Derivați gradient vectorial în coordonate sferice de la primele principii
On decembrie 31, 2020 by adminÎncercând să înțelegeți unde $ \ frac {1} {r sin (\ theta)} $ și $ 1 / r $ biți apar în definiția gradientului .
Am „derivat vectorii de unități sferice, dar acum nu înțeleg cum să transform deloc cartezian în del sferic. Oamenii continuă să spună că folosește regula lanțului, dar nu o văd!
Ai vreun ajutor?
Comentarii
- I cred că modul de derivare a acestora de la principiile cu adevărat primare ar trebui să implice retragerea metricei de la $ \ mathbb {R} ^ 3 $ atunci când se încorporează $ S ^ 2 $ … Un mod poate mai puțin fundamental, dar totuși satisfăcător de a face lucrurile este definirea $ x, y, z $ în termeni de $ r, \ theta, \ phi $ și funcționează de acolo.
- Vreau să spun cum faceți conversia carteziană în polari sferici?
- Ar fi math.stackexchange.com o casă mai bună pentru această întrebare?
- @Qmechanic În Australia, învățăm această identitate în universitatea din anul II Fizică. Abia acum mă deranjez cu derivarea, deoarece știu deja cum să fac asta folosind un rezultat general din matematică pură, dar găsirea unei derivări fără a utiliza acel nivel de abstractizare ar putea fi de interes pentru studentul la fizică generală. trageți linia dintre matematică și fizică? Nu fără un lo T de sânge pe covor aș crede.
Răspuns
Ai cerut o dovadă din „primele principii” „. Deci, să o facem. Voi evidenția cele mai frecvente surse de erori și voi arăta mai târziu o dovadă alternativă care nu necesită cunoștințe despre calculul tensorial sau notația Einstein.
Mai întâi, convenția de coordonate:
$$ (r, \ theta, \ phi) \ rightarrow (x, y, z) = (r \ sin \ theta \ cos \ phi, \; r \ sin \ theta \ sin \ phi, \; r \ cos \ theta) $$
În același mod în care putem exprima $ (x, y, z) $ ca $ x \ , \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $, putem exprima și $ (r, \ theta, \ phi) $ ca $ r „\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi „\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $, dar acum coeficienții nu sunt aceiași: $ (r „, \ theta”, \ phi „) \ neq (r, \ theta, \ phi) $, în general. Acest lucru se datorează faptului că coordonatele sferice sunt curvilinee , deci vectorii de bază nu sunt identici în toate punctele. Cu toate acestea, pentru variații mici, acestea sunt foarte asemănătoare. Mai precis, în raport cu un punct $ \ vec {\ mathbf p} _0 = (x, y, z) $, un punct vecin $ \ vec {\ mathbf p} _1 = (x + \ Delta x, \; y + \ Delta y, \; z + \ Delta z) $ poate fi descris de $ \ Delta \ vec {\ mathbf p} = (\ Delta x, \ Delta y, \ Delta z) $ și, în coordonate sferice, dacă această variație este ” infinitesimal „, apoi $ d \ vec {\ mathbf p} = (dr, d \ theta, d \ phi) = dr \, \ mathbf {\ hat e} _r + d \ theta \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + d \ phi \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $. Aceasta este în esență motivația pentru definirea bazei (nenormalizate) ca:
$$ \ vec {\ mathbf e} _r = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r} , \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ theta}, \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac { \ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ phi} $$
Dar acest lucru nu este încă normalizat. Întâmplător, $ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial r || $ se dovedește a fi $ 1 $, dar $ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial \ theta || = r $, după cum vom vedea.Deci, baza reală ar trebui definită ca:
$$ \ hat {\ mathbf e} _r = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _r} {|| \ vec {\ mathbf e} _r ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ theta} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ theta ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ phi} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ phi ||} $$
Explicit:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf e} _r & = \; (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ theta & = \; (& r \ cos \ theta \ cos \ phi &, & r \ cos \ theta \ sin \ phi &, & -r \ sin \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ phi & = \; (& -r \ sin \ theta \ sin \ phi & , & r \ sin \ th eta \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
$$ \ begin {align} || \ vec {\ mathbf e} _r || ^ 2 & = \ sin ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi ) + \ cos ^ 2 \ theta & & = 1 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ theta || ^ 2 & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi) + r ^ 2 \ sin \ theta & & = r ^ 2 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ phi || ^ 2 & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta (\ sin ^ 2 \ phi + \ cos ^ 2 \ phi) & & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r & = \ vec {\ mathbf e} _r & & = & & (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ vec {\ mathbf e} _ \ theta / r & & = & & (& \ cos \ theta \ cos \ phi &, & \ cos \ theta \ sin \ phi &, & – \ sin \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi & = \ vec {\ mathbf e} _ \ phi / (r \ sin \ theta) & & = & & (& – \ sin \ phi &, & \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
Puteți verifica dacă aceasta formează și o bază ortogonală (deci ortonormală). De exemplu:
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r \ cdot \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ sin \ theta \ cos \ theta \ cos ^ 2 \ phi + \ sin \ theta \ cos \ theta \ sin ^ 2 \ phi – \ sin \ theta \ cos \ theta \\ & = 0 \ end {align} $$
Acest lucru nu trebuie să se întâmple în general.
Pentru a trece de la un set de coordonate la celălalt folosind vectorii de bază, vom rezolva:
$$ \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _r \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ cos \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & – \ sin \ theta \\ – \ sin \ phi & \ cos \ phi & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _x \\ \ hat {\ mathbf e} _y \\ \ hat {\ mathbf e} _z \ end {bmatrix} $$
for $ \ hat {\ mathbf e} _x $, $ \ hat {\ mathbf e} _y $ și $ \ hat {\ mathbf e} _z $ în termeni de $ \ ha t {\ mathbf e} _r $, $ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta $ și $ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi $. Atunci orice vector $ \ vec {\ mathbf p} = x \, \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $ poate fi scris în forma $ r „\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi „\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $ întrucât această bază specială este ortonormală, există o modalitate alternativă: pur și simplu utilizați produsul punct. De exemplu, pentru a obține $ r „$:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf p} \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r & = r „\, \ mathbf {\ hat e} _r \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta \ cdot \ mathbf {\ hat e } _r + \ phi „\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r \\ & = r” \ end {align} $$
Acum la gradient.Folosind notația matricială, putem scrie gradientul ca vector de rând și formula pentru regula lanțului devine:
$$ \ begin {align} \ vec \ nabla f & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f } {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & \ frac {\ partial r} {\ partial y} & \ frac {\ partial r} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial x} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ phi } {\ partial x} & \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ end {align} $$
Apelați matricea din dreapta $ J $ (it „este matricea Jacobian ). Rețineți că și acest lucru funcționează invers:
$$ \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial x} {\ partial r} & \ frac {\ partial y } {\ partial r} & \ frac {\ partial z} {\ partial r} \\ \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \\ \ frac { \ partial x} {\ partial \ phi} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ phi} & \ frac { \ partial z} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} $$
Și numim această altă matrice $ J „$. Putem inversa prima ecuație la obține $ \ vec \ nabla f \, J ^ {- 1} = \ vec \ nabla f \, J „$ $ \ Rightarrow $ $ \ vec \ nabla f \, \ left (J ^ {- 1} -J” \ dreapta) = 0 $. Deoarece acest lucru funcționează pentru un $ f $ arbitrar, avem $ J ^ {- 1} – J „= 0 $ $ \ Rightarrow $ $ J” = J ^ {- 1} $. O consecință importantă este că, în general:
$$ \ frac {\ partial a} {\ partial b} \ neq \ left (\ frac {\ partial b} {\ partial a} \ right) ^ {- 1} $$
Se pare că OP a făcut această greșeală într-un comentariu , confuzând $ \ partial r / \ partial x $ cu $ (\ partial x / \ partial r) ^ {- 1} = 1 / (\ sin \ theta \ cos \ phi) $, așa cum ar fi cazul dacă am folosi derivate regulate (în loc de parțiale).
Acum avem două moduri de a calcula matricea $ J $. Direct sau calculând mai întâi $ J „$ și apoi inversându-l. Să o facem direct.Vom avea nevoie de expresiile pentru $ r $, $ \ theta $ și $ \ phi $ în termeni de $ x $, $ y $ și $ z $ (pentru alte sisteme de coordonate ar putea fi foarte dificil de obținut) :
$$ \ begin {align} r & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \\ \ theta & = \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right) \\ \ phi & = \ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right) \ end {align} $$
Derivatele parțiale sunt:
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial y} & = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial z} & = \ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ cos \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ frac {\ par tial \ theta} {\ partial x} & = \ frac {zx} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & = \ frac {zy} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} & = – \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r} \ end {align} $ $
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} & = – \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} & = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} = 0 & & = 0 \ end {align} $$
Nostru Jacobian este atunci:
$$ J = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} & \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} & – \ frac {\ sin \ phi} {r} \\ – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} & \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} & 0 \ end {bmatrix} $$
Alternativ, am fi putut calcula Jacobianul invers (care este simplu) și apoi l-am inversat (care este un coșmar).Putem folosi Wolfram Alpha pentru a confirma că dă același rezultat:
În cele din urmă, folosim produsul punct pentru a găsi coeficienții $ r „$, $ \ theta” $ și $ \ phi „$:
$$ r” = \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r } & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi } \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ cos \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac { \ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {\ partial f} {\ partial r} $$
$$ \ theta „= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ theta = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ cos \ theta \ cos \ phi \\ \ cos \ theta \ sin \ phi \\ – \ sin \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end { bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 / r \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} $$
$$ \ phi „= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ phi = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} – \ sin \ phi \\ \ cos \ phi \\ 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } 0 \\ 0 \\ 1 / (r \ sin \ theta) \ end {b matrice} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} $$
Prin urmare:
$$ \ vec \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ mathbf {\ hat e} _r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $$
O modalitate mult mai bună
Vom avea nevoie de o nouă notație pentru a evita să folosim litere diferite pentru $ x $, $ y $ și $ z $, de exemplu. În schimb, să folosim indici de la $ 1 $ la $ 3 $. Pentru coordonatele carteziene vom folosi litera $ x $, iar pentru coordonatele sferice vom folosi litera $ r $. Următoarele ar trebui să fie explicative:
$$ \ vec {\ mathbf p} = \ sum_i x_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_k r_k \ mathbf {\ hat r} ^ k $$
Din definiția vectorilor de bază:
$$ \ mathbf {\ vec r} ^ k = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k}, \ quad \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ frac {\ mathbf {\ vec r} ^ k} {|| \ mathbf {\ vec r} ^ k ||} = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k} $$
Unde $ h_k \ triangleq || \ mathbf {\ vec r} ^ k || $. Extinderea în baza $ x $:
$$ \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j $$
Acum gradientul este doar:
$$ \ vec \ nabla f = \ mathbf {\ vec F} = \ sum_i F_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i $$
Pentru a obține $ k $ „a treia componentă în coordonate sferice ($ F” _k $) , utilizați produsul punct:
$$ \ begi n {align} F „_k & = \ mathbf {\ vec F} \ cdot \ mathbf {\ hat r} ^ k \\ & = \ left (\ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i \ right) \ cdot \ left (\ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac { \ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j \ right) \\ & = \ frac {1} {h_k} \ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ frac {\ partial x_i} {\ partial r_k} \\ & = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial f} {\ partial r_k} \ end {align} $$
și am terminat.
Comentarii
- Vă mulțumim atâta! Mi-a șters o mulțime de confuzie, în special distincția dintre matricea jacobiană și schimbarea bazei, care sunt similare ca formă și idee și destul de confuze. De asemenea, vă mulțumesc că mi-ați deschis ochii asupra diferenței dintre coordonate și componentă.
- Apropo, ultima formulă ar fi adevărată și pentru bazele non ortogonale?
- @JonasDaverio Nu, deoarece produsele dot dau doar proiecții ortogonale. Dacă te uiți la coeficienții $ \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} $, ai putea scrie asta ca o matrice. În cazul general, ‘ trebuie să utilizați transpunerea inversă a acestuia. În cazul ortogonal, transpunerea inversă se întâmplă să fie propria matrice.
- Oh, da, ‘ vorbești despre tensorul metric, este asta scris? Deoarece este diagonală pentru baze ortogonale, inversul rămâne diagonal.
- Foarte bine răspuns.Nu ‘ nu știu de ce acest răspuns nu este ‘ t în partea de sus
Răspuns
Luăm: $$ x = r \ cos \ theta \ cos \ phi $$ $$ y = r \ cos \ theta \ sin \ phi $$ $ $ z = r \ cos \ theta $$
Acum, știți definiția gradientului în coordonatele carteziene: $ \ vec {\ nabla} = \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {x} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {y} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {z} $
Acum, folosim regula lanțului sau fiecare componentă. De exemplu, $$ \ frac {\ partial} {\ partial x} = \ frac {\ partial r} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {\ partial \ theta} { \ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $$
După o mulțime de algebră greoaie, acest lucru vă va oferi forma corectă.
Comentarii
- Da, acesta este nivelul I ‘ m at. Dar nu pot ‘ să primesc un răspuns sensibil!
- Ce parte nu merge?
- Primesc $ \ frac {\ partial} { \ partial x} = \ frac {1} {sin (\ theta) cos (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {1} {cos (\ theta) cos (\ phi) } \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} – \ frac {1} {sin (\ theta) sin (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $!
- Și cum se înlocuiesc vectorii pălăriei?
- ar trebui să exprimați $ r, \ theta, \ phi $ în termeni de numai $ x, y, z $
Răspuns
Rezultă din definiția generală a gradientului ca $$ \ langle \ nabla f (p) | v \ rangle = d_pf ( v) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i (v) $$ unde p este un punct din spațiu și va vector în spațiul tangent. Suma este peste vectorii de bază ai spațiului tangent. Puteți încerca să extindeți această expresie pentru a obține rezultatul final pentru componenta $ i $ $$ (\ nabla f) _i = \ frac {1} {h_i} \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} $ $ Aceasta este cea mai utilă formulă. Cantitatea $ h_i $ este modulul vectorului tangent $ i $ th.
Exemplu: doriți să calculați gradientul în coordonate sferice. Baza spațiului tangent este $ \ {\ frac {\ partial} {\ partial r}, \ frac {\ partial} {\ partial \ theta}, \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \} $ . Deoarece $$ \ begin {split} \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | ^ 2 & = \ left \ | \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial x} + \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial y} + \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2 \\ & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial x} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ sin ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial y} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} \\ & = r ^ 2 \ end {split} $ $ Astfel obținem $$ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | = r $$ În același spirit puteți calcula că $$ h_r = 1 \ quad \ text {și} \ quad h_ \ phi = r \ sin \ theta $$ oferindu-ne gradientul în coordonate sferice $$ \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ hat e_r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ hat e_ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ hat e_ \ phi $$
Dovadă pentru primul pas
Extindeți vectorul $ | \ nabla f \ rangle $ în termeni de vectori de bază $$ | \ nabla f \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i | e_i \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} \ rangle $$ De aici provine practic factorul $ h_i $. Acum luați $ v = | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle $ și introduceți-l în prima expresie dată mai sus. Rețineți că, prin definiția unui vector dual, obținem $ dx ^ i (| \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle) = \ delta_k ^ i $. Partea din stânga este $$ \ begin {split} \ langle f | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} \ langle \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle \\ & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} h_i ^ 2 \ delta_ {ik} \\ & = (\ nabla f ) _kh_k \ end {split} $$ Mărește partea dreaptă $$ \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i \ left (| \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle \ right) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _p \ delta ^ i_k = \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ k} $$ Prin compararea ambelor expresii obțineți revendicarea.
Comentarii
- Răspuns excelent, mult mai bun decât al meu. Cu toate acestea, nu ‘ nu sunt sigur că persoana care solicită este confortabilă cu acest nivel de abstractizare (spațiul tangent, de exemplu, ar putea fi un concept necunoscut).
- Răspuns bun , Am ‘ am mai citit despre această metodă, dar ‘ ați făcut-o mai simplă și o înțeleg aproape pe toate. De fapt, am lucrat prin asta când dervicau vectorii sferici unitari. Un singur lucru: cum ajungeți de la definiția generală din partea de sus la a doua expresie? De unde vine acest $ h $?
- Și de ce $ h _ {\ theta} = || \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} || $?
- Tocmai am adăugat o dovadă pentru prima Etapa. $ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | $ prin definiție, ‘ este pur și simplu modulul vectorului tangent $ \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} $
- @Stan Urmez un curs GR și pot ‘ să nu înțeleagă următoarele parte a soluției: În măsura în care par să înțeleg până acum, a doua dvs. formulă obține acest factor de $ \ frac {1} {h} $, datorită unui factor de $ \ frac {1} {h ^ 2} $ în primul rând, provenind din metrică și un factor de h după aceea, pentru a trece de la vectori tangenți la o bază ortonormală. Modulul vectorului tangent va fi întotdeauna pozitiv, nu? Atunci s-ar fi putut găsi o altă bază ortonormală în care $ \ phi $ este astfel încât componenta theta a divergenței să citească $ \ frac {1} {r \, | \ sin \ theta |} $ Cum pot verifica dacă așa / li>
Lasă un răspuns