첫 번째 원칙에서 구면 좌표에서 벡터 기울기 유도
On 12월 31, 2020 by admin$ \ frac {1} {r sin (\ theta)} $ 및 $ 1 / r $ 비트는 그라디언트 의 정의에 있습니다.
구면 단위 벡터를 유도했지만 이제는 데카르트 델을 구면 델로 변환하는 방법을 전혀 이해하지 못합니다. 사람들은 계속해서 연쇄 규칙을 사용한다고 말하지만 모르겠습니다.
도움이 있습니까?
댓글
- I $ S ^ 2 $를 포함 할 때 $ \ mathbb {R} ^ 3 $에서 메트릭을 되 돌리는 것이 진정한 첫 번째 원칙에서 파생되는 방법이라고 믿으십시오 … 아마도 덜 근본적이지만 여전히 만족스러운 작업 방식은 $를 정의하는 것입니다. x, y, z $를 $ r, \ theta, \ phi $로 표시하고 거기에서 작업합니다.
- 직교를 구면 극으로 변환하는 방법은 무엇입니까?
- math.stackexchange.com 이이 질문에 대한 더 나은 집이 될까요?
- @Qmechanic 호주에서는 대학 2 학년 때이 정체성을 배웁니다. 물리학. 순수 수학의 일반적인 결과를 사용하여이 작업을 수행하는 방법을 이미 알고 있기 때문에 방금 파생을 엉망으로 만들고 있지만 그 수준의 추상화를 사용하지 않고 파생을 찾는 것은 일반 물리학 학생에게 흥미로울 수 있습니다. 어떻게합니까? 수학과 물리학 사이의 경계를 긋나요? 카펫에 피가 묻어 있습니다.
답변
첫 번째 원칙에 대한 증거를 요청하셨습니다. “. 그럼 해보겠습니다. 가장 일반적인 오류 원인을 강조하고 나중에 “텐서 미적분학이나 아인슈타인 표기법에 대한 지식이 필요하지 않은 대체 증명을 보여 드리겠습니다.
어려운 방법
첫 번째, 좌표 규칙 :
$$ (r, \ theta, \ phi) \ rightarrow (x, y, z) = (r \ sin \ theta \ cos \ phi, \; r \ sin \ theta \ sin \ phi, \; r \ cos \ theta) $$
$ (x, y, z) $를 $ x \로 표현하는 것과 같은 방법 , \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $, $ (r, \ theta, \ phi) $ $ r “\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta”\, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $,하지만 지금은 계수는 동일하지 않습니다 : $ (r “, \ theta”, \ phi “) \ neq (r, \ theta, \ phi) $, 일반적으로. 이는 구형 좌표가 곡선 이기 때문에 기저 벡터가 모든 지점에서 동일하지 않기 때문입니다. 그러나 작은 변형의 경우 매우 유사합니다. 보다 정확하게는 점 $ \ vec {\ mathbf p} _0 = (x, y, z) $, 인접 점 $ \ vec {\ mathbf p} _1 = (x + \ Delta x, \; y + \ Delta y, \; z + \ Delta z) $는 $ \ Delta \ vec {\ mathbf p} = (\ Delta x, \ Delta y, \ Delta z) $ 및 구면 좌표에서이 변형이 ” 무한소 “, $ d \ vec {\ mathbf p} = (dr, d \ theta, d \ phi) = dr \, \ mathbf {\ hat e} _r + d \ theta \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + d \ phi \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $. 이것은 기본적으로 (비정규 화) 기저를 다음과 같이 정의하는 동기입니다.
$$ \ vec {\ mathbf e} _r = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r} , \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ theta}, \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac { \ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ phi} $$
그러나 이것은 아직 정규화되지 않았습니다. 우연히 $ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial r || $는 $ 1 $이지만 $ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial \ theta || = r $입니다.따라서 실제 기준은 다음과 같이 정의되어야합니다.
$$ \ hat {\ mathbf e} _r = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _r} {|| \ vec {\ mathbf e} _r ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ theta} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ theta ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ phi} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ phi ||} $$
명시 적 :
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf e} _r & = \; (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ theta & = \; (& r \ cos \ theta \ cos \ phi &, & r \ cos \ theta \ sin \ phi &, & -r \ sin \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ phi & = \; (& -r \ sin \ theta \ sin \ phi & , & r \ sin \ th eta \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
$$ \ begin {align} || \ vec {\ mathbf e} _r || ^ 2 & = \ sin ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi ) + \ cos ^ 2 \ theta & & = 1 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ theta || ^ 2 & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi) + r ^ 2 \ sin \ theta & & = r ^ 2 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ phi || ^ 2 & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta (\ sin ^ 2 \ phi + \ cos ^ 2 \ phi) & & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r & = \ vec {\ mathbf e} _r & & = & & (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ vec {\ mathbf e} _ \ theta / r & & = & & (& \ cos \ theta \ cos \ phi &, & \ cos \ theta \ sin \ phi &, &-\ sin \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi & = \ vec {\ mathbf e} _ \ phi / (r \ sin \ theta) & & = & & (&-\ sin \ phi &, & \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
이것은 또한 직교 기반 (따라서 직교)을 형성하는지 확인할 수 있습니다. 예 :
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r \ cdot \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ sin \ theta \ cos \ theta \ cos ^ 2 \ phi + \ sin \ theta \ cos \ theta \ sin ^ 2 \ phi-\ sin \ theta \ cos \ theta \\ & = 0 \ end {align} $$
일반적으로 발생할 필요는 없습니다.
기초 벡터를 사용하여 한 좌표 집합에서 다른 좌표 집합으로 이동하려면 해결 :
$$ \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _r \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ cos \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi &-\ sin \ theta \\-\ sin \ phi & \ cos \ phi & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _x \\ \ hat {\ mathbf e} _y \\ \ hat {\ mathbf e} _z \ end {bmatrix} $$
for $ \ hat {\ mathbf e} _x $, $ \ ha 기준 $ \ hat {\ mathbf e} _y $ 및 $ \ hat {\ mathbf e} _z $ t {\ mathbf e} _r $, $ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta $ 및 $ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi $. 그러면 모든 벡터 $ \ vec {\ mathbf p} = x \, \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $는 $ r “\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta”\, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $ 형식으로 작성 이 특정 기저는 직교이므로 다른 방법이 있습니다. 간단히 내적을 사용합니다. 예를 들어 $ r “$ :
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf p} \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r & = r “\, \ mathbf {\ hat e} _r \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta”\, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta \ cdot \ mathbf {\ hat e } _r + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r \\ & = r”\ end {align} $$
이제 그라디언트로 이동합니다.행렬 표기법을 사용하여 그라디언트를 행 벡터로 작성할 수 있으며 연쇄 규칙의 공식은 다음과 같습니다.
$$ \ begin {align} \ vec \ nabla f & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f } {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & \ frac {\ partial r} {\ partial y} & \ frac {\ partial r} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial x} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ phi } {\ partial x} & \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ end {align} $$
오른쪽에있는 행렬 호출 $ J $ ( “s the Jacobian 매트릭스 ). 이 방법도 반대 방향으로 작동합니다.
$$ \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial x} {\ partial r} & \ frac {\ partial y } {\ partial r} & \ frac {\ partial z} {\ partial r} \\ \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \\ \ frac { \ partial x} {\ partial \ phi} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ phi} & \ frac { \ partial z} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} $$
그리고이 다른 행렬을 $ J “$라고 부릅니다. 첫 번째 방정식을 다음과 같이 반전 할 수 있습니다. get $ \ vec \ nabla f \, J ^ {-1} = \ vec \ nabla f \, J “$ $ \ Rightarrow $ $ \ vec \ nabla f \, \ left (J ^ {-1} -J” \ 오른쪽) = 0 $. 이것은 임의의 $ f $에 대해 작동하므로 $ J ^ {-1}-J “= 0 $ $ \ Rightarrow $ $ J”= J ^ {-1} $가 있습니다. 중요한 결과는 일반적으로 다음과 같습니다.
$$ \ frac {\ partial a} {\ partial b} \ neq \ left (\ frac {\ partial b} {\ partial a} \ right) ^ {-1} $$
OP가 댓글 에서이 실수를 범하여 $ \ partial r / \ partial을 혼동하는 것 같습니다. x $ with $ (\ partial x / \ partial r) ^ {-1} = 1 / (\ sin \ theta \ cos \ phi) $, 정규 (편차 대신) 도함수를 사용하는 경우와 같습니다.
이제 행렬 $ J $를 계산하는 두 가지 방법이 있습니다. 직접 또는 $ J “$를 먼저 계산 한 다음 반전하여 직접 수행합니다.$ x $, $ y $, $ z $의 관점에서 $ r $, $ \ theta $, $ \ phi $에 대한 표현식이 필요합니다 (다른 좌표계의 경우 이것은 얻기가 매우 어려울 수 있음). :
$$ \ begin {align} r & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \\ \ theta & = \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right) \\ \ phi & = \ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right) \ end {align} $$
편미분은 다음과 같습니다.
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial y} & = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial z} & = \ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ cos \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ frac {\ par tial \ theta} {\ partial x} & = \ frac {zx} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & = \ frac {zy} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} & =-\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} & & =-\ frac {\ sin \ phi} {r} \ end {align} $ $
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} & =-\ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} & & =-\ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} & = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} = 0 & & = 0 \ end {align} $$
Jacobian은 다음과 같습니다.
$$ J = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} & \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} &-\ frac {\ sin \ phi} {r} \\-\ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} & \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} & 0 \ end {bmatrix} $$
또는 역 야 코비 행렬 (간단한)을 계산 한 다음 반전 (악몽) 할 수 있습니다. Wolfram Alpha 를 사용하여 동일한 결과를 제공하는지 확인할 수 있습니다.
마지막으로 내적을 사용하여 계수 $ r “$, $ \ theta”$ 및 $ \ phi “$ :
$$ r”= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r } & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi } \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ cos \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac { \ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ 부분 f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {\ partial f} {\ partial r} $$
$$ \ theta “= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ theta = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ cos \ theta \ cos \ phi \\ \ cos \ theta \ sin \ phi \\-\ sin \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end { bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 / r \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} $$
$$ \ phi “= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ phi = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ 시작 {bmatrix}-\ sin \ phi \\ \ cos \ phi \\ 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } 0 \\ 0 \\ 1 / (r \ sin \ theta) \ end {b matrix} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} $$
따라서 :
$$ \ vec \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ mathbf {\ hat e} _r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ mathbf {\ 모자 e} _ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $$
훨씬 더 나은 방법
예를 들어 $ x $, $ y $ 및 $ z $에 대해 다른 문자를 사용하지 않으려면 새로운 표기법이 필요합니다. 대신 $ 1 $에서 $ 3 $까지의 인덱스를 사용하겠습니다. 데카르트 좌표의 경우 문자 $ x $를 사용하고 구형 좌표의 경우 $ r $ 문자를 사용합니다. 다음은 자명 한 내용이어야합니다.
$$ \ vec {\ mathbf p} = \ sum_i x_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_k r_k \ mathbf {\ hat r} ^ k $$
기저 벡터의 정의 :
$$ \ mathbf {\ vec r} ^ k = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k}, \ quad \ mathbf {\ 모자 r} ^ k = \ frac {\ mathbf {\ vec r} ^ k} {|| \ mathbf {\ vec r} ^ k ||} = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k} $$
$ h_k \ triangleq || \ mathbf {\ vec r} ^ k || $. $ x $ 기준으로 확장 :
$$ \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j $$
그래디언트는 다음과 같습니다.
$$ \ vec \ nabla f = \ mathbf {\ vec F} = \ sum_i F_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i $$
구면 좌표 ($ F “_k $)에서 $ k $”번째 성분을 얻으려면 , 내적 사용 :
$$ \ begi n {align} F “_k & = \ mathbf {\ vec F} \ cdot \ mathbf {\ hat r} ^ k \\ & = \ left (\ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i \ right) \ cdot \ left (\ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac { \ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j \ right) \\ & = \ frac {1} {h_k} \ sum_i \ frac {\ 부분 f} {\ partial x_i} \ frac {\ partial x_i} {\ partial r_k} \\ & = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial f} {\ partial r_k} \ end {align} $$
완료되었습니다.
댓글
- 감사합니다. 너무 많이! 그것은 내 머릿속의 많은 혼란, 특히 모양과 아이디어가 비슷하고 꽤 혼란스러운 jacobian과 기저 행렬의 변화 사이의 구별을 제거했습니다. 또한 좌표와 구성 요소의 차이에 눈을 뜨게 해주셔서 감사합니다.
- 그런데 마지막 공식은 직교가 아닌 기저에 대해서도 사실일까요?
- @JonasDaverio 아니요, 내적은 직교 투영 만 제공하기 때문입니다. 계수 $ \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} $를 보면 그것을 행렬로 쓸 수 있습니다. 일반적인 경우에 ‘ 역전 치를 사용해야합니다. 직교의 경우 역전 치는 자체 행렬이됩니다.
- 네, ‘ 메트릭 텐서에 대해 이야기하고 있습니다. 직교베이스의 경우 대각선이므로 역은 대각선으로 유지됩니다.
- 매우 잘 대답합니다.’이 답변이 ‘ 위에없는 이유를 모르겠습니다
답변
우리는 $$ x = r \ cos \ theta \ cos \ phi $$ $$ y = r \ cos \ theta \ sin \ phi $$ $ $ z = r \ cos \ theta $$
이제 데카르트 좌표의 기울기 정의를 알았습니다 : $ \ vec {\ nabla} = \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {x} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {y} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {z} $
이제 체인 규칙 또는 각 구성 요소. 예를 들면 $$ \ frac {\ partial} {\ partial x} = \ frac {\ partial r} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {\ partial \ theta} { \ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $$
성가신 대수를 많이 사용하면 올바른 형식을 얻을 수 있습니다.
댓글
- 예, 레벨 I입니다. ‘ 분 하지만 ‘ 현명한 답변을 얻을 수 없습니다!
- 어떤 부분이 잘못 되었나요?
- $ \ frac {\ partial} { \ partial x} = \ frac {1} {sin (\ theta) cos (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {1} {cos (\ theta) cos (\ phi) } \ frac {\ partial} {\ partial \ theta}-\ frac {1} {sin (\ theta) sin (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $!
- 그런 다음 모자 벡터는 어떻게 대체됩니까?
- $ r, \ theta, \ phi $를 $ x, y, z $만으로 표현해야합니다.
답변
그래디언트의 일반적인 정의에서 $$ \ langle \ nabla f (p) | v \ rangle = d_pf ( v) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i (v) $$ 여기서 p는 공간의 점이고 접선 공간의 va 벡터입니다. 합산은 접선 공간의 기본 벡터를 통해 이루어집니다. $ i $ $$ (\ nabla f) _i = \ frac {1} {h_i} \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} $ 구성 요소에 대한 최종 결과를 얻기 위해이 표현식을 확장 할 수 있습니다. $ 이것은 가장 유용한 공식입니다. $ h_i $ 수량은 $ i $ th 탄젠트 벡터의 계수입니다.
예 : 구면 좌표에서 기울기를 계산하려고합니다. 접선 공간의 기준은 $ \ {\ frac {\ partial} {\ partial r}, \ frac {\ partial} {\ partial \ theta}, \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \} $입니다. . $$ \ begin {split} \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | ^ 2 & = \ left \ | \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial x} + \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial y} + \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2 \\ & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial x} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ sin ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial y} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ underbrace {\ 왼쪽 \ | \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} \\ & = r ^ 2 \ end {split} $ $ 따라서 우리는 $$ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | = r $$를 얻습니다. 같은 정신으로 $$ h_r = 1 \ quad \를 계산할 수 있습니다. text {and} \ quad h_ \ phi = r \ sin \ theta $$ 구면 좌표의 그래디언트 제공 $$ \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ hat e_r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ hat e_ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ hat e_ \ phi $$
첫 번째 단계에 대한 증거
벡터 $ | \ nabla f \ rangle $ 확장 기저 벡터 측면에서 $$ | \ nabla f \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i | e_i \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} \ rangle $$ 이것은 기본적으로 요소 $ h_i $의 출처입니다. 이제 $ v = | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle $을 가져 와서 위에 주어진 첫 번째 표현식에 삽입합니다. 이중 벡터의 정의에 따라 $ dx ^ i (| \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle) = \ delta_k ^ i $가됩니다. 왼쪽은 $$ \ begin {split} \ langle f | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} \ langle \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle \\ & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} h_i ^ 2 \ delta_ {ik} \\ & = (\ nabla f ) _kh_k \ end {split} $$ Whreas the right-hand side $$ \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i \ left (| \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle \ right) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _p \ delta ^ i_k = \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ k} $$ 두 표현을 비교하면 주장을 얻을 수 있습니다.
댓글
- 대단한 대답, 저보다 훨씬 낫습니다. 하지만 ‘ 요청자가이 수준의 추상화에 익숙하지 않습니다 (예를 들어 접선 공간은 알려지지 않은 개념 일 수 있음).
- 좋은 답변 , 저는 ‘ 이전에이 방법에 대해 읽었지만 ‘이 방법을 더 간단하게 만들었으며 거의 모든 것을 이해합니다. 저는 구형 단위 벡터를 도출 할 때 실제로이 작업을했습니다. 한 가지만 : 상단의 일반적인 정의에서 두 번째 표현으로 어떻게 이동합니까? 이 $ h $의 출처는 어디입니까?
- 그리고 왜 $ h _ {\ theta} = || \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} || $?
- 처음에 대한 증명을 추가했습니다. 단계. $ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | $ 정의에 따라 ‘는 단순히 탄젠트 벡터의 계수입니다. $ \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} $
- @Stan GR 과정을 따르고 있는데 ‘ 다음 사항을 이해하지 못하는 것 같습니다. 솔루션의 일부 : 지금까지 제가 이해하는 한 두 번째 공식은 $ \ frac {1} {h ^ 2} $의 계수로 인해 $ \ frac {1} {h} $의 계수를 얻습니다. 먼저 접선 벡터에서 직교 법 기준으로 전환하기 위해 메트릭에서 가져오고 그 뒤에 h의 인수를 지정합니다. 탄젠트 벡터의 계수는 항상 양수일 것입니다. 그런 다음 $ \ phi $가 발산의 세타 구성 요소가 $ \ frac {1} {r \, | \ sin \ theta |} $ 인 다른 직교 정규 기저를 찾을 수 있습니다. / li>
답글 남기기