Dériver le gradient vectoriel en coordonnées sphériques à partir des premiers principes
On décembre 31, 2020 by adminEssayer de comprendre où les $ \ frac {1} {r sin (\ theta)} $ et $ 1 / r $ bits entrent dans la définition de gradient .
Jai dérivé les vecteurs unitaires sphériques mais maintenant je ne comprends pas du tout comment transformer le del cartésien en del sphérique. Les gens continuent à dire dutiliser la règle de la chaîne, mais je ne la vois pas!
Avez-vous de laide?
Commentaires
- I pense que la façon de les dériver à partir des principes véritablement premiers devrait impliquer de retirer la métrique de $ \ mathbb {R} ^ 3 $ lors de lincorporation de $ S ^ 2 $ … Une façon peut-être moins fondamentale mais toujours satisfaisante de faire les choses est de définir $ x, y, z $ en termes de $ r, \ theta, \ phi $ et en travaillant à partir de là.
- Je veux dire, comment convertissez-vous le cartésien en polaires sphériques?
- math.stackexchange.com serait-il un meilleur foyer pour cette question?
- @Qmechanic En Australie, nous apprenons cette identité en deuxième année à luniversité Physique. Je suis en train de jouer avec la dérivation moi-même car je sais déjà comment faire cela en utilisant un résultat général de mathématiques pures, mais trouver une dérivation sans utiliser ce niveau dabstraction pourrait intéresser létudiant en physique générale. Comment faites-vous tracer la ligne entre les mathématiques et la physique? Non sans un lo t de sang sur le tapis, je pense.
Réponse
Vous avez demandé une preuve des « premiers principes « . Alors faisons-le. Je mettrai en évidence les sources derreurs les plus courantes et je montrerai plus tard une autre preuve qui ne nécessite aucune connaissance du calcul tensoriel ou de la notation dEinstein.
La manière difficile
Premièrement, la convention de coordonnées:
$$ (r, \ theta, \ phi) \ rightarrow (x, y, z) = (r \ sin \ theta \ cos \ phi, \; r \ sin \ theta \ sin \ phi, \; r \ cos \ theta) $$
De la même manière que nous pouvons exprimer $ (x, y, z) $ comme $ x \ , \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $, on peut aussi exprimer $ (r, \ theta, \ phi) $ comme $ r « \, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta » \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi « \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $, mais maintenant les coefficients ne sont pas les mêmes: $ (r « , \ theta », \ phi « ) \ neq (r, \ theta, \ phi) $, en général. Ceci est dû au fait que les coordonnées sphériques sont curvilignes , de sorte que les vecteurs de base ne sont pas les mêmes en tous points. Pour les petites variations, cependant, ils sont très similaires. Plus précisément, relatif à un point $ \ vec {\ mathbf p} _0 = (x, y, z) $, un point voisin $ \ vec {\ mathbf p} _1 = (x + \ Delta x, \; y + \ Delta y, \; z + \ Delta z) $ peut être décrit par $ \ Delta \ vec {\ mathbf p} = (\ Delta x, \ Delta y, \ Delta z) $ et, en coordonnées sphériques, si cette variation est » infinitésimal « , puis $ d \ vec {\ mathbf p} = (dr, d \ theta, d \ phi) = dr \, \ mathbf {\ hat e} _r + d \ theta \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + d \ phi \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $. Cest fondamentalement la motivation pour définir la base (non normalisée) comme suit:
$$ \ vec {\ mathbf e} _r = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r} , \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ theta}, \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac { \ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ phi} $$
Mais ce nest pas encore normalisé. Par coïncidence, $ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial r || $ savère être $ 1 $, mais $ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial \ theta || = r $, comme nous le verrons.La base réelle doit donc être définie comme suit:
$$ \ hat {\ mathbf e} _r = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _r} {|| \ vec {\ mathbf e} _r ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ theta} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ theta ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ phi} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ phi ||} $$
Explicitement:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf e} _r & = \; (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ theta & = \; (& r \ cos \ theta \ cos \ phi &, & r \ cos \ theta \ sin \ phi &, & -r \ sin \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ phi & = \; (& -r \ sin \ theta \ sin \ phi & , & r \ sin \ th eta \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
$$ \ begin {align} || \ vec {\ mathbf e} _r || ^ 2 & = \ sin ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi ) + \ cos ^ 2 \ theta & & = 1 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ theta || ^ 2 & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi) + r ^ 2 \ sin \ theta & & = r ^ 2 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ phi || ^ 2 & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta (\ sin ^ 2 \ phi + \ cos ^ 2 \ phi) & & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r & = \ vec {\ mathbf e} _r & & = & & (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ vec {\ mathbf e} _ \ theta / r & & = & & (& \ cos \ theta \ cos \ phi &, & \ cos \ theta \ sin \ phi &, & – \ sin \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi & = \ vec {\ mathbf e} _ \ phi / (r \ sin \ theta) & & = & & (& – \ sin \ phi &, & \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
Vous pouvez vérifier que cela forme également une base orthogonale (donc orthonormée). Par exemple:
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r \ cdot \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ sin \ theta \ cos \ theta \ cos ^ 2 \ phi + \ sin \ theta \ cos \ theta \ sin ^ 2 \ phi – \ sin \ theta \ cos \ theta \\ & = 0 \ end {align} $$
Cela na pas besoin darriver en général.
Pour passer dun ensemble de coordonnées à lautre en utilisant les vecteurs résoudre:
$$ \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _r \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ cos \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & – \ sin \ theta \\ – \ sin \ phi & \ cos \ phi & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _x \\ \ hat {\ mathbf e} _y \\ \ hat {\ mathbf e} _z \ end {bmatrix} $$
pour $ \ hat {\ mathbf e} _x $, $ \ hat {\ mathbf e} _y $, et $ \ hat {\ mathbf e} _z $ en termes de $ \ ha t {\ mathbf e} _r $, $ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta $ et $ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi $. Alors tout vecteur $ \ vec {\ mathbf p} = x \, \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $ peut être écrit sous la forme $ r « \, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta » \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi « \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $ Cette base particulière étant orthonormée, il existe une alternative: utilisez simplement le produit scalaire. Par exemple, pour obtenir $ r « $:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf p} \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r & = r « \, \ mathbf {\ hat e} _r \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta » \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta \ cdot \ mathbf {\ hat e } _r + \ phi « \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r \\ & = r » \ end {align} $$
Passons maintenant au dégradé.En utilisant la notation matricielle, nous pouvons écrire le dégradé sous forme de vecteur de ligne et la formule de la règle de chaîne devient:
$$ \ begin {align} \ vec \ nabla f & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f } {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & \ frac {\ partial r} {\ partial y} & \ frac {\ partial r} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial x} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ phi } {\ partial x} & \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ end {align} $$
Appelez la matrice de droite $ J $ (elle « est la matrice jacobienne ). Notez que cela fonctionne également dans lautre sens:
$$ \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial x} {\ partial r} & \ frac {\ partial y } {\ partial r} & \ frac {\ partial z} {\ partial r} \\ \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \\ \ frac { \ partial x} {\ partial \ phi} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ phi} & \ frac { \ partial z} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} $$
Et appelons cette autre matrice $ J « $. Nous pouvons inverser la première équation en obtenir $ \ vec \ nabla f \, J ^ {- 1} = \ vec \ nabla f \, J « $ $ \ Rightarrow $ $ \ vec \ nabla f \, \ left (J ^ {- 1} -J » \ droite) = 0 $. Puisque cela fonctionne pour un $ f $ arbitraire, nous avons $ J ^ {- 1} – J « = 0 $ $ \ Rightarrow $ $ J » = J ^ {- 1} $. Une conséquence importante est que, en général:
$$ \ frac {\ partial a} {\ partial b} \ neq \ left (\ frac {\ partial b} {\ partial a} \ right) ^ {- 1} $$
Il semble que lOP ait fait cette erreur dans un commentaire , déroutant $ \ partial r / \ partial x $ avec $ (\ partial x / \ partial r) ^ {- 1} = 1 / (\ sin \ theta \ cos \ phi) $, comme ce serait le cas si nous utilisions des dérivées régulières (au lieu de partielles).
Nous avons maintenant deux manières de calculer la matrice $ J $. Directement ou en calculant dabord $ J « $ puis en linversant. Faisons-le directement.Nous aurons besoin des expressions pour $ r $, $ \ theta $ et $ \ phi $ en termes de $ x $, $ y $ et $ z $ (pour les autres systèmes de coordonnées, cela peut être très difficile à obtenir) :
$$ \ begin {align} r & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \\ \ theta & = \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right) \\ \ phi & = \ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right) \ end {align} $$
Les dérivées partielles sont:
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial y} & = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial z} & = \ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ cos \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ frac {\ par tial \ theta} {\ partial x} & = \ frac {zx} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & = \ frac {zy} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} & = – \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r} \ end {align} $ $
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} & = – \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} & = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} = 0 & & = 0 \ end {align} $$
Notre Jacobien est alors:
$$ J = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} & \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} & – \ frac {\ sin \ phi} {r} \\ – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} & \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} & 0 \ end {bmatrix} $$
Alternativement, nous aurions pu calculer le jacobien inverse (ce qui est simple) puis linverser (ce qui est un cauchemar).Nous pouvons utiliser Wolfram Alpha pour confirmer quil donne le même résultat:
Enfin, nous utilisons le produit scalaire pour trouver les coefficients $ r « $, $ \ theta » $, et $ \ phi « $:
$$ r » = \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r } & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi } \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ cos \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac { \ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {\ partial f} {\ partial r} $$
$$ \ theta « = \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ theta = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ cos \ theta \ cos \ phi \\ \ cos \ theta \ sin \ phi \\ – \ sin \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end { bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 / r \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} $$
$$ \ phi « = \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ phi = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} – \ sin \ phi \\ \ cos \ phi \\ 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } 0 \\ 0 \\ 1 / (r \ sin \ theta) \ end {b matrice} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} $$
Par conséquent:
$$ \ vec \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ mathbf {\ hat e} _r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $$
Une bien meilleure façon
Nous allons avoir besoin dune nouvelle notation pour éviter davoir à utiliser des lettres différentes pour $ x $, $ y $ et $ z $, par exemple. Au lieu de cela, utilisons des indices de $ 1 $ à $ 3 $. Pour les coordonnées cartésiennes, nous utiliserons la lettre $ x $, et pour les coordonnées sphériques, nous utiliserons la lettre $ r $. Ce qui suit devrait être explicite:
$$ \ vec {\ mathbf p} = \ sum_i x_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_k r_k \ mathbf {\ hat r} ^ k $$
Depuis le définition des vecteurs de base:
$$ \ mathbf {\ vec r} ^ k = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k}, \ quad \ mathbf {\ chapeau r} ^ k = \ frac {\ mathbf {\ vec r} ^ k} {|| \ mathbf {\ vec r} ^ k ||} = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k} $$
Où $ h_k \ triangleq || \ mathbf {\ vec r} ^ k || $. Expansion dans la base $ x $:
$$ \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j $$
Maintenant, le dégradé est simplement:
$$ \ vec \ nabla f = \ mathbf {\ vec F} = \ sum_i F_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i $$
Pour obtenir le composant $ k $ « ème en coordonnées sphériques ($ F » _k $) , utilisez le produit scalaire:
$$ \ begi n {align} F « _k & = \ mathbf {\ vec F} \ cdot \ mathbf {\ hat r} ^ k \\ & = \ left (\ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i \ right) \ cdot \ left (\ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac { \ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j \ right) \\ & = \ frac {1} {h_k} \ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ frac {\ partial x_i} {\ partial r_k} \\ & = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial f} {\ partial r_k} \ end {align} $$
et cest fini.
Commentaires
- Merci tellement de! Cela a dégagé beaucoup de confusion dans ma tête, en particulier la distinction entre le jacobien et le changement de matrice de base, qui sont similaires en forme et en idée et assez déroutants. Merci également davoir ouvert les yeux sur la différence entre les coordonnées et le composant.
- Au fait, la dernière formule serait-elle également vraie pour les bases non orthogonales?
- @JonasDaverio Non, car les produits scalaires ne donnent que des projections orthogonales. Si vous regardez les coefficients $ \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} $, vous pouvez lécrire sous forme de matrice. Dans le cas général, vous devez ‘ utiliser la transposition inverse de cela. Dans le cas orthogonal, la transposition inverse se trouve être la propre matrice.
- Oh oui, vous ‘ parlez du tenseur métrique, est-ce que cest écrit? Comme il est diagonal pour les bases orthogonales, linverse reste diagonal.
- Très bien répondu.Je ne ‘ ne sais pas pourquoi cette réponse nest ‘ en haut
Réponse
On prend: $$ x = r \ cos \ theta \ cos \ phi $$ $$ y = r \ cos \ theta \ sin \ phi $$ $ $ z = r \ cos \ theta $$
Maintenant, vous connaissez la définition du dégradé en coordonnées cartésiennes: $ \ vec {\ nabla} = \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {x} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {y} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {z} $
Maintenant, nous utilisons la règle de la chaîne ou chaque composant. Par exemple, $$ \ frac {\ partial} {\ partial x} = \ frac {\ partial r} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {\ partial \ theta} { \ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $$
Après beaucoup dalgèbre encombrante, cela vous donnera la forme correcte.
Commentaires
- Oui, cest le niveau I ‘ m à. Mais je ne peux ‘ obtenir une réponse raisonnable!
- Quelle partie ne va pas?
- Jobtiens $ \ frac {\ partial} { \ partial x} = \ frac {1} {sin (\ theta) cos (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {1} {cos (\ theta) cos (\ phi) } \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} – \ frac {1} {sin (\ theta) sin (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $!
- Et puis comment les vecteurs hat sont-ils remplacés?
- vous devriez exprimer $ r, \ theta, \ phi $ en termes de seulement $ x, y, z $
Réponse
Cela découle de la définition générale du dégradé comme $$ \ langle \ nabla f (p) | v \ rangle = d_pf ( v) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i (v) $$ où p est un point dans lespace et va vecteur dans lespace tangent. La sommation se fait sur les vecteurs de base de lespace tangent. Vous pouvez essayer de développer cette expression pour obtenir le résultat final du composant $ i $ $$ (\ nabla f) _i = \ frac {1} {h_i} \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} $ $ Cest la formule la plus utile. La quantité $ h_i $ est le module du vecteur tangent $ i $ ème.
Exemple: vous voulez calculer le gradient en coordonnées sphériques. La base de lespace tangent est $ \ {\ frac {\ partial} {\ partial r}, \ frac {\ partial} {\ partial \ theta}, \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \} $ . Depuis $$ \ begin {split} \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | ^ 2 & = \ left \ | \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial x} + \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial y} + \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2 \\ & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial x} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ sin ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial y} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ underbrace {\ gauche \ | \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} \\ & = r ^ 2 \ end {split} $ $ Ainsi nous obtenons $$ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | = r $$ Dans le même esprit, vous pouvez calculer que $$ h_r = 1 \ quad \ text {et} \ quad h_ \ phi = r \ sin \ theta $$ nous donnant le gradient en coordonnées sphériques $$ \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ hat e_r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ hat e_ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ hat e_ \ phi $$
Preuve de la première étape
Développez le vecteur $ | \ nabla f \ rangle $ en termes de vecteurs de base $$ | \ nabla f \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i | e_i \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} \ rangle $$ Cest essentiellement de là que vient le facteur $ h_i $. Maintenant, prenez $ v = | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle $ et insérez-le dans la première expression donnée ci-dessus. Notez que par définition dun vecteur dual, nous obtenons $ dx ^ i (| \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle) = \ delta_k ^ i $. Le côté gauche est $$ \ begin {split} \ langle f | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} \ langle \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle \\ & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} h_i ^ 2 \ delta_ {ik} \\ & = (\ nabla f ) _kh_k \ end {split} $$ Whreas the right-hand side $$ \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i \ left (| \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle \ right) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _p \ delta ^ i_k = \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ k} $$ En comparant les deux expressions, vous obtenez la revendication.
Commentaires
- Excellente réponse, bien meilleure que la mienne. Cependant, je ‘ ne suis pas sûr que le demandeur soit à laise avec ce niveau dabstraction (lespace tangent, par exemple, pourrait être un concept inconnu).
- Bonne réponse , Jai ‘ lu sur cette méthode auparavant, mais vous ‘ la simplifiée et je comprends presque tout. Jai en fait travaillé à travers cela en dervant des vecteurs unitaires sphériques. Juste une chose: comment passez-vous de la définition générale en haut à votre deuxième expression? Doù vient ce $ h $?
- Et pourquoi $ h _ {\ theta} = || \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} || $?
- Je viens dajouter une preuve pour le premier étape. $ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | $ par définition, il ‘ est simplement le module du vecteur tangent $ \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} $
- @Stan Je suis un cours de GR et je ne peux ‘ comprendre ce qui suit partie de la solution: pour autant que je semble comprendre jusquici, votre deuxième formule obtient ce facteur de $ \ frac {1} {h} $, en raison dun facteur de $ \ frac {1} {h ^ 2} $ dabord, venant de la métrique, et un facteur de h après cela, afin de passer des vecteurs tangents à une base orthonormée. Le module du vecteur tangent sera toujours positif, nest-ce pas? Ensuite, une base orthonormée différente aurait pu être trouvée où $ \ phi $ est tel que la composante thêta de la divergence lit $ \ frac {1} {r \, | \ sin \ theta |} $ Comment puis-je vérifier que le so
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