Afled vektorgradient i sfæriske koordinater ud fra de første principper
On december 31, 2020 by adminForsøger at forstå, hvor $ \ frac {1} {r sin (\ theta)} $ og $ 1 / r $ bits kommer i definitionen af gradient .
Jeg har afledt de sfæriske enhedsvektorer, men nu forstår jeg ikke, hvordan man transformerer cartesian del til sfærisk del overhovedet. Folk siger stadig, brug kædereglen, men jeg kan ikke se det!
Har du hjælp?
Kommentarer
- I mener, at måden at udlede dem på fra de første principper burde være at trække metricen tilbage fra $ \ mathbb {R} ^ 3 $, når man indlejrer $ S ^ 2 $ … En måske mindre grundlæggende, men stadig tilfredsstillende måde at gøre ting på, er at definere $ x, y, z $ i form af $ r, \ theta, \ phi $ og arbejde derfra.
- Jeg mener, hvordan skal du konvertere cartesian til sfæriske poler?
- Ville math.stackexchange.com være et bedre hjem for dette spørgsmål?
- @Qmechanic I Australien lærer vi denne identitet på andet års universitet Fysik. Jeg har lige nu rodet med afledningen selv, da jeg allerede ved, hvordan man gør dette ved hjælp af et generelt resultat fra ren matematik, men at finde en afledning uden at bruge dette abstraktionsniveau kan være af interesse for den generelle fysikstuderende. trække grænsen mellem matematik og fysik? Ikke uden en lo t blod på tæppet ville jeg tro.
Svar
Du bad om bevis fra “første principper “. Så lad os gøre det. Jeg vil fremhæve de mest almindelige kilder til fejl, og jeg vil senere vise et alternativt bevis, der ikke kræver noget kendskab til tensor-beregning eller Einstein-notation.
Den hårde måde
For det første koordinatkonventionen:
$$ (r, \ theta, \ phi) \ rightarrow (x, y, z) = (r \ sin \ theta \ cos \ phi, \; r \ sin \ theta \ sin \ phi, \; r \ cos \ theta) $$
På samme måde kan vi udtrykke $ (x, y, z) $ som $ x \ , \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $, vi kan også udtrykke $ (r, \ theta, \ phi) $ som $ r “\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $, men nu koefficienterne er ikke de samme: $ (r “, \ theta”, \ phi “) \ neq (r, \ theta, \ phi) $ generelt. Dette skyldes, at sfæriske koordinater er kurvlinear , så basisvektorerne ikke er de samme på alle punkter. For små variationer er de dog meget ens. Mere præcist i forhold til et punkt $ \ vec {\ mathbf p} _0 = (x, y, z) $, et nabopunkt $ \ vec {\ mathbf p} _1 = (x + \ Delta x, \; y + \ Delta y, \; z + \ Delta z) $ kan beskrives med $ \ Delta \ vec {\ mathbf p} = (\ Delta x, \ Delta y, \ Delta z) $ og i sfæriske koordinater, hvis denne variation er ” uendelig “, derefter $ d \ vec {\ mathbf p} = (dr, d \ theta, d \ phi) = dr \, \ mathbf {\ hat e} _r + d \ theta \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + d \ phi \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $. Dette er grundlæggende motivationen til at definere (unormaliseret) basis som:
$$ \ vec {\ mathbf e} _r = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r} , \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ theta}, \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac { \ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ phi} $$
Men dette er ikke normaliseret endnu. Tilfældigt viser sig at $ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial r || $ viser sig at være $ 1 $, men $ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial \ theta || = r $, som vi vil se.Så det faktiske grundlag skal defineres som:
$$ \ hat {\ mathbf e} _r = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _r} {|| \ vec {\ mathbf e} _r ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ theta} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ theta ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ phi} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ phi ||} $$
Eksplicit:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf e} _r & = \; (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ theta & = \; (& r \ cos \ theta \ cos \ phi &, & r \ cos \ theta \ sin \ phi &, & -r \ sin \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ phi & = \; (& -r \ sin \ theta \ sin \ phi & , & r \ sin \ th eta \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
$$ \ begin {align} || \ vec {\ mathbf e} _r || ^ 2 & = \ sin ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi ) + \ cos ^ 2 \ theta & & = 1 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ theta || ^ 2 & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi) + r ^ 2 \ sin \ theta & & = r ^ 2 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ phi || ^ 2 & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta (\ sin ^ 2 \ phi + \ cos ^ 2 \ phi) & & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r & = \ vec {\ mathbf e} _r & & = & & (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ vec {\ mathbf e} _ \ theta / r & & = & & (& \ cos \ theta \ cos \ phi &, & \ cos \ theta \ sin \ phi &, & – \ sin \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi & = \ vec {\ mathbf e} _ \ phi / (r \ sin \ theta) & & = & & (& – \ sin \ phi &, & \ cos \ phi &, & 0) \ slut {align} $$
Du kan kontrollere, at dette også udgør en ortogonal basis (deraf ortonormal). For eksempel:
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r \ cdot \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ sin \ theta \ cos \ theta \ cos ^ 2 \ phi + \ sin \ theta \ cos \ theta \ sin ^ 2 \ phi – \ sin \ theta \ cos \ theta \\ & = 0 \ end {align} $$
Dette behøver ikke ske generelt.
For at gå fra et sæt koordinater til det andet ved hjælp af basisvektorerne, løse:
$$ \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _r \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi \ end {bmatrix} = \ begynde {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ cos \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & – \ sin \ theta \\ – \ sin \ phi & \ cos \ phi & 0 \ end {bmatrix} \ begynder {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _x \\ \ hat {\ mathbf e} _y \\ \ hat {\ mathbf e} _z \ end {bmatrix} $$
for $ \ hat {\ mathbf e} _x $, $ \ hat {\ mathbf e} _y $ og $ \ hat {\ mathbf e} _z $ udtrykt i $ \ ha t {\ mathbf e} _r $, $ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta $ og $ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi $. Derefter kan enhver vektor $ \ vec {\ mathbf p} = x \, \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $ være skrevet i formen $ r “\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $ ved simpel erstatning. Da dette særlige grundlag er ortonormalt, er der en alternativ måde: brug blot prikproduktet. For eksempel for at få $ r “$:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf p} \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r & = r “\, \ mathbf {\ hat e} _r \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta \ cdot \ mathbf {\ hat e } _r + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r \\ & = r” \ end {align} $$
Nu til gradienten.Ved hjælp af matrixnotation kan vi skrive gradienten som en rækkevektor, og formlen for kædereglen bliver:
$$ \ begin {align} \ vec \ nabla f & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f } {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & \ frac {\ partial r} {\ partial y} & \ frac {\ partial r} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial x} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ phi } {\ partial x} & \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ end {align} $$
Ring til matrixen til højre $ J $ (it “er Jacobians matrix ). Bemærk, at dette også fungerer omvendt:
$$ \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial x} {\ partial r} & \ frac {\ partial y } {\ partial r} & \ frac {\ partial z} {\ partial r} \\ \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \\ \ frac { \ partial x} {\ partial \ phi} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ phi} & \ frac { \ partial z} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} $$
Og kalde denne anden matrix $ J “$. Vi kan vende den første ligning til få $ \ vec \ nabla f \, J ^ {- 1} = \ vec \ nabla f \, J “$ $ \ Rightarrow $ $ \ vec \ nabla f \, \ left (J ^ {- 1} -J” \ højre) = 0 $. Da dette fungerer for en vilkårlig $ f $, har vi $ J ^ {- 1} – J “= 0 $ $ \ Rightarrow $ $ J” = J ^ {- 1} $. En vigtig konsekvens er, at generelt:
$$ \ frac {\ partial a} {\ partial b} \ neq \ left (\ frac {\ partial b} {\ partial a} \ right) ^ {- 1} $$
Det ser ud til, at OP gjorde denne fejl i en kommentar og forvirrede $ \ partial r / \ partial x $ med $ (\ partial x / \ partial r) ^ {- 1} = 1 / (\ sin \ theta \ cos \ phi) $, som det ville være tilfældet, hvis vi brugte almindelige (i stedet for delvise) derivater.
Nu har vi to måder at beregne matrixen $ J $ på. Direkte eller ved at beregne $ J “$ først og derefter vende den om. Lad os gøre det direkte.Vi har brug for udtryk for $ r $, $ \ theta $ og $ \ phi $ i form af $ x $, $ y $ og $ z $ (for andre koordinatsystemer kan dette være meget vanskeligt at få) :
$$ \ begin {align} r & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \\ \ theta & = \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right) \\ \ phi & = \ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right) \ end {align} $$
Delderivaterne er:
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial y} & = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial z} & = \ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ cos \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ frac {\ par tial \ theta} {\ partial x} & = \ frac {zx} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ højre)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & = \ frac {zy} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} & = – \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r} \ end {align} $ $
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} & = – \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} & = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} = 0 & & = 0 \ end {align} $$
Vores Jacobian er så:
$$ J = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} & \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} & – \ frac {\ sin \ phi} {r} \\ – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} & \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} & 0 \ end {bmatrix} $$
Alternativt kunne vi have beregnet den omvendte Jacobian (som er ligetil) og derefter omvendt den (hvilket er et mareridt).Vi kan bruge Wolfram Alpha til at bekræfte, at det giver det samme resultat:
Endelig bruger vi prikproduktet til at finde koefficienterne $ r “$, $ \ theta” $ og $ \ phi “$:
$$ r” = \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r } & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi } \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ cos \ theta \ end {bmatrix} = \ begynder {bmatrix} \ frac { \ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ delvis f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begynder {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {\ partial f} {\ partial r} $$
$$ \ theta “= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ theta = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ cos \ theta \ cos \ phi \\ \ cos \ theta \ sin \ phi \\ – \ sin \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end { bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 / r \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} $$
$$ \ phi “= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ phi = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ begynder {bmatrix} – \ sin \ phi \\ \ cos \ phi \\ 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } 0 \\ 0 \\ 1 / (r \ sin \ theta) \ end {b matrix} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} $$
Derfor:
$$ \ vec \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ mathbf {\ hat e} _r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $$
En meget bedre måde
Vi har brug for en ny notation for at undgå at skulle bruge forskellige bogstaver til f.eks. $ x $, $ y $ og $ z $. Lad os i stedet bruge indekser fra $ 1 $ til $ 3 $. For kartesiske koordinater bruger vi brevet $ x $, og til sfæriske koordinater bruger vi brevet $ r $. Følgende skal være selvforklarende:
$$ \ vec {\ mathbf p} = \ sum_i x_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_k r_k \ mathbf {\ hat r} ^ k $$
Fra definition af basisvektorerne:
$$ \ mathbf {\ vec r} ^ k = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k}, \ quad \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ frac {\ mathbf {\ vec r} ^ k} {|| \ mathbf {\ vec r} ^ k ||} = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k} $$
Hvor $ h_k \ triangleq || \ mathbf {\ vec r} ^ k || $. Udvides på basis af $ x $:
$$ \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j $$
Nu er gradienten bare:
$$ \ vec \ nabla f = \ mathbf {\ vec F} = \ sum_i F_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i $$
For at få $ k $ “th-komponenten i sfæriske koordinater ($ F” _k $) , brug prikproduktet:
$$ \ begi n {align} F “_k & = \ mathbf {\ vec F} \ cdot \ mathbf {\ hat r} ^ k \\ & = \ left (\ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i \ right) \ cdot \ left (\ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac { \ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j \ right) \\ & = \ frac {1} {h_k} \ sum_i \ frac {\ delvis f} {\ partial x_i} \ frac {\ partial x_i} {\ partial r_k} \\ & = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial f} {\ partial r_k} \ end {align} $$
og vi er færdige.
Kommentarer
- Tak så meget! Det ryddede meget forvirring i mit hoved, især forskellen mellem jacobian og ændringen af basismatrix, som er ens i form og idé og temmelig forvirrende. Tak også, fordi du åbnede øjnene for forskellen mellem koordinater og komponent.
- Vil den sidste formel forresten også være tilfældet for ikke-ortogonale baser?
- @JonasDaverio Nej, fordi prikprodukter kun giver retvinklede fremskrivninger. Hvis du ser på koefficienterne $ \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} $, kan du skrive det som en matrix. I det generelle tilfælde skal du ‘ bruge den omvendte transponering af det. I det ortogonale tilfælde er den omvendte transponering tilfældigvis den egen matrix.
- Åh ja, du ‘ taler om den metriske tensor, er det skriv? Da det er diagonalt for ortogonale baser, forbliver det omvendte diagonalt.
- Meget godt besvaret.Jeg ved ikke ‘ hvorfor dette svar ikke er ‘ t øverst
Svar
Vi tager: $$ x = r \ cos \ theta \ cos \ phi $$ $$ y = r \ cos \ theta \ sin \ phi $$ $ $ z = r \ cos \ theta $$
Nu kender du definitionen af gradienten i kartesiske koordinater: $ \ vec {\ nabla} = \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {x} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {y} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {z} $
Nu bruger vi kædereglen eller hver komponent. For eksempel $$ \ frac {\ partial} {\ partial x} = \ frac {\ partial r} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {\ partial \ theta} { \ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $$
Efter masser af besværlig algebra giver dette dig den rigtige form.
Kommentarer
- Ja dette er niveauet I ‘ m kl. Men jeg kan ‘ ikke få et fornuftigt svar!
- Hvilken del går galt?
- Jeg får $ \ frac {\ partial} { \ partial x} = \ frac {1} {sin (\ theta) cos (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {1} {cos (\ theta) cos (\ phi) } \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} – \ frac {1} {sin (\ theta) sin (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $!
- Og hvordan erstattes hatvektorerne?
- du skal udtrykke $ r, \ theta, \ phi $ med kun $ x, y, z $
Svar
Det følger af den generelle definition af gradienten som $$ \ langle \ nabla f (p) | v \ rangle = d_pf ( v) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i (v) $$ hvor p er et punkt i mellemrum og va-vektor i tangentrummet. Summationen er over basisvektorerne i det tangente rum. Du kan prøve at udvide dette udtryk for at få det endelige resultat for komponenten $ i $ $$ (\ nabla f) _i = \ frac {1} {h_i} \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} $ $ Dette er den mest nyttige formel. Mængden $ h_i $ er modulet for $ i $ th tangentvektoren.
Eksempel: du vil beregne gradienten i sfæriske koordinater. Grundlaget for tangentområdet er $ \ {\ frac {\ partial} {\ partial r}, \ frac {\ partial} {\ partial \ theta}, \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \} $ . Siden $$ \ begin {split} \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | ^ 2 & = \ left \ | \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial x} + \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial y} + \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2 \\ & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial x} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ sin ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial y} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ underbrace {\ venstre \ | \ frac {\ partial} {\ partial z} \ højre \ | ^ 2} _ {= 1} \\ & = r ^ 2 \ end {split} $ $ Således får vi $$ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | = r $$ I samme ånd kan du beregne $$ h_r = 1 \ quad \ tekst {og} \ quad h_ \ phi = r \ sin \ theta $$ giver os gradienten i sfæriske koordinater $$ \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ hat e_r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ hat e_ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ hat e_ \ phi $$
Bevis for det første trin
Udvid vektoren $ | \ nabla f \ rangle $ med hensyn til basisvektorer $$ | \ nabla f \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i | e_i \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} \ rangle $$ Dette er dybest set hvor faktoren $ h_i $ kommer fra. Tag nu $ v = | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle $ og indsæt det i det første udtryk, der er givet ovenfor. Bemærk, at vi ved definition af en dobbelt vektor får $ dx ^ i (| \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle) = \ delta_k ^ i $. Venstre side er $$ \ begin {split} \ langle f | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} \ langle \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle \\ & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} h_i ^ 2 \ delta_ {ik} \\ & = (\ nabla f ) _kh_k \ end {split} $$ Whreas den højre side $$ \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i \ left (| \ frac {\ delvis} {\ partial x ^ k} \ rangle \ right) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _p \ delta ^ i_k = \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ k} $$ Ved at sammenligne begge udtryk får du kravet.
Kommentarer
- Fantastisk svar, meget bedre end mit. Imidlertid er jeg ‘ ikke sikker på, at spørgeren er fortrolig med dette abstraktionsniveau (tangent plads kan f.eks. Være et ukendt koncept).
- Godt svar , Jeg ‘ har læst om denne metode før, men du ‘ har gjort det enklere, og jeg forstår næsten det hele. Jeg har faktisk arbejdet igennem dette, når jeg udhugger sfæriske enhedsvektorer. Bare en ting: hvordan kommer du fra den generelle definition øverst til dit andet udtryk? Hvor kommer denne $ h $ fra?
- Og hvorfor gør $ h _ {\ theta} = || \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} || $?
- Jeg har lige tilføjet et bevis for det første trin. $ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | $ pr. definition er det ‘ simpelthen modulet for tangentvektoren $ \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} $
- @Stan Jeg følger et GR-kursus og kan ‘ ikke synes at forstå følgende en del af løsningen: Så vidt jeg synes at forstå indtil videre, får din anden formel denne faktor $ \ frac {1} {h} $ på grund af en faktor $ \ frac {1} {h ^ 2} $ først kommer fra metricen og en faktor h efter det for at skifte fra tangentvektorer til en ortonormal basis. Tangensvektorens modul vil altid være positiv, vil det ikke? Derefter kunne der være fundet et andet ortonormalt grundlag, hvor $ \ phi $ er sådan, at theta-komponenten i divergensen læser $ \ frac {1} {r \, | \ sin \ theta |} $ Hvordan kan jeg bekræfte, at så
Skriv et svar