Odvodte vektorový gradient ve sférických souřadnicích od prvních principů
On 31 prosince, 2020 by adminPokoušíte se pochopit, kde jsou $ \ frac {1} {r sin (\ theta)} $ a $ 1 / r $ bity přicházejí v definici přechodu .
Odvodil jsem vektory sférických jednotek, ale nyní nechápu, jak transformovat kartézský del na sférický del vůbec. Lidé stále říkají, že používají pravidlo řetězu, ale já to nevidím!
Nějaká pomoc?
Komentáře
- I věřte, že způsob, jak je odvodit ze skutečně prvních principů, by měl zahrnovat stažení metriky z $ \ mathbb {R} ^ 3 $ při vkládání $ S ^ 2 $ … Možná méně zásadní, ale stále uspokojivý způsob, jak dělat věci, je definovat $ x, y, z $ z hlediska $ r, \ theta, \ phi $ a práce odtamtud.
- Chci říct, jak postupujete při převodu kartézského tvaru na sférické póly?
- Byl by math.stackexchange.com lepším domovem pro tuto otázku?
- @Qmechanic V Austrálii se tuto identitu naučíme na univerzitě druhého ročníku Fyzika. Právě teď si pohrávám s derivací sám, protože už vím, jak to udělat pomocí obecného výsledku z čisté matematiky, ale najít derivaci bez použití této úrovně abstrakce by mohlo být zajímavé pro studenta obecné fyziky. nakreslete hranici mezi matematikou a fyzikou? Ne bez lo Myslím, že na koberci je spousta krve.
Odpověď
Požádali jste o důkaz od „prvních zásad „. Pojďme to tedy udělat. Zvýrazním nejběžnější zdroje chyb a později ukážu alternativní důkaz, který nevyžaduje žádnou znalost tenzorového počtu nebo Einsteinovy notace.
Tvrdá cesta
Nejprve konvence souřadnic:
$$ (r, \ theta, \ phi) \ rightarrow (x, y, z) = (r \ sin \ theta \ cos \ phi, \; r \ sin \ theta \ sin \ phi, \; r \ cos \ theta) $$
Stejným způsobem můžeme vyjádřit $ (x, y, z) $ jako $ x \ , \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $, můžeme také vyjádřit $ (r, \ theta, \ phi) $ jako $ r „\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta“ \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi „\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $, ale teď koeficienty nejsou stejné: $ (r „, \ theta“, \ phi „) \ neq (r, \ theta, \ phi) $ obecně. Je to proto, že sférické souřadnice jsou křivočaré , takže základní vektory nejsou ve všech bodech stejné. U malých variant jsou však velmi podobné. Přesněji relativní k bodu $ \ vec {\ mathbf p} _0 = (x, y, z) $, sousední bod $ \ vec {\ mathbf p} _1 = (x + \ Delta x, \; y + \ Delta y, \; z + \ Delta z) $ lze popsat pomocí $ \ Delta \ vec {\ mathbf p} = (\ Delta x, \ Delta y, \ Delta z) $ a ve sférických souřadnicích, pokud je tato variace “ infinitesimal „, pak $ d \ vec {\ mathbf p} = (dr, d \ theta, d \ phi) = dr \, \ mathbf {\ hat e} _r + d \ theta \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + d \ phi \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $. Toto je v podstatě motivace pro definování (nenormalizovaného) základu jako:
$$ \ vec {\ mathbf e} _r = \ frac {\ částečné \ vec {\ mathbf p}} {\ částečné r} , \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ částečné \ vec {\ mathbf p}} {\ částečné \ theta}, \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac { \ částečné \ vec {\ mathbf p}} {\ částečné \ phi} $$
Ale to ještě není normalizováno. Shodou okolností se ukázalo, že $ || \ částečné \ vec {\ mathbf p} / \ částečné r || $ je $ 1 $, ale $ || \ částečné \ vec {\ mathbf p} / \ částečné \ theta || = r $, jak uvidíme.Skutečný základ by tedy měl být definován jako:
$$ \ hat {\ mathbf e} _r = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _r} {|| \ vec {\ mathbf e} _r ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ theta} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ theta ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ phi} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ phi ||} $$
Výslovně:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf e} _r & = \; (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ theta & = \; (& r \ cos \ theta \ cos \ phi &, & r \ cos \ theta \ sin \ phi &, & -r \ sin \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ phi & = \; (& -r \ sin \ theta \ sin \ phi & , & r \ sin \ th eta \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
$$ \ begin {align} || \ vec {\ mathbf e} _r || ^ 2 & = \ sin ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi ) + \ cos ^ 2 \ theta & & = 1 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ theta || ^ 2 & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi) + r ^ 2 \ sin \ theta & & = r ^ 2 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ phi || ^ 2 & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta (\ sin ^ 2 \ phi + \ cos ^ 2 \ phi) & & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r & = \ vec {\ mathbf e} _r & & = & & (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ vec {\ mathbf e} _ \ theta / r & & = & & (& \ cos \ theta \ cos \ phi &, & \ cos \ theta \ sin \ phi &, & – \ sin \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi & = \ vec {\ mathbf e} _ \ phi / (r \ sin \ theta) & & = & & (& – \ sin \ phi &, & \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
Můžete ověřit, že to také tvoří ortogonální základnu (tedy orthonormální). Například:
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r \ cdot \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ sin \ theta \ cos \ theta \ cos ^ 2 \ phi + \ sin \ theta \ cos \ theta \ sin ^ 2 \ phi – \ sin \ theta \ cos \ theta \\ & = 0 \ end {align} $$
To se obecně nemusí dělat.
Chcete-li přejít z jedné sady souřadnic do druhé pomocí základních vektorů, vyřešit:
$$ \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _r \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ cos \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & – \ sin \ theta \\ – \ sin \ phi & \ cos \ phi & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _x \\ \ hat {\ mathbf e} _y \\ \ hat {\ mathbf e} _z \ end {bmatrix} $$
pro $ \ hat {\ mathbf e} _x $, $ \ hat {\ mathbf e} _y $ a $ \ hat {\ mathbf e} _z $ z hlediska $ \ ha t {\ mathbf e} _r $, $ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta $ a $ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi $. Pak může být libovolný vektor $ \ vec {\ mathbf p} = x \, \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $ napsáno ve tvaru $ r „\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta“ \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi „\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $ jednoduchou substitucí. Jelikož tento konkrétní základ je ortonormální, existuje alternativní způsob: jednoduše použijte tečkový součin. Například pro získání $ r „$:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf p} \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r & = r „\, \ mathbf {\ hat e} _r \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta“ \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta \ cdot \ mathbf {\ hat e } _r + \ phi „\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r \\ & = r“ \ end {zarovnat} $$
Nyní k přechodu.Pomocí maticového zápisu můžeme gradient napsat jako vektor řádku a vzorec pro pravidlo řetězu se stane:
$$ \ begin {align} \ vec \ nabla f & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ částečné f} {\ částečné x} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné y} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné z} \ konec {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ částečné f } {\ částečné r} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ theta} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ phi} \ konec {bmatrix} \ začátek {bmatrix} \ frac {\ částečné r} {\ částečné x} & \ frac {\ částečné r} {\ částečné y} & \ frac {\ částečné r} {\ částečné z} \\ \ frac {\ částečné \ theta} {\ částečné x} & \ frac {\ částečné \ theta} {\ částečné y} & \ frac {\ částečné \ theta} {\ částečné z} \\ \ frac {\ částečné \ phi } {\ částečné x} & \ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné y} \ frac {\ parciální \ phi} {\ parciální z} \ end {bmatrix} \ end {align} $$
Zavolat matici vpravo $ J $ (it „s Jacobian matrix ). Všimněte si, že to funguje i obráceně:
$$ \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ theta} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ phi} \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} \ frac {\ částečné f} {\ částečné x} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné y} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné z} \ konec {bmatrix} \ začátek {bmatrix} \ frac {\ částečné x} {\ částečné r} & \ frac {\ částečné y } {\ částečné r} & \ frac {\ částečné z} {\ částečné r} \\ \ frac {\ částečné x} {\ částečné \ theta} & \ frac {\ částečné y} {\ částečné \ theta} & \ frac {\ částečné z} {\ částečné \ theta} \\ \ frac { \ částečné x} {\ částečné \ phi} & \ frac {\ částečné y} {\ částečné \ phi} & \ frac { \ částečné z} {\ částečné \ phi} \ konec {bmatrix} $$
A tuto další matici zavoláme $ J „$. První rovnici můžeme převrátit na get $ \ vec \ nabla f \, J ^ {- 1} = \ vec \ nabla f \, J „$ $ \ Rightarrow $ $ \ vec \ nabla f \, \ left (J ^ {- 1} -J“ \ right) = 0 $. Protože toto funguje pro libovolný $ f $, máme $ J ^ {- 1} – J „= 0 $ $ \ Rightarrow $ $ J“ = J ^ {- 1} $. Důležitým důsledkem je, že obecně:
$$ \ frac {\ částečné a} {\ částečné b} \ neq \ vlevo (\ frac {\ částečné b} {\ částečné a} \ pravé) ^ {- 1} $$
Zdá se, že OP udělal tuto chybu v komentáři , což matoucí $ \ partial r / \ partial x $ s $ (\ částečné x / \ částečné r) ^ {- 1} = 1 / (\ sin \ theta \ cos \ phi) $, jako by tomu bylo v případě, kdybychom používali pravidelné (místo částečných) derivací.
Nyní máme dva způsoby výpočtu matice $ J $. Přímo nebo nejprve výpočtem $ J „$ a poté jeho převrácením. Pojďme to udělat přímo.„Budeme potřebovat výrazy pro $ r $, $ \ theta $ a $ \ phi $, pokud jde o $ x $, $ y $ a $ z $ (pro jiné souřadnicové systémy to může být velmi obtížné získat) :
$$ \ begin {align} r & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \\ \ theta & = \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right) \\ \ phi & = \ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right) \ end {align} $$
Dílčí deriváty jsou:
$$ \ begin {align} \ frac {\ částečné r} {\ částečné x} & = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ částečné y} & = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ frac {\ částečné r} {\ částečné z} & = \ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ cos \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ frac {\ par tial \ theta} {\ částečné x} & = \ frac {zx} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ vlevo (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} \\ \ frac {\ částečné \ theta} {\ částečné y} & = \ frac {zy} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ vlevo (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} \\ \ frac {\ částečné \ theta} {\ částečné z} & = – \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r} \ end {align} $ $
$$ \ begin {align} \ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné x} & = – \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné y} & = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné z} = 0 & & = 0 \ end {align} $$
Naše Jacobian is then:
$$ J = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} & \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} & – \ frac {\ sin \ phi} {r} \\ – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} & \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} & 0 \ end {bmatrix} $$
Alternativně jsme mohli vypočítat inverzní Jacobian (který je přímočarý) a poté jej převrátit (což je noční můra).Můžeme použít Wolfram Alpha k potvrzení, že poskytuje stejný výsledek:
Nakonec použijeme bodový produkt k vyhledání koeficientů $ r „$, $ \ theta“ $ a $ \ phi „$:
$$ r“ = \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r = \ begin {bmatrix} \ frac {\ částečné f} {\ částečné r } & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ theta} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ phi } \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ cos \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac { \ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ phi} \ konec {bmatrix} \ začátek {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ konec {bmatrix} = \ frac {\ částečné f} {\ částečné r} $$
$$ \ theta „= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ theta = \ begin {bmatrix} \ frac {\ částečné f} {\ částečné r} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ theta} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ phi} \ konec {bmatrix} J \ začátek {bmatrix} \ cos \ theta \ cos \ phi \\ \ cos \ theta \ sin \ phi \\ – \ sin \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ parciální f} {\ parciální r} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ theta} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ phi} \ konec { bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 / r \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {r} \ frac {\ parciální f} {\ parciální \ theta} $$
$$ \ phi „= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ phi = \ begin {bmatrix} \ frac {\ částečné f} {\ částečné r} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ theta} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ phi} \ konec {bmatrix} J \ begin {bmatrix} – \ sin \ phi \\ \ cos \ phi \\ 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ částečné f} {\ částečné r} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ theta} & \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ phi} \ konec {bmatrix} \ begin {bmatrix } 0 \\ 0 \\ 1 / (r \ sin \ theta) \ end {b matrix} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ parciální f} {\ parciální \ phi} $$
Proto:
$$ \ vec \ nabla f = \ frac {\ částečný f} {\ částečný r} \ mathbf {\ hat e} _r + \ frac {1} {r} \ frac {\ částečný f} {\ částečný \ theta} \ mathbf {\ klobouk e} _ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ částečný f} {\ částečný \ phi} \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $$
Mnohem lepší způsob
Budeme potřebovat novou notaci, abychom nemuseli používat různá písmena například pro $ x $, $ y $ a $ z $. Místo toho nechme použít indexy od $ 1 $ do $ 3 $. U kartézských souřadnic použijeme písmeno $ x $ a u sférických souřadnic použijeme písmeno $ r $. Následující text by měl být vysvětlující:
$$ \ vec {\ mathbf p} = \ sum_i x_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_k r_k \ mathbf {\ hat r} ^ k $$
Z definice základních vektorů:
$$ \ mathbf {\ vec r} ^ k = \ frac {\ částečné \ vec {\ mathbf p}} {\ částečné r_k}, \ quad \ mathbf {\ klobouk r} ^ k = \ frac {\ mathbf {\ vec r} ^ k} {|| \ mathbf {\ vec r} ^ k ||} = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ částečný \ vec {\ mathbf p}} {\ částečné r_k} $$
Kde $ h_k \ triangleq || \ mathbf {\ vec r} ^ k || $. Rozšiřování v základu $ x $:
$$ \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac {\ částečné x_j} {\ částečné r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j $$
Nyní je přechod pouze:
$$ \ vec \ nabla f = \ mathbf {\ vec F} = \ sum_i F_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_i \ frac {\ parciální f} {\ parciální x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i $$
Získání $ k $ „té komponenty ve sférických souřadnicích ($ F“ _k $) , použijte tečkový produkt:
$$ \ begi n {align} F „_k & = \ mathbf {\ vec F} \ cdot \ mathbf {\ hat r} ^ k \\ & = \ left (\ sum_i \ frac {\ částečné f} {\ částečné x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i \ right) \ cdot \ left (\ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac { \ částečné x_j} {\ částečné r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j \ pravé) \\ & = \ frac {1} {h_k} \ sum_i \ frac {\ částečné f} {\ částečné x_i} \ frac {\ částečné x_i} {\ částečné r_k} \\ & = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ částečné f} {\ partial r_k} \ end {align} $$
a jsme hotovi.
Komentáře
- Děkujeme tak moc! Vyčistilo mi to spoustu zmatku v hlavě, zejména rozdíl mezi jakobiánem a změnou základní matice, které jsou podobné tvarem a myšlenkou a dost matoucí. Děkuji také za to, že jsem otevřel oči ohledně rozdílu mezi souřadnicemi a složkami.
- Mimochodem, bude poslední vzorec platit i pro neortogonální základny?
- @JonasDaverio Ne, protože tečkované produkty poskytují pouze ortogonální projekce. Když se podíváte na koeficienty $ \ frac {1} {h_k} \ frac {\ částečné x_j} {\ částečné r_k} $, můžete to napsat jako matici. Obecně musíte ‚ použít inverzní transpozici. V ortogonálním případě je inverzní transpozice shodná s vlastní maticí.
- Ach ano, ‚ mluvíte o metrickém tenzoru, je to zápis? Jelikož je úhlopříčka pro ortogonální základny, inverze zůstává úhlopříčka.
- Velmi dobře odpověděl.‘ nevím, proč tato odpověď není ‚ t nahoře
Odpověď
Bereme: $$ x = r \ cos \ theta \ cos \ phi $$ $$ y = r \ cos \ theta \ sin \ phi $$ $ $ z = r \ cos \ theta $$
Nyní znáte definici přechodu v kartézských souřadnicích: $ \ vec {\ nabla} = \ frac {\ částečné} {\ částečné x} \ klobouk {x} + \ frac {\ částečný} {\ částečný y} \ klobouk {y} + \ frac {\ částečný} {\ částečný z} \ klobouk {z} $
Nyní použijeme pravidlo řetězu nebo každá složka. Například $$ \ frac {\ částečné} {\ částečné x} = \ frac {\ částečné r} {\ částečné x} \ frac {\ částečné} {\ částečné r} + \ frac {\ částečné \ theta} { \ částečné x} \ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta} + \ frac {\ částečné \ phi} {\ částečné x} \ frac {\ částečné} {\ částečné \ phi} $$
Po spoustě těžkopádné algebry získáte správný tvar.
Komentáře
- Ano, toto je úroveň I ‚ m. Ale nemohu ‚ získat rozumnou odpověď!
- Jaká část se pokazí?
- Dostanu $ \ frac {\ částečné} { \ částečné x} = \ frac {1} {sin (\ theta) cos (\ phi)} \ frac {\ částečné} {\ částečné r} + \ frac {1} {cos (\ theta) cos (\ phi) } \ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta} – \ frac {1} {sin (\ theta) sin (\ phi)} \ frac {\ částečné} {\ částečné \ phi} $!
- A jak se potom nahradí vektory klobouků?
- měli byste vyjádřit $ r, \ theta, \ phi $ pouze v $ x, y, z $
Odpověď
Vyplývá to z obecné definice přechodu jako $$ \ langle \ nabla f (p) | v \ rangle = d_pf ( v) = \ sum_i \ levý. \ frac {\ částečný f} {\ částečný x ^ i} \ pravý | _pdx ^ i (v) $$, kde p je bod v prostoru a va vektor v tečném prostoru. Součet je nad základními vektory tečného prostoru. Můžete zkusit tento výraz rozšířit a získat konečný výsledek pro komponentu $ i $ $$ (\ nabla f) _i = \ frac {1} {h_i} \ frac {\ parciální f} {\ parciální x ^ i} $ $ Toto je nejužitečnější vzorec. Množství $ h_i $ je modulem $ i $ th tangenta vektoru.
Příklad: chcete vypočítat přechod ve sférických souřadnicích. Základ tečného prostoru je $ \ {\ frac {\ částečné} {\ částečné r}, \ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta}, \ frac {\ částečné} {\ částečné \ phi} \} $ . Vzhledem k tomu, že $$ \ begin {split} \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | ^ 2 & = \ left \ | \ frac {\ částečné x} {\ částečné \ theta} \ frac {\ částečné} {\ částečné x} + \ frac {\ částečné y} {\ částečné \ theta} \ frac {\ částečné} {\ částečné y} + \ frac {\ částečné z} {\ částečné \ theta} \ frac {\ částečné} {\ částečné z} \ pravé \ | ^ 2 \\ & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ částečné} {\ částečné x} \ pravé \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ sin ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ částečné} {\ částečné y} \ pravé \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} \\ & = r ^ 2 \ end {split} $ $ Tak dostaneme $$ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta} \ pravé \ | = r $$ Ve stejném duchu můžete vypočítat, že $$ h_r = 1 \ quad \ text {and} \ quad h_ \ phi = r \ sin \ theta $$, což nám dává gradient ve sférických souřadnicích $$ \ nabla f = \ frac {\ částečné f} {\ částečné r} \ hat e_r + \ frac {1} {r} \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ theta} \ hat e_ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ částečné f} {\ částečné \ phi} \ hat e_ \ phi $$
Důkaz pro první krok
Rozbalte vektor $ | \ nabla f \ rangle $ z hlediska základních vektorů $$ | \ nabla f \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i | e_i \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} | \ frac {\ částečný} {\ partial x ^ i} \ rangle $$ Odtud v podstatě pochází faktor $ h_i $. Nyní vezměte $ v = | \ frac {\ částečné} {\ částečné x ^ k} \ rangle $ a vložte jej do prvního výrazu uvedeného výše. Všimněte si, že podle definice duálního vektoru dostaneme $ dx ^ i (| \ frac {\ částečné} {\ částečné x ^ k} \ rangle) = \ delta_k ^ i $. Levá strana je $$ \ begin {split} \ langle f | \ frac {\ částečné} {\ částečné x ^ k} \ rangle & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} \ langle \ frac {\ částečné} {\ částečné x ^ i} | \ frac {\ částečné} {\ částečné x ^ k} \ rangle \\ & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} h_i ^ 2 \ delta_ {ik} \\ & = (\ nabla f ) _kh_k \ end {split} $$ Whreas the right-hand side $$ \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i \ left (| \ frac {\ částečné} {\ částečné x ^ k} \ rangle \ pravé) = \ sum_i \ levé. \ frac {\ částečné f} {\ částečné x ^ i} \ pravé | _p \ delta ^ i_k = \ frac {\ částečné f} {\ partial x ^ k} $$ Porovnáním obou výrazů získáte nárok.
Komentáře
- Skvělá odpověď, mnohem lepší než ta moje. Nicméně si ‚ nejsem jistý, zda je žadateli tato úroveň abstrakce vyhovující (například tečný prostor může být neznámým konceptem).
- Dobrá odpověď , ‚ jsem o této metodě četl už dříve, ale ‚ jsem to zjednodušil a rozumím téměř všemu. Ve skutečnosti jsem to propracoval, když jsem si dovolil vektory sférických jednotek. Jen jedna věc: jak se dostanete od obecné definice nahoře k druhému výrazu? Odkud pochází tento $ h $?
- A proč $ h _ {\ theta} = || \ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta} || $?
- Právě jsem přidal důkaz pro první krok. $ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta} \ pravé \ | $ podle definice, ‚ je to jednoduše modul tečného vektoru $ \ frac {\ částečné} {\ částečné \ theta} $
- @Stan Sleduji kurz GR a zdá se mi, že ‚ nepochopí následující část řešení: Zdá se mi, že zatím chápu, že váš druhý vzorec získá tento faktor $ \ frac {1} {h} $, kvůli faktoru $ \ frac {1} {h ^ 2} $ nejdříve pocházející z metriky a poté faktor h poté, aby bylo možné přejít z tečných vektorů na ortonormální bázi. Modul tangensového vektoru bude vždy pozitivní, že? Pak mohl být nalezen jiný ortonormální základ, kde $ \ phi $ je takové, že theta složka divergence čte $ \ frac {1} {r \, | \ sin \ theta |} $ Jak mohu ověřit, že tak
Napsat komentář