. Gibt es eine Eckauflösung für $ c = \ gamma $ ? Bitte teilen Sie Ihre Ideen. Vielen Dank.
Kommentare
- X-posted: math.stackexchange.com/q/3405439/339790
- Woher wissen Sie, dass ' eine Ecklösung ist?
- @Art nichts. Ich löse nur seine inneren Lösungen. Aber ich habe gelernt, dass ich auch die Ecklösungen finden muss. Aber ich weiß nicht (keine Ahnung), wie ich eine Ecklösung finden soll. Können Sie mir bitte helfen?
- ´ Haben wir hier keine Gleichung als Einschränkung, $ h + l = T $?
- Dies ist möglicherweise eine großartige Frage, aber derzeit stimme ich ' dafür, diese Frage als nicht zum Thema gehörend zu schließen, da sie nicht den Richtlinien der Website für Heimarbeit entspricht: " Veröffentlichen Sie nicht nur einen Scan oder ein Bild der gesamten Frage oder Ihrer versuchten Antwort. Geben Sie Ihre Frage und die Arbeit, die Sie ' ausgeführt haben, als Text ein. "
Antwort
Hier ist die Formulierung des Problems: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h, l} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta l + \ theta h \\ \ text {st} & l + h = 1, \\ & c \ leq \ omega h + \ rho, \\ \ text {und} & l, h \ geq 0, c \ geq \ gamma \ end {eqnarray *}
Ersetzen von $ l = 1 – h $ können wir das obige Problem wie folgt umschreiben: \ begin {eqnarray *} \ max_ {c, h} \ & \ ln (c – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {und} & \ gamma \ leq c \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}
Da der Nutzen in zunimmt $ c $ , $ c = \ omega h + \ rho $ wird optimal gehalten. So können wir das Problem weiter reduzieren auf:
\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & 0 \ leq h \ leq 1 \\ \ text {und} & \ gamma \ leq \ omega h + \ rho \ end {eqnarray *}
Bitte beachten Sie dies Wir gehen davon aus, dass $ \ omega + \ rho \ geq \ gamma $ . Dies liegt daran, dass $ \ omega + \ rho < \ gamma $ gibt es keine praktikable Lösung. Mit anderen Worten, es gibt keine $ h $ Erfüllung der Einschränkungen.
Um dieses Problem zu lösen, werden zwei Fälle betrachtet:
- Fall 1 : $ \ rho \ geq \ gamma $
In diesem Fall kann das Problem auftreten geschrieben werden als:
\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ & \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {s.t.} & 0 \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}
Ableitung des Ziels in Bezug auf $ h $ ist $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ ergibt die folgende Lösung:
\ begin {eqnarray *} h = \ begin {case} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ Text {if} \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {sonst} \ end {case} \ end {eqnarray *}
- Fall 2 : $ \ rho < \ gamma $
In diesem Fall kann das Problem wie folgt geschrieben werden:
\ begin {eqnarray *} \ max_ {h} \ \ ln (\ omega h + \ rho – \ gamma) + \ beta + (\ theta – \ beta) h \\ \ text {st} & \ frac {\ gamma – \ rho} {\ omega} \ leq h \ leq 1 \ end {eqnarray *}
Ableitung des Ziels in Bezug auf $ h $ ist $ \ frac {\ omega} {\ omega h + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) $ ergibt die folgende Lösung:
\ begin {eqnarray *} h = \ begin {case} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {sonst} \ end {case} \ end {eqnarray *}
Wenn wir die beiden Fälle kombinieren, können wir die Lösung wie folgt schreiben:
\ begin {eqnarray *} h = \ begin {case} 1 & \ text {if} \ frac {\ omega} {\ omega + \ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ geq 0 \\ 0 & \ text {if } \ frac {\ omega} {\ rho – \ gamma} + (\ theta – \ beta) \ leq 0 \ text {und} \ rho \ geq \ gamma \\ \ frac {1} {\ beta – \ theta} – \ frac {\ rho – \ gamma} {\ omega} & \ text {sonst} \ end {case} \ end {eqnarray *}
Verwenden von $ c = \ omega h + \ rho $ und $ l = 1 -h $ In jedem Fall können wir optimale Werte für $ c $ und $ l $ erhalten.
Kommentare
- Ich weiß nicht, wie ich Ihnen danken soll !! Du bist der Beste und deine Lösung ist so clever und perfekt !! Nochmals vielen Dank Amit
Antwort
Die Ecklösung lautet nicht $ c = a $ kann es nicht sein, weil der Grenznutzen selbst eines winzigen Teils des Verbrauchs dort unbegrenzt ist. Sie können jedoch eine Ecklösung haben, bei der $ h = 0 $ . Da der Agent ein arbeitsfreies Einkommen hat $ p $ , hat die Haushaltslinie einen Knick. Das heißt, wenn der Agent auch ohne Arbeit viel Einkommen erhält, kann er sich dafür entscheiden, nicht zu arbeiten und die Freizeit in vollen Zügen zu genießen.
Nach dem Auflösen nach dem optimalen $ l $ , $ c $ und $ h $ Ich bin sicher, dass der optimale $ h $ durch die Differenz zwischen zwei Begriffen definiert wird. Da Sie keine negativen Stunden arbeiten können, tritt die Ecklösung immer dann auf, wenn Ihre Gleichung für $ h $ negativ wird.
Wenn Sie sich nicht sicher sind, was ich meine, aktualisieren Sie einfach Ihre Frage mit den tatsächlichen Formeln, die Sie erhalten haben. Ich kann weitere Kommentare abgeben und Sie bei der Suche nach der Ecklösung unterstützen.
Kommentare
- Ja, ich konnte für $ c = a $ nicht finden. Aber jemand sagt, dass es existiert. Kann ich meine Lösung von Hand hochladen? Weil die Lösung zu lang ist und mein Schreiben sehr gut lesbar und gut ist. Akzeptieren Sie die liebe Regio?
- @ user315 " Kann ich meine Lösung von Hand hochladen? " Ja, Sie können dies tun, indem Sie Ihre Frage bearbeiten.
- Vielen Dank …
- @callculus, den ich hochgeladen habe. Überprüfen Sie bitte das. Und bitte sagen Sie mir, ob es richtig ist oder nicht. Vielen Dank.
- @Regio Ich habe meine Lösung hinzugefügt.
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