Vezesse le a vektorgörbét gömbkoordinátákban az első elvekből
On december 31, 2020 by adminMegpróbálja megérteni, hogy hol vannak a $ \ frac {1} {r sin (\ theta)} $ és $ 1 / Az r $ bit a színátmenet definíciójában található.
Nem találtam le a gömb alakú vektorokat, de most nem értem, hogyan lehet a derékszögű delet egyáltalán gömbbé alakítani. Az emberek folyamatosan azt mondják, hogy használja a láncszabályt, de én nem látom!
Van valami segítséged?
Megjegyzések
- I úgy gondolja, hogy a valóban első elvekből való levezetésnek magában kell foglalnia a metrika visszahúzását a $ \ mathbb {R} ^ 3 $ -ból, amikor beágyazza a $ S ^ 2 $ -ot … Talán kevésbé alapvető, de még mindig kielégítő módja a dolgoknak a $ meghatározása. x, y, z $ a $ r, \ theta, \ phi $ és onnan való munkavégzés szempontjából.
- Úgy értem, hogy kell átalakítani a derékszögűséget gömb alakú sarkokká?
- A math.stackexchange.com jobb otthona lenne ennek a kérdésnek?
- @Qmechanic Ausztráliában ezt az identitást a másodikéves egyetemen ismerjük meg Fizika. Éppen most magam kavarogok a levezetéssel, mivel már tudom, hogyan kell ezt megtenni a tiszta matematika általános eredményének felhasználásával, de levezetés megtalálása az absztrakciós szint használata nélkül érdekes lehet az általános fizikus hallgató számára. húzza meg a határt a matematika és a fizika között? Nem lo nélkül azt gondolnám, hogy a vér a szőnyegen van.
Válasz
Bizonyítékot kértél az “első elvektől” “. Tehát tegyük meg. Kiemelem a leggyakoribb hibaforrásokat, és később bemutatok egy alternatív bizonyítást, amelyhez nincs szükség a tenzorszámítás vagy az Einstein-jelölés ismeretére.
Először a koordináták egyezménye:
$$ (r, \ theta, \ phi) \ rightarrow (x, y, z) = (r \ sin \ theta \ cos \ phi, \; r \ sin \ theta \ sin \ phi, \; r \ cos \ theta) $$
Ugyanúgy tudjuk kifejezni a $ (x, y, z) $ -t mint $ x \ , \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $, kifejezhetünk $ (r, \ theta, \ phi) $ mint $ r “\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $, de most az együtthatók nem azonosak: $ (r “, \ theta”, \ phi “) \ neq (r, \ theta, \ phi) $, általában. A gömbkoordináták ugyanis görbe vonalúak , tehát az alapvektorok nem minden pontban azonosak. Kis változatoknál azonban nagyon hasonlóak. Pontosabban egy $ \ vec {\ mathbf p} _0 = (x, y, z) $ ponthoz viszonyítva egy szomszédpont $ \ vec {\ mathbf p} _1 = (x + \ Delta x, \; y + \ Delta y, \; z + \ Delta z) $ a $ \ Delta \ vec {\ mathbf p} = (\ Delta x, \ Delta y, \ Delta z) $ és gömb koordinátákban írható le, ha ez a variáció ” infinitesimal “, akkor $ d \ vec {\ mathbf p} = (dr, d \ theta, d \ phi) = dr \, \ mathbf {\ hat e} _r + d \ theta \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + d \ phi \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $. Ez alapvetően a (nem normalizált) alap definíciójának motivációja:
$$ \ vec {\ mathbf e} _r = \ frac {\ partis \ vec {\ mathbf p}} {\ részleges r} , \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ részleges \ vec {\ mathbf p}} {\ részleges \ theta}, \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac { \ részleges \ vec {\ mathbf p}} {\ részleges \ phi} $$
De ez még nincs normalizálva. Véletlenül a $ || \ részleges \ vec {\ mathbf p} / \ részleges r || $ kiderül, hogy $ 1 $, de a $ || \ részleges \ vec {\ mathbf p} / \ részleges \ theta || = r $, amint látni fogjuk.Tehát a tényleges alapot a következők szerint kell meghatározni:
$$ \ hat {\ mathbf e} _r = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _r} {|| \ vec {\ mathbf e} _r ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ theta} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ theta ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ phi} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ phi ||} $$
Kifejezetten:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf e} _r & = \; (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ theta & = \; (& r \ cos \ theta \ cos \ phi &, & r \ cos \ theta \ sin \ phi &, & -r \ sin \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ phi & = \; (& -r \ sin \ theta \ sin \ phi & , & r \ sin \ th eta \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
$$ \ begin {align} || \ vec {\ mathbf e} _r || ^ 2 & = \ sin ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi ) + \ cos ^ 2 \ theta & & = 1 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ theta || ^ 2 & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi) + r ^ 2 \ sin \ theta & & = r ^ 2 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ phi || ^ 2 & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta (\ sin ^ 2 \ phi + \ cos ^ 2 \ phi) & & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r & = \ vec {\ mathbf e} _r & & = & & (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ vec {\ mathbf e} _ \ theta / r & & = & & (& \ cos \ theta \ cos \ phi &, & \ cos \ theta \ sin \ phi &, & – \ sin \ theta) \\ hat {\ mathbf e} _ \ phi & = \ vec {\ mathbf e} _ \ phi / (r \ sin \ theta) & & = & & (& – \ sin \ phi &, & \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
Ellenőrizheti, hogy ez szintén ortogonális alapot képez (tehát ortonormális). Például:
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r \ cdot \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ sin \ theta \ cos \ theta \ cos ^ 2 \ phi + \ sin \ theta \ cos \ theta \ sin ^ 2 \ phi – \ sin \ theta \ cos \ theta \\ & = 0 \ end {align} $$
Ennek általában nem kell megtörténnie.
Ahhoz, hogy az alapvektorok segítségével az egyik koordinátahalmazról a másikra lépjünk, megoldani:
$$ \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _r \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi \ end {bmatrix} = \ kezdődik {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ cos \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & – \ sin \ theta \\ – \ sin \ phi & \ cos \ phi & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _x \\ \ hat {\ mathbf e} _y \\ \ hat {\ mathbf e} _z \ end {bmatrix} $$
for $ \ hat {\ mathbf e} _x $, $ \ hat {\ mathbf e} _y $, és $ \ hat {\ mathbf e} _z $ dollárban kifejezve t {\ mathbf e} _r $, $ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta $ és $ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi $. Ekkor bármelyik vektor \ \ vec {\ mathbf p} = x \, \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $ vektor lehet $ r “\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $ formában írva Mivel ez a konkrét alap ortonormális, létezik egy alternatív módszer: egyszerűen használja a dot terméket. Például: $ r “$:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf p} \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r & = r “\, \ mathbf {\ hat e} _r \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta \ cdot \ mathbf {\ hat e } _r + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r \\ & = r” \ end {align} $$
Most a színátmenethez.A mátrixjelöléssel a színátmenetet felírhatjuk sorvektorrá, és a láncszabály képlete a következő lesz:
$$ \ begin {align} \ vec \ nabla f & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ részleges f} {\ részleges x} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges y} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges z} \ vég {bmatrix} \\ & = \ kezd {bmatrix} frac {\ részleges f } {\ részleges r} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ phi} \ vég {bmatrix} \ kezdet {bmatrix} \ frac {\ részleges r} {\ részleges x} & \ frac {\ részleges r} {\ részleges y} & \ frac {\ részleges r} {\ részleges z} \\ \ frac {\ részleges \ theta} {\ részleges x} & \ frac {\ részleges \ theta} {\ részleges y} & \ frac {\ részleges \ theta} {\ részleges z} \\ \ frac {\ részleges \ phi } {\ részleges x} & \ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges y} \ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges z} \ vég {bmatrix} \ vég {align} $$
Hívja meg a jobb oldali mátrixot $ J $ (it “s a jakobi mátrix ). Ne feledje, hogy ez fordítva is működik:
$$ \ begin {bmatrix} \ frac {\ részleges f} {\ részleges r} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ phi} \ vég {bmatrix} \\ = \ kezd {bmatrix} \ frac {\ részleges f} {\ részleges x} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges y} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges z} \ vég {bmatrix} \ kezdet {bmatrix} \ frac {\ részleges x} {\ részleges r} & \ frac {\ részleges y } {\ részleges r} & \ frac {\ részleges z} {\ részleges r} \\ \ frac {\ részleges x} {\ részleges \ theta} & \ frac {\ részleges y} {\ részleges \ theta} & \ frac {\ részleges z} {\ részleges \ theta} \\ \ frac { \ részleges x} {\ részleges \ phi} & \ frac {\ részleges y} {\ részleges \ phi} & \ frac { \ részleges z} {\ részleges \ phi} \ vég {bmatrix} $$
És hívjuk ezt a másik mátrixot $ J “$ -nak. Megfordíthatjuk az első egyenletet get $ \ vec \ nabla f \, J ^ {- 1} = \ vec \ nabla f \, J “$ $ \ Rightarrow $ $ \ vec \ nabla f \, \ left (J ^ {- 1} -J” \ jobbra) = 0 $. Mivel ez tetszőleges $ f $ esetén működik, van $ J ^ {- 1} – J “= 0 $ $ \ Rightarrow $ $ J” = J ^ {- 1} $. Fontos következmény, hogy általában:
$$ \ frac {\ partis a} {\ részleges b} \ neq \ balra (\ frac {\ részleges b} {\ részleges a} \ jobbra) ^ {- 1} $$
Úgy tűnik, hogy az OP elkövette ezt a hibát egy megjegyzésben , összezavarva a $ \ partial r / \ part x $ a $ (\ részleges x / \ részleges r) ^ {- 1} = 1 / (\ sin \ theta \ cos \ phi) $ értékkel, mint például akkor, ha szabályos (részleges) származékokat használunk.
Most kétféle módon tudjuk kiszámítani a $ J $ mátrixot. Közvetlenül, vagy a $ J “$ kiszámításával”, majd megfordításával. Tegyük meg közvetlenül.Szükségünk lesz a $ r $, $ \ theta $ és $ \ phi $ kifejezésekre $ x $, $ y $ és $ z $ kifejezésekben (más koordináta-rendszereknél ezt nagyon nehéz megszerezni) :
$$ \ begin {align} r & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \\ \ theta & = \ arctan balra (\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right) \\ \ phi & = \ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right) \ end {align} $$
A részleges származékok a következők:
$$ \ begin {align} \ frac {\ részben r} {\ részleges x} & = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ frac {\ részleges r} {\ részleges y} & = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ frac {\ részleges r} {\ részleges z} & = \ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ cos \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ frac {\ par tial \ theta} {\ részleges x} & = \ frac {zx} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ balra (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ jobbra)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} \\ \ frac {\ részleges \ theta} {\ részleges y} & = \ frac {zy} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ bal (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ jobbra)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} \\ \ frac {\ részleges \ theta} {\ részleges z} & = – \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r} \ end {align} $ $
$$ \ begin {align} \ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x} & = – \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges y} & = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges z} = 0 & & = 0 \ end {align} $$
Jacobian ekkor:
$$ J = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} & \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} & – \ frac {\ sin \ phi} {r} \\ – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} & \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} & 0 \ end {bmatrix} $$
Alternatív megoldásként kiszámolhattuk volna az inverz jakobiánust (ami egyszerű), majd megfordíthatnánk (ami rémálom).A Wolfram Alpha segítségével megerősíthetjük, hogy ugyanaz az eredmény adódik:
Végül a dot terméket használjuk a $ r “$, $ \ theta” $ és $ \ phi “$:
$$ r” = \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r = \ begin {bmatrix} \ frac {\ részben f} {\ részleges r } & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ phi } \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ cos \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac { \ részleges f} {\ részleges r} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ phi} \ vég {bmatrix} \ kezdet {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ vég {bmatrix} = \ frac {\ részleges f} {\ részleges r} $$
$$ \ theta “= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ theta = \ begin {bmatrix} \ frac {\ részleges f} {\ részleges r} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ phi} \ vég {bmatrix} J \ kezdet {bmatrix} \ cos \ theta \ cos \ phi \\ \ cos \ theta \ sin \ phi \\ – \ sin \ theta \ end {bmatrix} = \ elején {bmatrix} \ frac {\ részleges f} {\ részleges r} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ phi} \ vég { bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 / r \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {r} \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta} $$
$$ \ phi “= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ phi = \ elején {bmatrix} \ frac {\ részleges f} {\ részleges r} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ phi} \ vég {bmatrix} J \ kezdet {bmatrix} – \ sin \ phi \\ \ cos \ phi \\ 0 \ end {bmatrix} = \ elején {bmatrix} \ frac {\ részleges f} {\ részleges r} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta} & \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ phi} \ vég {bmatrix} \ kezd {bmatrix } 0 \\ 0 \\ 1 / (r \ sin \ theta) \ vége {b mátrix} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ phi} $$
Ezért:
$$ \ vec \ nabla f = \ frac {\ részleges f} {\ részleges r} \ mathbf {\ hat e} _r + \ frac {1} {r} \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta} \ mathbf {\ kalap e} _ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ phi} \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $$
Sokkal jobb módszer
Új jelölésre lesz szükségünk, hogy elkerüljük például, hogy különféle betűket használjunk például $ x $, $ y $ és $ z $ esetében. Ehelyett használjunk indexeket $ 1 $ és $ 3 $ között. Derékszögű koordinátáknál a $ x $ betűt, a gömb koordinátáknál pedig a $ r $ betűt használjuk. A következőknek maguktól meg kell magyarázkodniuk:
$$ \ vec {\ mathbf p} = \ sum_i x_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_k r_k \ mathbf {\ hat r} ^ k $$
az alapvektorok meghatározása:
$$ \ mathbf {\ vec r} ^ k = \ frac {\ részleges \ vec {\ mathbf p}} {\ részleges r_k}, \ quad \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ frac {\ mathbf {\ vec r} ^ k} {|| \ mathbf {\ vec r} ^ k ||} = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ részleges \ vec {\ mathbf p}} {\ részleges r_k} $$
Hol $ h_k \ triangleq || \ mathbf {\ vec r} ^ k || $. Kiterjesztés a $ x $ alapon:
$$ \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ summ_j \ frac {1} {h_k} \ frac {\ részleges x_j} {\ részleges r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j $ $
A színátmenet most csak:
$$ \ vec \ nabla f = \ mathbf {\ vec F} = \ sum_i F_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ summ_i \ frac {\ részleges f} {\ részleges x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i $$
A $ k $ “th komponens megszerzése gömbkoordinátákban ($ F” _k $) , használja a dot terméket:
$$ \ begi n {align} F “_k & = \ mathbf {\ vec F} \ cdot \ mathbf {\ hat r} ^ k \\ & = \ balra (\ sum_i \ frac {\ részleges f} {\ részleges x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i \ jobbra) \ cdot \ balra (\ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac { \ részleges x_j} {\ részleges r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j \ jobb) \\ & = \ frac {1} {h_k} \ sum_i \ frac {\ részleges f} {\ részleges x_i} \ frac {\ részleges x_i} {\ részleges r_k} \\ & = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ részleges f} {\ részleges r_k} \ end {align} $$
és készen vagyunk.
Megjegyzések
- Köszönöm olyan sok! Nagyon sok zavart okozott a fejemben, különösképpen a jacob és az alapmátrix változása közötti különbségtétel, amelyek formájukban és ötletükben hasonlóak és meglehetősen zavarosak. Ezenkívül köszönöm, hogy kinyitotta a szemem a koordináták és az összetevők közötti különbségen.
- Egyébként az utolsó képlet igaz lenne a nem ortogonális alapokra is?
- @JonasDaverio Nem, mert a ponttermékek csak ortogonális vetületeket adnak. Ha megnézi a $ \ frac {1} {h_k} \ frac {\ részleges x_j} {\ részleges r_k} $ együtthatókat, akkor ezt mátrixként is megírhatja. Általános esetben ‘ d ennek fordított transzpozícióját kell használnia. Ortogonális esetben az inverz transzponálás véletlenül a saját mátrixa.
- Ó, igen, ön ‘ a metrikus tenzorról beszél, ez az írás? Mivel az ortogonális alapok esetében átlós, az inverz átlós marad.
- Nagyon jól megválaszolható.Nem tudom, hogy ‘ miért nem ez a válasz a tetején div
Válasz
Vesszük: $$ x = r \ cos \ theta \ cos \ phi $$ $$ y = r \ cos \ theta \ sin \ phi $$ $ $ z = r \ cos \ theta $$
Most már ismeri a színátmenet definícióját derékszögű koordinátákban: $ \ vec {\ nabla} = \ frac {\ partitális {{részleges x} \ kalap {x} + \ frac {\ partitális {\ részleges y} \ kalap {y} + \ frac {\ részleges} {\ részleges z} \ kalap {z} $
Most a következőt használjuk: a láncszabályt vagy az egyes összetevőket. Például: $$ \ frac {\ partitális {\ részleges x} = \ frac {\ részleges r} {\ részleges x} \ frac {\ részleges} {\ részleges r} + \ frac {\ részleges \ theta} { \ részleges x} \ frac {\ részleges} {\ részleges \ theta} + \ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x} \ frac {\ részleges} {\ részleges \ phi} $$
Sok nehézkes algebra után ez adja meg a helyes űrlapot.
Megjegyzések
- Igen, ez az I szint ‘ m. De nem tudok ‘ ésszerű választ kapni!
- Melyik rész romlik el?
- $ \ frac {\ partial} { \ részleges x} = \ frac {1} {sin (\ teta) cos (\ phi)} \ frac {\ részleges} {\ részleges r} + \ frac {1} {cos (\ theta) cos (\ phi) } \ frac {\ részleges} {\ részleges \ theta} – \ frac {1} {bűn (\ theta) bűn (\ phi)} \ frac {\ részleges} {\ részleges \ phi} $!
- És akkor hogyan cserélhetők le a kalap vektorok?
- a $ r, \ theta, \ phi $ kifejezéseket csak $ x, y, z $ kifejezésekkel kell kifejeznie
Válasz
A színátmenet általános definíciójából következik, hogy $$ \ langle \ nabla f (p) | v \ rangle = d_pf ( v) = \ sum_i \ bal. \ frac {\ részleges f} {\ részleges x ^ i} \ jobb | _pdx ^ i (v) $$ ahol p a tér egy pontja és va vektor az érintő térben. Az összegzés meghaladja az érintőtér alapvektorait. Megpróbálhatja kibővíteni ezt a kifejezést, hogy megkapja a $ i $ $$ (\ nabla f) _i = \ frac {1} {h_i} \ frac {\ részben f} {\ részleges x ^ i} $ komponens végeredményét. $ Ez a leghasznosabb képlet. A $ h_i $ mennyiség az $ i $ th érintő vektor modulusa.
Példa: a színátmenetet gömb alakú koordinátákban szeretné kiszámítani. Az érintőtér alapja: $ \ {\ frac {\ részleges} {\ részleges r}, \ frac {\ részleges} {\ részleges \ theta}, \ frac {\ részleges} {\ részleges \ phi} \} $ . Mivel $$ \ kezdődik {split} \ bal \ | \ frac {\ részleges} {\ részleges \ theta} \ jobb \ | ^ 2 & = \ bal \ | \ frac {\ részleges x} {\ részleges \ theta} \ frac {\ részleges} {\ részleges x} + \ frac {\ részleges y} {\ részleges \ theta} \ frac {\ részleges} {\ részleges y} + \ frac {\ részleges z} {\ részleges \ theta} \ frac {\ részleges} {\ részleges z} \ jobb \ | ^ 2 \\ & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ phi \ alátét {\ bal \ | \ frac {\ részleges} {\ részleges x} \ jobb \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ sin ^ 2 \ phi \ alátét {\ bal \ | \ frac {\ részleges} {\ részleges y} \ jobb \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ alátét {\ bal \ | \ frac {\ részleges} {\ részleges z} \ jobb \ | ^ 2} _ {= 1} \\ & = r ^ 2 \ vége {split} $ $ Így megkapjuk a $$ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ részleges} {\ részleges \ theta} \ jobb \ | = r $$ értékeket. Ugyanebben a szellemben ki lehet számítani, hogy szöveg {és} \ quad h_ \ phi = r \ sin \ theta $$, amelyek a színátmenetet adják meg gömbkoordinátákban $$ \ nabla f = \ frac {\ részleges f} {\ részleges r} \ hat e_r + \ frac {1} {r} \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ theta} \ hat e_ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ részleges f} {\ részleges \ phi} \ hat e_ \ phi $$
Az első lépés igazolása
Bontsa ki a $ vektorot | \ nabla f \ rangle $ bázisvektorok szempontjából $$ | \ nabla f \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i | e_i \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} | \ frac {\ partial {\ részleges x ^ i} \ rangle $$ alapvetően innen származik a $ h_i $ tényező. Most vegye be a $ v = | \ frac {\ partitális {\ részleges x ^ k} \ rangle $ parancsot, és illessze be a fent megadott első kifejezésbe. Megjegyezzük, hogy a kettős vektor definíciója szerint kapjuk a $ dx ^ i (| \ frac {\ partitális {{részleges x ^ k} \ rangle) = \ delta_k ^ i $ értéket. A bal oldal $$ \ begin {split} \ langle f | \ frac {\ partitális {{részleges x ^ k} \ rangle & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} \ langle \ frac {\ részleges} {\ részleges x ^ i} | \ frac {\ részleges} {\ részleges x ^ k} \ rangle \\ & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} h_i ^ 2 \ delta_ {ik} \\ & = (\ nabla f ) _kh_k \ end {split} $$ A jobb oldali $$ \ sum_i \ bal oldalt. \ frac {\ részben f} {\ részleges x ^ i} \ jobbra | _pdx ^ i \ balra (| \ frac {\ részleges} {\ részleges x ^ k} \ rangle \ jobb) = \ sum_i \ bal. \ frac {\ részleges f} {\ részleges x ^ i} \ jobb | _p \ delta ^ i_k = \ frac {\ részleges f} {\ partial x ^ k} $$ Mindkét kifejezés összehasonlításával megszerzi a követelést.
Megjegyzések
- Remek válasz, sokkal jobb, mint az enyém. Azonban ‘ nem vagyok biztos abban, hogy a kérdező jól érzi-e ezt az absztrakciós szintet (például az érintőtér ismeretlen fogalom lehet).
- Jó válasz , Én már ‘ olvastam erről a módszerről, de ‘ egyszerűbbé tettétek, és szinte mindent megértek. Ezt valóban átdolgoztam, amikor elferdítettem a gömb alakú egységvektorokat. Csak egy dolog: hogyan juthat el a fenti általános definíciótól a második kifejezésig? Honnan származik ez a $ h $?
- És miért teszik a $ h _ {\ theta} = || \ frac {\ partialis {\ részleges \ theta} || $ értéket?
- Most adtam igazolást az elsőre lépés. $ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | $ definíció szerint, ez ‘ s egyszerűen az érintő vektor modulusa $ \ frac {\ partial} {\ részleges \ theta} $
- @Stan GR tanfolyamot követek, és úgy tűnik, hogy ‘ nem fogja megérteni a következőket a megoldás része: Úgy tűnik, hogy eddig megértettem, a második képlete megkapja ezt a tényezőt: $ \ frac {1} {h} $, a $ \ frac {1} {h ^ 2} $ tényező miatt Először a metrikából származik, és ezt követően egy h tényezőből, annak érdekében, hogy az tangens vektorokról ortonormális alapra váltsunk. Az érintő vektor modulusa mindig pozitív lesz, nem? Akkor más ortonormális alapot lehetett volna találni, ahol $ \ phi $ olyan, hogy a divergencia theta-összetevője a következőt írja: $ \ frac {1} {r \, | \ sin \ theta |} $ Hogyan ellenőrizhetem, hogy a
Vélemény, hozzászólás?