Hämta vektorgradient i sfäriska koordinater från första principerna
On december 31, 2020 by adminFörsöker förstå var $ \ frac {1} {r sin (\ theta)} $ och $ 1 / r $ bits kommer i definitionen av lutning .
Jag har härledt de sfäriska enhetsvektorerna men nu förstår jag inte hur man kan förvandla cartesian del till sfärisk del alls. Folk fortsätter att säga att använda kedjeregeln, men jag ser det inte!
Har du hjälp?
Kommentarer
- I tror att sättet att härleda dem från verkligt första principer bör innebära att man drar tillbaka mätvärdet från $ \ mathbb {R} ^ 3 $ när man bäddar in $ S ^ 2 $ … Ett kanske mindre grundläggande men ändå tillfredsställande sätt att göra saker är att definiera $ x, y, z $ i termer av $ r, \ theta, \ phi $ och att arbeta därifrån.
- Jag menar hur ska du konvertera kartesisk till sfärisk polar?
- Skulle math.stackexchange.com vara ett bättre hem för den här frågan?
- @Qmechanic I Australien lär vi oss denna identitet vid andra året universitet Fysik. Jag röra mig just nu med härledningen själv eftersom jag redan vet hur man gör detta med hjälp av ett allmänt resultat från ren matematik men att hitta en härledning utan att använda den abstraktionsnivån kan vara av intresse för den allmänna fysikstudenten. rita gränsen mellan matematik och fysik? Inte utan en lo t blod på mattan skulle jag tro.
Svar
Du bad om ett bevis från ”första principerna ”. Så låt oss göra det. Jag kommer att markera de vanligaste källorna till fel och jag kommer att visa ett alternativt bevis senare som inte kräver någon kunskap om tensorberäkning eller Einstein-notering.
Det svåra sättet
Först koordinatkonventionen:
$$ (r, \ theta, \ phi) \ rightarrow (x, y, z) = (r \ sin \ theta \ cos \ phi, \; r \ sin \ theta \ sin \ phi, \; r \ cos \ theta) $$
På samma sätt som vi kan uttrycka $ (x, y, z) $ som $ x \ , \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $, vi kan också uttrycka $ (r, \ theta, \ phi) $ som $ r ”\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi ”\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $, men nu koefficienterna är inte desamma: $ (r ”, \ theta”, \ phi ”) \ neq (r, \ theta, \ phi) $, i allmänhet. Detta beror på att sfäriska koordinater är kurvlinjära , så grundvektorerna är inte samma på alla punkter. För små variationer är de dock mycket lika. Mer exakt, i förhållande till en punkt $ \ vec {\ mathbf p} _0 = (x, y, z) $, en grannpunkt $ \ vec {\ mathbf p} _1 = (x + \ Delta x, \; y + \ Delta y, \; z + \ Delta z) $ kan beskrivas med $ \ Delta \ vec {\ mathbf p} = (\ Delta x, \ Delta y, \ Delta z) $ och, i sfäriska koordinater, om denna variation är ” oändligt ”, sedan $ d \ vec {\ mathbf p} = (dr, d \ theta, d \ phi) = dr \, \ mathbf {\ hat e} _r + d \ theta \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + d \ phi \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $. Detta är i princip motivationen för att definiera (onormaliserad) bas som:
$$ \ vec {\ mathbf e} _r = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r} , \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ theta}, \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac { \ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ phi} $$
Men detta är inte normaliserat än. Tillfälligt visar sig $ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial r || $ vara $ 1 $, men $ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial \ theta || = r $, som vi kommer se.Så den faktiska grunden bör definieras som:
$$ \ hat {\ mathbf e} _r = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _r} {|| \ vec {\ mathbf e} _r ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ theta} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ theta ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ phi} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ phi ||} $$
Explicit:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf e} _r & = \; (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ theta & = \; (& r \ cos \ theta \ cos \ phi &, & r \ cos \ theta \ sin \ phi &, & -r \ sin \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ phi & = \; (& -r \ sin \ theta \ sin \ phi & , & r \ sin \ th eta \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
$$ \ begin {align} || \ vec {\ mathbf e} _r || ^ 2 & = \ sin ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi ) + \ cos ^ 2 \ theta & & = 1 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ theta || ^ 2 & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi) + r ^ 2 \ sin \ theta & & = r ^ 2 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ phi || ^ 2 & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta (\ sin ^ 2 \ phi + \ cos ^ 2 \ phi) & & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r & = \ vec {\ mathbf e} _r & & = & & (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ vec {\ mathbf e} _ \ theta / r & & = & & (& \ cos \ theta \ cos \ phi &, & \ cos \ theta \ sin \ phi &, & – \ sin \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi & = \ vec {\ mathbf e} _ \ phi / (r \ sin \ theta) & & = & & (& – \ sin \ phi &, & \ cos \ phi &, & 0) \ slut {align} $$
Du kan verifiera att detta också utgör en ortogonal grund (därmed ortonormal). Till exempel:
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r \ cdot \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ sin \ theta \ cos \ theta \ cos ^ 2 \ phi + \ sin \ theta \ cos \ theta \ sin ^ 2 \ phi – \ sin \ theta \ cos \ theta \\ & = 0 \ end {align} $$
Det behöver inte hända i allmänhet.
För att gå från en uppsättning koordinater till den andra med basvektorerna, lösa:
$$ \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _r \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi \ end {bmatrix} = \ börja {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ cos \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & – \ sin \ theta \\ – \ sin \ phi & \ cos \ phi & 0 \ slut {bmatrix} \ börja {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _x \\ \ hat {\ mathbf e} _y \\ \ hat {\ mathbf e} _z \ end {bmatrix} $$
för $ \ hat {\ mathbf e} _x $, $ \ hat {\ mathbf e} _y $ och $ \ hat {\ mathbf e} _z $ i termer av $ \ ha t {\ mathbf e} _r $, $ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta $ och $ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi $. Då kan valfri vektor $ \ vec {\ mathbf p} = x \, \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $ vara skrivet i formen $ r ”\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi ”\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $ genom enkel ersättning. Eftersom den här grunden är ortonormal finns det ett alternativt sätt: använd helt enkelt punktprodukten. Till exempel för att få $ r ”$:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf p} \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r & = r ”\, \ mathbf {\ hat e} _r \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta \ cdot \ mathbf {\ hat e } _r + \ phi ”\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r \\ & = r” \ end {align} $$
Nu till lutningen.Med hjälp av matrisnotering kan vi skriva lutningen som en radvektor och formeln för kedjeregeln blir:
$$ \ begin {align} \ vec \ nabla f & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f } {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & \ frac {\ partial r} {\ partial y} & \ frac {\ partial r} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial x} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ phi } {\ partial x} & \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ end {align} $$
Ring matrisen till höger $ J $ (it ”är Jacobians matris ). Observera att detta också fungerar tvärtom:
$$ \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial x} {\ partial r} & \ frac {\ partial y } {\ partial r} & \ frac {\ partial z} {\ partial r} \\ \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \\ \ frac { \ partial x} {\ partial \ phi} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ phi} & \ frac { \ partial z} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} $$
Och kalla den här andra matrisen $ J ”$. Vi kan invertera den första ekvationen till få $ \ vec \ nabla f \, J ^ {- 1} = \ vec \ nabla f \, J ”$ $ \ Rightarrow $ $ \ vec \ nabla f \, \ left (J ^ {- 1} -J” \ höger) = 0 $. Eftersom detta fungerar för en godtycklig $ f $ har vi $ J ^ {- 1} – J ”= 0 $ $ \ Rightarrow $ $ J” = J ^ {- 1} $. En viktig konsekvens är att i allmänhet:
$$ \ frac {\ partial a} {\ partial b} \ neq \ left (\ frac {\ partial b} {\ partial a} \ right) ^ {- 1} $$
Det verkar som om OP gjorde detta misstag i en kommentar och förvirrade $ \ partial r / \ partial x $ med $ (\ partial x / \ partial r) ^ {- 1} = 1 / (\ sin \ theta \ cos \ phi) $, vilket skulle vara fallet om vi använde vanliga (istället för partiella) derivat.
Nu har vi två sätt att beräkna matrisen $ J $. Direkt eller genom att beräkna $ J ”$ först och sedan invertera det. Låt oss göra det direkt.Vi behöver uttrycken för $ r $, $ \ theta $ och $ \ phi $ i termer av $ x $, $ y $ och $ z $ (för andra koordinatsystem kan det vara mycket svårt att få) :
$$ \ begin {align} r & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \\ \ theta & = \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right) \\ \ phi & = \ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right) \ end {align} $$
Delderivaten är:
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial y} & = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial z} & = \ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ cos \ theta \ end {align} $$
$$ \ börjar {align} \ frac {\ par tial \ theta} {\ partial x} & = \ frac {zx} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ höger)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & = \ frac {zy} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ höger)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} & = – \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r} \ end {align} $ $
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} & = – \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} & = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} = 0 & & = 0 \ end {align} $$
Vår Jacobian är då:
$$ J = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} & \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} & – \ frac {\ sin \ phi} {r} \\ – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} & \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} & 0 \ end {bmatrix} $$
Alternativt kunde vi ha beräknat den omvända Jacobian (som är enkel) och sedan inverterat den (vilket är en mardröm).Vi kan använda Wolfram Alpha för att bekräfta att det ger samma resultat:
Slutligen använder vi punktprodukten för att hitta koefficienterna $ r ”$, $ \ theta” $ och $ \ phi ”$:
$$ r” = \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r } & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi } \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ cos \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac { \ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partiell f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ börjar {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {\ partial f} {\ partial r} $$
$$ \ theta ”= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ theta = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ cos \ theta \ cos \ phi \\ \ cos \ theta \ sin \ phi \\ – \ sin \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end { bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 / r \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} $$
$$ \ phi ”= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ phi = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ börja {bmatrix} – \ sin \ phi \\ \ cos \ phi \\ 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } 0 \\ 0 \\ 1 / (r \ sin \ theta) \ slut {b matrix} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} $$
Därför:
$$ \ vec \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ mathbf {\ hat e} _r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ mathbf {\ hatt e} _ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $$
Ett mycket bättre sätt
Vi behöver en ny notation för att undvika att behöva använda olika bokstäver för exempelvis $ x $, $ y $ och $ z $. Låt oss istället använda index från $ 1 $ till $ 3 $. För kartesiska koordinater kommer vi att använda bokstaven $ x $, och för sfäriska koordinater använder vi bokstaven $ r $. Följande bör vara självförklarande:
$$ \ vec {\ mathbf p} = \ sum_i x_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_k r_k \ mathbf {\ hat r} ^ k $$
Från definition av grundvektorerna:
$$ \ mathbf {\ vec r} ^ k = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k}, \ quad \ mathbf {\ hatt r} ^ k = \ frac {\ mathbf {\ vec r} ^ k} {|| \ mathbf {\ vec r} ^ k ||} = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k} $$
Där $ h_k \ triangelq || \ mathbf {\ vec r} ^ k || $. Expanderar i $ x $ -basen:
$$ \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j $$
Nu är lutningen bara:
$$ \ vec \ nabla f = \ mathbf {\ vec F} = \ sum_i F_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i $$
För att få $ k $ ”th-komponenten i sfäriska koordinater ($ F” _k $) , använd punktprodukten:
$$ \ begi n {align} F ”_k & = \ mathbf {\ vec F} \ cdot \ mathbf {\ hat r} ^ k \\ & = \ left (\ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i \ right) \ cdot \ left (\ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac { \ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j \ right) \\ & = \ frac {1} {h_k} \ sum_i \ frac {\ delvis f} {\ partial x_i} \ frac {\ partial x_i} {\ partial r_k} \\ & = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial f} {\ partial r_k} \ end {align} $$
och vi är klara.
Kommentarer
- Tack så mycket! Det förklarade mycket förvirring i mitt huvud, särskilt skillnaden mellan jacobian och förändringen av basmatrisen, som liknar form och idé och är ganska förvirrande. Tack också för att du öppnade mina ögon för skillnaden mellan koordinater och komponent.
- Skulle den sista formeln för övrigt vara sant också för icke ortogonala baser? eftersom punktprodukter bara ger ortogonala projektioner. Om du tittar på koefficienterna $ \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} $, kan du skriva det som en matris. I det allmänna fallet måste du ’ använda det omvända transponera det. I det ortogonala fallet är det inversa transponeringen som den egna matrisen.
- Åh ja, du ’ talar om den metriska tensorn, är det skrivet? Eftersom det är diagonalt för ortogonala baser förblir det inversa diagonalt.
- Mycket väl besvarat.Jag vet inte ’ varför det här svaret inte finns ’ t ovanpå
Svar
Vi tar: $$ x = r \ cos \ theta \ cos \ phi $$ $$ y = r \ cos \ theta \ sin \ phi $$ $ $ z = r \ cos \ theta $$
Nu vet du definitionen av lutningen i kartesiska koordinater: $ \ vec {\ nabla} = \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hatt {x} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {y} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {z} $
Nu använder vi kedjeregeln eller varje komponent. Till exempel $$ \ frac {\ partial} {\ partial x} = \ frac {\ partial r} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {\ partial \ theta} { \ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $$
Efter massor av besvärlig algebra ger detta dig rätt form.
Kommentarer
- Ja det här är nivån jag ’ m vid. Men jag kan ’ inte få ett förnuftigt svar!
- Vilken del går fel?
- Jag får $ \ frac {\ partial} { \ partial x} = \ frac {1} {sin (\ theta) cos (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {1} {cos (\ theta) cos (\ phi) } \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} – \ frac {1} {sin (\ theta) sin (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $!
- Och hur ersätts hatvektorerna?
- du bör uttrycka $ r, \ theta, \ phi $ i termer av endast $ x, y, z $
Svar
Det följer av den allmänna definitionen av lutningen som $$ \ langle \ nabla f (p) | v \ rangle = d_pf ( v) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i (v) $$ där p är en punkt i rymden och va-vektorn i tangentutrymmet. Summationen är över grundvektorerna i det tangentutrymmet. Du kan försöka utöka detta uttryck för att få slutresultatet för komponenten $ i $ $$ (\ nabla f) _i = \ frac {1} {h_i} \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} $ $ Detta är den mest användbara formeln. Mängden $ h_i $ är modulen för $ i $ th tangentvektorn.
Exempel: du vill beräkna lutningen i sfäriska koordinater. Grunden för tangentutrymmet är $ \ {\ frac {\ partial} {\ partial r}, \ frac {\ partial} {\ partial \ theta}, \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \} $ . Sedan $$ \ begin {split} \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | ^ 2 & = \ left \ | \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial x} + \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial y} + \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2 \\ & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial x} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ sin ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial y} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ underbrace {\ vänster \ | \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} \\ & = r ^ 2 \ end {split} $ $ Således får vi $$ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | = r $$ I samma anda kan du beräkna att $$ h_r = 1 \ quad \ text {och} \ quad h_ \ phi = r \ sin \ theta $$ ger oss lutningen i sfäriska koordinater $$ \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ hat e_r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ hat e_ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ hat e_ \ phi $$
Bevis för första steget
Expandera vektorn $ | \ nabla f \ rangle $ när det gäller basvektorer $$ | \ nabla f \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i | e_i \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} \ rangle $$ Det här är i grunden faktorn $ h_i $ kommer ifrån. Ta nu $ v = | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle $ och infoga det i det första uttrycket ovan. Observera att per definition av en dubbel vektor får vi $ dx ^ i (| \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle) = \ delta_k ^ i $. Vänster sida är $$ \ begin {split} \ langle f | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} \ langle \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle \\ & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} h_i ^ 2 \ delta_ {ik} \\ & = (\ nabla f ) _kh_k \ end {split} $$ Höger på höger sida $$ \ sum_i \ vänster. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i \ left (| \ frac {\ delvis} {\ partial x ^ k} \ rangle \ right) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _p \ delta ^ i_k = \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ k} $$ Genom att jämföra båda uttrycken får du anspråket.
Kommentarer
- Bra svar, mycket bättre än mitt. Jag ’ är dock inte säker på att frågaren är bekväm med denna abstraktionsnivå (tangentutrymme kan till exempel vara ett okänt koncept).
- Bra svar Jag har ’ läst om den här metoden tidigare, men du ’ har gjort det enklare och jag förstår nästan allt. Jag har faktiskt arbetat igenom detta när jag hämtar sfäriska enhetsvektorer. Bara en sak: hur kommer du från den allmänna definitionen högst upp till ditt andra uttryck? Var kommer denna $ h $ ifrån?
- Och varför gör $ h _ {\ theta} = || \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} || $?
- Jag har precis lagt till ett bevis för det första steg. $ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | $ per definition, det ’ är helt enkelt tangentvektorens modul $ \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} $
- @Stan Jag följer en GR-kurs och kan ’ inte verkar förstå följande del av lösningen: Så långt jag verkar förstå hittills får din andra formel denna faktor $ \ frac {1} {h} $ på grund av en faktor $ \ frac {1} {h ^ 2} $ först, kommer från det metriska, och en faktor h efter det, för att byta från tangentvektorer till en ortonormal basis. Modulen för tangentvektorn kommer alltid att vara positiv, eller hur? Då kunde en annan ortonormal grund ha hittats där $ \ phi $ är sådan att teta-komponenten i divergensen läser $ \ frac {1} {r \, | \ sin \ theta |} $ Hur kan jag verifiera att så
Lämna ett svar