Leid een vectorgradiënt af in sferische coördinaten van de eerste principes
Geplaatst op december 31, 2020 door adminProbeer te begrijpen waar de $ \ frac {1} {r sin (\ theta)} $ en $ 1 / r $ bits komen in de definitie van gradiënt .
Ik heb de sferische eenheidsvectoren afgeleid, maar nu begrijp ik helemaal niet hoe ik cartesische del in sferische del moet transformeren. Mensen blijven maar zeggen gebruik de kettingregel, maar ik zie het niet!
Alle hulp?
Opmerkingen
- I zijn van mening dat de manier om ze af te leiden uit echt eerste principes zou moeten zijn om de statistiek uit $ \ mathbb {R} ^ 3 $ terug te trekken bij het insluiten van $ S ^ 2 $ … Een misschien minder fundamentele maar nog steeds bevredigende manier om dingen te doen, is het definiëren van $ x, y, z $ in termen van $ r, \ theta, \ phi $ en van daaruit werken.
- Ik bedoel, hoe ga je om met het omzetten van cartesiaanse in bolvormige polen?
- Zou math.stackexchange.com een beter thuis zijn voor deze vraag?
- @Qmechanic In Australië leren we deze identiteit op de tweedejaars universiteit Natuurkunde. Ik ben net zelf aan het rommelen met de afleiding, omdat ik al weet hoe ik dit moet doen met een algemeen resultaat van zuivere wiskunde, maar het vinden van een afleiding zonder dat abstractieniveau te gebruiken, kan interessant zijn voor de algemene natuurkundestudent. de grens trekken tussen wiskunde en natuurkunde? Niet zonder een lo t bloed op het tapijt zou ik denken.
Antwoord
Je vroeg om een bewijs van “eerste principes “. Dus laten we het doen. Ik zal de meest voorkomende bronnen van fouten naar voren halen en ik zal later een alternatief bewijs laten zien waarvoor geen kennis van tensorrekening of Einstein-notatie vereist is.
De moeilijke manier
Ten eerste de coördinatenconventie:
$$ (r, \ theta, \ phi) \ rightarrow (x, y, z) = (r \ sin \ theta \ cos \ phi, \; r \ sin \ theta \ sin \ phi, \; r \ cos \ theta) $$
Op dezelfde manier kunnen we $ (x, y, z) $ uitdrukken als $ x \ , \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $, we kunnen ook $ (r, \ theta, \ phi) $ uitdrukken als $ r “\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $, maar nu de coëfficiënten zijn niet hetzelfde: $ (r “, \ theta”, \ phi “) \ neq (r, \ theta, \ phi) $, in het algemeen. Dit komt doordat sferische coördinaten kromlijnig zijn, dus de basisvectoren zijn niet op alle punten hetzelfde. Voor kleine variaties lijken ze echter erg op elkaar. Preciezer gezegd, relatief ten opzichte van een punt $ \ vec {\ mathbf p} _0 = (x, y, z) $, een buurpunt $ \ vec {\ mathbf p} _1 = (x + \ Delta x, \; y + \ Delta y, \; z + \ Delta z) $ kan worden beschreven door $ \ Delta \ vec {\ mathbf p} = (\ Delta x, \ Delta y, \ Delta z) $ en, in sferische coördinaten, als deze variatie is ” infinitesimal “, dan $ d \ vec {\ mathbf p} = (dr, d \ theta, d \ phi) = dr \, \ mathbf {\ hat e} _r + d \ theta \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + d \ phi \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $. Dit is in feite de motivatie om de (niet-genormaliseerde) basis te definiëren als:
$$ \ vec {\ mathbf e} _r = \ frac {\ partiële \ vec {\ mathbf p}} {\ partiële r} , \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ partieel \ vec {\ mathbf p}} {\ partieel \ theta}, \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac { \ partiële \ vec {\ mathbf p}} {\ partiële \ phi} $$
Maar dit is nog niet genormaliseerd. Toevallig blijkt $ || \ partiële \ vec {\ mathbf p} / \ partiële r || $ $ 1 $ te zijn, maar $ || \ partiële \ vec {\ mathbf p} / \ partiële \ theta || = r $, zoals we zullen zien.Dus de feitelijke basis moet worden gedefinieerd als:
$$ \ hat {\ mathbf e} _r = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _r} {|| \ vec {\ mathbf e} _r ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ theta} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ theta ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ phi} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ phi ||} $$
Expliciet:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf e} _r & = \; (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ theta & = \; (& r \ cos \ theta \ cos \ phi &, & r \ cos \ theta \ sin \ phi &, & -r \ sin \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ phi & = \; (& -r \ sin \ theta \ sin \ phi & , & r \ sin \ th eta \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
$$ \ begin {align} || \ vec {\ mathbf e} _r || ^ 2 & = \ sin ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi ) + \ cos ^ 2 \ theta & & = 1 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ theta || ^ 2 & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi) + r ^ 2 \ sin \ theta & & = r ^ 2 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ phi || ^ 2 & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta (\ sin ^ 2 \ phi + \ cos ^ 2 \ phi) & & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r & = \ vec {\ mathbf e} _r & & = & & (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ vec {\ mathbf e} _ \ theta / r & & = & & (& \ cos \ theta \ cos \ phi &, & \ cos \ theta \ sin \ phi &, & – \ sin \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi & = \ vec {\ mathbf e} _ \ phi / (r \ sin \ theta) & & = & & (& – \ sin \ phi &, & \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
U kunt verifiëren dat dit ook een orthogonale basis vormt (dus orthonormaal). Bijvoorbeeld:
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r \ cdot \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ sin \ theta \ cos \ theta \ cos ^ 2 \ phi + \ sin \ theta \ cos \ theta \ sin ^ 2 \ phi – \ sin \ theta \ cos \ theta \\ & = 0 \ end {align} $$
Dat hoeft in het algemeen niet te gebeuren.
Om van de ene set coördinaten naar de andere te gaan met behulp van de basisvectoren, oplossen:
$$ \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _r \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ cos \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & – \ sin \ theta \\ – \ sin \ phi & \ cos \ phi & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _x \\ \ hat {\ mathbf e} _y \\ \ hat {\ mathbf e} _z \ end {bmatrix} $$
voor $ \ hat {\ mathbf e} _x $, $ \ hat {\ mathbf e} _y $, en $ \ hat {\ mathbf e} _z $ in termen van $ \ ha t {\ mathbf e} _r $, $ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta $ en $ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi $. Elke vector $ \ vec {\ mathbf p} = x \, \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $ kan geschreven in de vorm $ r “\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $ door eenvoudige vervanging. Aangezien deze specifieke basis orthonormaal is, is er een alternatieve manier: gebruik gewoon het puntproduct. Om bijvoorbeeld $ r “$:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf p} \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r & = r “\, \ mathbf {\ hat e} _r \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta \ cdot \ mathbf {\ hat e } _r + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r \\ & = r” \ end {align} $$
Nu naar het verloop.Met behulp van matrixnotatie kunnen we het verloop schrijven als een rijvector en de formule voor de kettingregel wordt:
$$ \ begin {align} \ vec \ nabla f & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partiële f} {\ partiële x} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële y} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële z} \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partiële f } {\ partiële r} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ theta} & \ frac {\ partiële f} {\ partieel \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partieel r} {\ partieel x} & \ frac {\ partieel r} {\ partieel y} & \ frac {\ partiële r} {\ partiële z} \\ \ frac {\ partiële \ theta} {\ partiële x} & \ frac {\ partiële \ theta} {\ partiële y} & \ frac {\ partiële \ theta} {\ partiële z} \\ \ frac {\ partiële \ phi } {\ partiële x} & \ frac {\ partiële \ phi} {\ partiële y} \ frac {\ partiële \ phi} {\ partiële z} \ end {bmatrix} \ end {align} $$
Roep de matrix rechts $ J $ “is de Jacobiaanse matrix ). Merk op dat dit ook andersom werkt:
$$ \ begin {bmatrix} \ frac {\ partiële f} {\ partiële r} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ theta} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ phi} \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partiële f} {\ partiële x} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële y} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële z} \ einde {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partiële x} {\ partiële r} & \ frac {\ partiële y } {\ partiële r} & \ frac {\ partiële z} {\ partiële r} \\ \ frac {\ partiële x} {\ partiële \ theta} & \ frac {\ partiële y} {\ partiële \ theta} & \ frac {\ partiële z} {\ partiële \ theta} \\ \ frac { \ partieel x} {\ partieel \ phi} & \ frac {\ partieel y} {\ partieel \ phi} & \ frac { \ partiële z} {\ partiële \ phi} \ end {bmatrix} $$
En noem deze andere matrix $ J “$. We kunnen de eerste vergelijking omkeren naar haal $ \ vec \ nabla f \, J ^ {- 1} = \ vec \ nabla f \, J “$ $ \ Rightpijl $ $ \ vec \ nabla f \, \ left (J ^ {- 1} -J” \ right) = 0 $. Aangezien dit werkt voor een willekeurige $ f $, hebben we $ J ^ {- 1} – J “= 0 $ $ \ Rightarrow $ $ J” = J ^ {- 1} $. Een belangrijke consequentie is dat in het algemeen:
$$ \ frac {\ partiële a} {\ partiële b} \ neq \ left (\ frac {\ partiële b} {\ partiële a} \ right) ^ {- 1} $$
Het lijkt erop dat het OP deze fout heeft gemaakt in een opmerking , waardoor $ \ Partial r / \ Partial x $ met $ (\ partiële x / \ partiële r) ^ {- 1} = 1 / (\ sin \ theta \ cos \ phi) $, zoals het geval zou zijn als we reguliere (in plaats van partiële) afgeleiden zouden gebruiken.
Nu hebben we twee manieren om de matrix $ J $ te berekenen. Direct of door eerst $ J “$ te berekenen en het dan om te keren. Laten we het direct doen.We hebben de uitdrukkingen voor $ r $, $ \ theta $ en $ \ phi $ nodig in termen van $ x $, $ y $ en $ z $ (voor andere coördinatensystemen kan dit erg moeilijk te verkrijgen zijn) :
$$ \ begin {align} r & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \\ \ theta & = \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right) \\ \ phi & = \ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right) \ end {align} $$
De partiële afgeleiden zijn:
$$ \ begin {uitlijnen} \ frac {\ partiële r} {\ partiële x} & = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ frac {\ gedeeltelijke r} {\ gedeeltelijke y} & = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ frac {\ partiële r} {\ partiële z} & = \ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ cos \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ frac {\ par tial \ theta} {\ gedeeltelijke x} & = \ frac {zx} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} \\ \ frac {\ partiële \ theta} {\ partiële y} & = \ frac {zy} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} \\ \ frac {\ partiële \ theta} {\ partiële z} & = – \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r} \ end {align} $ $
$$ \ begin {align} \ frac {\ partiële \ phi} {\ partiële x} & = – \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partiële \ phi} {\ partiële y} & = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partiële \ phi} {\ gedeeltelijke z} = 0 & & = 0 \ end {align} $$
Onze Jacobiaan is dan:
$$ J = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} & \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} & – \ frac {\ sin \ phi} {r} \\ – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} & \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} & 0 \ end {bmatrix} $$
Als alternatief hadden we de inverse Jacobiaan kunnen berekenen (wat rechttoe rechtaan is) en deze vervolgens omkeren (wat een nachtmerrie is).We kunnen Wolfram Alpha gebruiken om te bevestigen dat het hetzelfde resultaat geeft:
Ten slotte gebruiken we het puntproduct om de coëfficiënten $ r “$, $ \ theta” $ te vinden, en $ \ phi “$:
$$ r” = \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partiële f} {\ partiële r } & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ theta} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ phi } \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ cos \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac { \ partiële f} {\ partiële r} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ theta} & \ frac {\ gedeeltelijk f} {\ partieel \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {\ partiële f} {\ partiële r} $$
$$ \ theta “= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ theta = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partiële f} {\ partiële r} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ theta} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ cos \ theta \ cos \ phi \\ \ cos \ theta \ sin \ phi \\ – \ sin \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partiële f} {\ partiële r} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ theta} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ phi} \ end { bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 / r \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ theta} $$
$$ \ phi “= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ phi = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partiële f} {\ partiële r} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ theta} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} – \ sin \ phi \\ \ cos \ phi \\ 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partiële f} {\ partiële r} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ theta} & \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } 0 \\ 0 \\ 1 / (r \ sin \ theta) \ end {b matrix} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ phi} $$
Daarom:
$$ \ vec \ nabla f = \ frac {\ partiële f} {\ partiële r} \ mathbf {\ hat e} _r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ theta} \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ phi} \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $$
Een veel betere manier
We hebben een nieuwe notatie nodig om te voorkomen dat we verschillende letters moeten gebruiken voor bijvoorbeeld $ x $, $ y $ en $ z $. Laten we in plaats daarvan indices gebruiken van $ 1 $ tot $ 3 $. Voor Cartesiaanse coördinaten gebruiken we de letter $ x $ en voor sferische coördinaten de letter $ r $. Het volgende zou voor zichzelf moeten spreken:
$$ \ vec {\ mathbf p} = \ sum_i x_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_k r_k \ mathbf {\ hat r} ^ k $$
Van de definitie van de basisvectoren:
$$ \ mathbf {\ vec r} ^ k = \ frac {\ partieel \ vec {\ mathbf p}} {\ partiële r_k}, \ quad \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ frac {\ mathbf {\ vec r} ^ k} {|| \ mathbf {\ vec r} ^ k ||} = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partieel \ vec {\ mathbf p}} {\ partiële r_k} $$
Waar $ h_k \ triangleq || \ mathbf {\ vec r} ^ k || $. Uitbreiden in de $ x $ basis:
$$ \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partieel x_j} {\ partieel r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j $$
Nu is het verloop gewoon:
$$ \ vec \ nabla f = \ mathbf {\ vec F} = \ sum_i F_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_i \ frac {\ partiële f} {\ partiële x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i $$
Om de $ k $ “th component in sferische coördinaten te krijgen ($ F” _k $) , gebruik het puntproduct:
$$ \ begi n {align} F “_k & = \ mathbf {\ vec F} \ cdot \ mathbf {\ hat r} ^ k \\ & = \ left (\ sum_i \ frac {\ partiële f} {\ partiële x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i \ right) \ cdot \ left (\ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac { \ partieel x_j} {\ partieel r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j \ right) \\ & = \ frac {1} {h_k} \ sum_i \ frac {\ gedeeltelijk f} {\ partieel x_i} \ frac {\ partieel x_i} {\ partieel r_k} \\ & = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partiële f} {\ partiële r_k} \ end {align} $$
en we zijn “klaar.
Reacties
- Bedankt zo veel! Het loste veel verwarring in mijn hoofd op, vooral het onderscheid tussen de jacobische en de verandering van basismatrix, die qua vorm en idee vergelijkbaar zijn en behoorlijk verwarrend. Ook bedankt voor het openen van mijn ogen voor het verschil tussen coördinaten en component.
- Trouwens, zou de laatste formule ook waar zijn voor niet-orthogonale basissen?
- @JonasDaverio Nee, omdat puntproducten alleen orthogonale projecties geven. Als je naar de coëfficiënten $ \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partiële x_j} {\ partiële r_k} $ kijkt, zou je dat als een matrix kunnen schrijven. In het algemene geval moet u ‘ de inverse transpositie daarvan gebruiken. In het orthogonale geval is de inverse transpositie de eigen matrix.
- Oh ja, je hebt het ‘ over de metrische tensor, is dat schrijven? Omdat het diagonaal is voor orthogonale bases, blijft het omgekeerde diagonaal.
- Zeer goed beantwoord.Ik weet niet ‘ waarom dit antwoord niet ‘ t bovenaan staat
Antwoord
We nemen: $$ x = r \ cos \ theta \ cos \ phi $$ $$ y = r \ cos \ theta \ sin \ phi $$ $ $ z = r \ cos \ theta $$
Nu kent u de definitie van het verloop in cartesiaanse coördinaten: $ \ vec {\ nabla} = \ frac {\ partiële} {\ partiële x} \ hat {x} + \ frac {\ partiële} {\ partiële y} \ hat {y} + \ frac {\ partiële} {\ partiële z} \ hat {z} $
Nu gebruiken we de kettingregel of elk onderdeel. Bijvoorbeeld: $$ \ frac {\ partiële} {\ partiële x} = \ frac {\ partiële r} {\ partiële x} \ frac {\ partiële} {\ partiële r} + \ frac {\ partiële \ theta} { \ partieel x} \ frac {\ partieel} {\ partieel \ theta} + \ frac {\ partieel \ phi} {\ partieel x} \ frac {\ partieel} {\ partieel \ phi} $$
Na veel omslachtige algebra, geeft dit je de juiste vorm.
Opmerkingen
- Ja, dit is het niveau I ‘ m op. Maar ik kan ‘ geen zinnig antwoord krijgen!
- Welk deel gaat er mis?
- Ik krijg $ \ frac {\ gedeeltelijke} { \ partiële x} = \ frac {1} {sin (\ theta) cos (\ phi)} \ frac {\ partiële} {\ partiële r} + \ frac {1} {cos (\ theta) cos (\ phi) } \ frac {\ partiële} {\ partiële \ theta} – \ frac {1} {sin (\ theta) sin (\ phi)} \ frac {\ partiële} {\ partiële \ phi} $!
- En hoe worden de hat-vectoren dan vervangen?
- je moet $ r, \ theta, \ phi $ uitdrukken in termen van slechts $ x, y, z $
Antwoord
Het volgt uit de algemene definitie van het verloop als $$ \ langle \ nabla f (p) | v \ rangle = d_pf ( v) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partiële f} {\ partiële x ^ i} \ right | _pdx ^ i (v) $$ waarbij p een punt in de ruimte is en va vector in de raakruimte. De sommatie is over de basisvectoren van de raakruimte. U kunt proberen deze uitdrukking uit te breiden om het eindresultaat voor de component $ i $ $$ (\ nabla f) _i = \ frac {1} {h_i} \ frac {\ partiële f} {\ partiële x ^ i} $ te krijgen $ Dit is de meest bruikbare formule. De hoeveelheid $ h_i $ is de modulus van de $ i $ th tangensvector.
Voorbeeld: je wilt de gradiënt berekenen in sferische coördinaten. De basis van de raaklijnruimte is $ \ {\ frac {\ partiële} {\ partiële r}, \ frac {\ partiële} {\ partiële \ theta}, \ frac {\ partiële} {\ partiële \ phi} \} $ . Sinds $$ \ begin {split} \ left \ | \ frac {\ partiële} {\ partiële \ theta} \ right \ | ^ 2 & = \ left \ | \ frac {\ partieel x} {\ partieel \ theta} \ frac {\ partieel} {\ partieel x} + \ frac {\ partieel y} {\ partieel \ theta} \ frac {\ partieel} {\ partieel y} + \ frac {\ partiële z} {\ partiële \ theta} \ frac {\ partiële} {\ partiële z} \ right \ | ^ 2 \\ & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partiële} {\ partiële x} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ sin ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partiële} {\ partiële y} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partiële} {\ partiële z} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} \\ & = r ^ 2 \ end {split} $ $ We krijgen dus $$ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partiële} {\ partiële \ theta} \ right \ | = r $$ In dezelfde geest kun je ook berekenen dat $$ h_r = 1 \ quad \ tekst {en} \ quad h_ \ phi = r \ sin \ theta $$ geeft ons het verloop in bolcoördinaten $$ \ nabla f = \ frac {\ partiële f} {\ partiële r} \ hat e_r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ theta} \ hat e_ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partiële f} {\ partiële \ phi} \ hat e_ \ phi $$
Bewijs voor de eerste stap
Vouw de vector $ | \ nabla f \ rangle $ in termen van basisvectoren $$ | \ nabla f \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i | e_i \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} | \ frac {\ gedeeltelijke} {\ gedeeltelijke x ^ i} \ rangle $$ Dit is eigenlijk waar de factor $ h_i $ vandaan komt. Neem nu $ v = | \ frac {\ partiële} {\ partiële x ^ k} \ rangle $ en voeg het in de eerste uitdrukking hierboven in. Merk op dat we per definitie van een dubbele vector $ dx ^ i (| \ frac {\ partiële} {\ partiële x ^ k} \ rangle) = \ delta_k ^ i $ krijgen. De linkerkant is $$ \ begin {split} \ langle f | \ frac {\ partiële} {\ partiële x ^ k} \ rangle & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} \ langle \ frac {\ partieel} {\ partieel x ^ i} | \ frac {\ partieel} {\ partieel x ^ k} \ rangle \\ & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} h_i ^ 2 \ delta_ {ik} \\ & = (\ nabla f ) _kh_k \ end {split} $$ Whreas the right-hand $$ \ sum_i \ left. \ frac {\ partiële f} {\ partiële x ^ i} \ right | _pdx ^ i \ left (| \ frac {\ partieel} {\ partieel x ^ k} \ rangle \ right) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partiële f} {\ partiële x ^ i} \ right | _p \ delta ^ i_k = \ frac {\ partiële f} {\ gedeeltelijke x ^ k} $$ Door beide uitdrukkingen te vergelijken verkrijgt u de claim.
Opmerkingen
- Geweldig antwoord, veel beter dan het mijne. Ik ‘ m echter niet zeker of de vragensteller vertrouwd is met dit abstractieniveau (raaklijnruimte kan bijvoorbeeld een onbekend concept zijn).
- Goed antwoord , Ik ‘ heb eerder over deze methode gelezen, maar jij ‘ hebt het eenvoudiger gemaakt en ik begrijp het bijna allemaal. Ik heb dit echt doorgewerkt toen ik sferische eenheidsvectoren verdiende. Slechts één ding: hoe kom je van de algemene definitie bovenaan naar je tweede uitdrukking? Waar komt deze $ h $ vandaan?
- En waarom heeft $ h _ {\ theta} = || \ frac {\ partiële} {\ partiële \ theta} || $?
- Ik heb zojuist een bewijs toegevoegd voor de eerste stap. $ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partiële} {\ partiële \ theta} \ right \ | $ per definitie is het ‘ gewoon de modulus van de raakvector $ \ frac {\ partiële} {\ partiële \ theta} $
- @Stan Ik volg een GR-cursus en kan ‘ het volgende niet lijken te vatten deel van de oplossing: voor zover ik het tot nu toe lijkt te begrijpen, krijgt uw tweede formule deze factor $ \ frac {1} {h} $, vanwege een factor $ \ frac {1} {h ^ 2} $ ten eerste, afkomstig van de metriek, en daarna een factor h, om over te schakelen van raakvectoren naar een orthonormale basis. De modulus van de tangensvector zal altijd positief zijn, nietwaar? Dan had een andere orthonormale basis kunnen worden gevonden waarbij $ \ phi $ zodanig is dat de theta-component van de divergentie $ \ frac {1} {r \, | \ sin \ theta |} $ is. Hoe kan ik verifiëren dat de so
Geef een reactie