Deriva il gradiente vettoriale in coordinate sferiche dai primi principi
Su Dicembre 31, 2020 da adminCercando di capire dove $ \ frac {1} {r sin (\ theta)} $ e $ 1 / I bit r $ rientrano nella definizione di gradiente .
Ho derivato i vettori unitari sferici ma ora non capisco come trasformare del cartesiano in del sferico. La gente continua a dire usa la regola della catena, ma io non la vedo!
Qualche aiuto?
Commenti
- Io credo che il modo di derivarli da principi veramente primi dovrebbe comportare il ritiro della metrica da $ \ mathbb {R} ^ 3 $ quando si incorpora $ S ^ 2 $ … Un modo forse meno fondamentale ma comunque soddisfacente di fare le cose è definire $ x, y, z $ in termini di $ r, \ theta, \ phi $ e lavorando da lì.
- Voglio dire come si converte cartesiane in polari sferiche?
- math.stackexchange.com sarebbe una sede migliore per questa domanda?
- @Qmechanic In Australia, impariamo questa identità al secondo anno di università Fisica. Sto solo ora scherzando con la derivazione perché so già come farlo utilizzando un risultato generale di matematica pura, ma trovare una derivazione senza utilizzare quel livello di astrazione potrebbe essere di interesse per lo studente di fisica generale. Come fai a tracciare il confine tra matematica e fisica? t di sangue sul tappeto, penserei.
Risposta
Hai chiesto una prova da “principi primi “. Quindi facciamolo. Evidenzierò le più comuni fonti di errore e in seguito mostrerò una dimostrazione alternativa che non richiede alcuna conoscenza del calcolo tensoriale o della notazione di Einstein.
Il modo più difficile
Innanzitutto, la convenzione delle coordinate:
$$ (r, \ theta, \ phi) \ rightarrow (x, y, z) = (r \ sin \ theta \ cos \ phi, \; r \ sin \ theta \ sin \ phi, \; r \ cos \ theta) $$
Nello stesso modo in cui possiamo esprimere $ (x, y, z) $ come $ x \ , \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $, possiamo anche esprimere $ (r, \ theta, \ phi) $ come $ r “\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $, ma ora i coefficienti non sono gli stessi: $ (r “, \ theta”, \ phi “) \ neq (r, \ theta, \ phi) $, in generale. Questo perché le coordinate sferiche sono curvilinee , quindi i vettori di base non sono gli stessi in tutti i punti. Per piccole variazioni, invece, sono molto simili. Più precisamente, relativo a un punto $ \ vec {\ mathbf p} _0 = (x, y, z) $, un punto vicino $ \ vec {\ mathbf p} _1 = (x + \ Delta x, \; y + \ Delta y, \; z + \ Delta z) $ può essere descritto da $ \ Delta \ vec {\ mathbf p} = (\ Delta x, \ Delta y, \ Delta z) $ e, in coordinate sferiche, se questa variazione è ” infinitesimale “, quindi $ d \ vec {\ mathbf p} = (dr, d \ theta, d \ phi) = dr \, \ mathbf {\ hat e} _r + d \ theta \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + d \ phi \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $. Questa è fondamentalmente la motivazione per definire la base (non normalizzata) come:
$$ \ vec {\ mathbf e} _r = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r} , \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ theta}, \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac { \ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ phi} $$
Ma questo non è ancora normalizzato. Per coincidenza, $ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial r || $ risulta essere $ 1 $, ma $ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial \ theta || = r $, come vedremo.Quindi la base effettiva dovrebbe essere definita come:
$$ \ hat {\ mathbf e} _r = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _r} {|| \ vec {\ mathbf e} _r ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ theta} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ theta ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ phi} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ phi ||} $$
In modo esplicito:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf e} _r & = \; (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ theta & = \; (& r \ cos \ theta \ cos \ phi &, & r \ cos \ theta \ sin \ phi &, & -r \ sin \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ phi & = \; (& -r \ sin \ theta \ sin \ phi & , & r \ sin \ th eta \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
$$ \ begin {align} || \ vec {\ mathbf e} _r || ^ 2 & = \ sin ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi ) + \ cos ^ 2 \ theta & & = 1 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ theta || ^ 2 & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi) + r ^ 2 \ sin \ theta & & = r ^ 2 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ phi || ^ 2 & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta (\ sin ^ 2 \ phi + \ cos ^ 2 \ phi) & & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r & = \ vec {\ mathbf e} _r & & = & & (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ vec {\ mathbf e} _ \ theta / r & & = & & (& \ cos \ theta \ cos \ phi &, & \ cos \ theta \ sin \ phi &, & – \ sin \ theta) \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi & = \ vec {\ mathbf e} _ \ phi / (r \ sin \ theta) & & = & & (& – \ sin \ phi &, & \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
Puoi verificare che anche questo formi una base ortogonale (quindi ortonormale). Ad esempio:
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r \ cdot \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ sin \ theta \ cos \ theta \ cos ^ 2 \ phi + \ sin \ theta \ cos \ theta \ sin ^ 2 \ phi – \ sin \ theta \ cos \ theta \\ & = 0 \ end {align} $$
Ciò non deve accadere in generale.
Per passare da un insieme di coordinate allaltro utilizzando i vettori di base, noi risolvere:
$$ \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _r \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ cos \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & – \ sin \ theta \\ – \ sin \ phi & \ cos \ phi & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _x \\ \ hat {\ mathbf e} _y \\ \ hat {\ mathbf e} _z \ end {bmatrix} $$
per $ \ hat {\ mathbf e} _x $, $ \ hat {\ mathbf e} _y $ e $ \ hat {\ mathbf e} _z $ in termini di $ \ ha t {\ mathbf e} _r $, $ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta $ e $ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi $. Quindi qualsiasi vettore $ \ vec {\ mathbf p} = x \, \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $ può essere scritto nella forma $ r “\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $ per semplice sostituzione Poiché questa particolare base è ortonormale, esiste un modo alternativo: utilizzare semplicemente il prodotto scalare. Ad esempio, per ottenere $ r “$:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf p} \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r & = r “\, \ mathbf {\ hat e} _r \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta \ cdot \ mathbf {\ hat e } _r + \ phi “\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r \\ & = r” \ end {align} $$
Ora passiamo al gradiente.Usando la notazione matriciale, possiamo scrivere il gradiente come un vettore riga e la formula per la regola della catena diventa:
$$ \ begin {align} \ vec \ nabla f & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f } {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & \ frac {\ partial r} {\ partial y} & \ frac {\ partial r} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial x} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ phi } {\ partial x} & \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ end {align} $$
Chiama la matrice a destra $ J $ (it “è la matrice Jacobiana ). Nota che funziona anche al contrario:
$$ \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial x} {\ partial r} & \ frac {\ partial y } {\ partial r} & \ frac {\ partial z} {\ partial r} \\ \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \\ \ frac { \ partial x} {\ partial \ phi} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ phi} & \ frac { \ partial z} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} $$
E chiama questaltra matrice $ J “$. Possiamo invertire la prima equazione in ottieni $ \ vec \ nabla f \, J ^ {- 1} = \ vec \ nabla f \, J “$ $ \ Rightarrow $ $ \ vec \ nabla f \, \ left (J ^ {- 1} -J” \ destra) = 0 $. Poiché questo funziona per un $ f $ arbitrario, abbiamo $ J ^ {- 1} – J “= 0 $ $ \ Rightarrow $ $ J” = J ^ {- 1} $. Una conseguenza importante è che, in generale:
$$ \ frac {\ partial a} {\ partial b} \ neq \ left (\ frac {\ partial b} {\ partial a} \ right) ^ {- 1} $$
Sembra che lOP abbia commesso questo errore in un commento , confondendo $ \ partial r / \ partial x $ con $ (\ partial x / \ partial r) ^ {- 1} = 1 / (\ sin \ theta \ cos \ phi) $, come sarebbe il caso se usassimo derivate regolari (invece di parziali).
Ora abbiamo due modi per calcolare la matrice $ J $. Direttamente o calcolando prima $ J “$ e poi invertendolo. Facciamolo direttamente.Avremo bisogno delle espressioni per $ r $, $ \ theta $ e $ \ phi $ in termini di $ x $, $ y $ e $ z $ (per altri sistemi di coordinate questo potrebbe essere molto difficile da ottenere) :
$$ \ begin {align} r & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \\ \ theta & = \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right) \\ \ phi & = \ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right) \ end {align} $$
Le derivate parziali sono:
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial y} & = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial z} & = \ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ cos \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ frac {\ par tial \ theta} {\ partial x} & = \ frac {zx} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & = \ frac {zy} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} & = – \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r} \ end {align} $ $
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} & = – \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} & = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} = 0 & & = 0 \ end {align} $$
Il nostro Jacobiano è quindi:
$$ J = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} & \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} & – \ frac {\ sin \ phi} {r} \\ – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} & \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} & 0 \ end {bmatrix} $$
In alternativa, avremmo potuto calcolare lo Jacobiano inverso (che è semplice) e poi invertirlo (che è un incubo).Possiamo utilizzare Wolfram Alpha per confermare che fornisce lo stesso risultato:
Infine, utilizziamo il prodotto scalare per trovare i coefficienti $ r “$, $ \ theta” $ e $ \ phi “$:
$$ r” = \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r } & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi } \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ cos \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac { \ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ parziale f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {\ partial f} {\ partial r} $$
$$ \ theta “= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ theta = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ cos \ theta \ cos \ phi \\ \ cos \ theta \ sin \ phi \\ – \ sin \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end { bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 / r \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} $$
$$ \ phi “= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ phi = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} – \ sin \ phi \\ \ cos \ phi \\ 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } 0 \\ 0 \\ 1 / (r \ sin \ theta) \ end {b matrix} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} $$
Quindi:
$$ \ vec \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ mathbf {\ hat e} _r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $$
Un modo molto migliore
Avremo bisogno di una nuova notazione per evitare di dover usare lettere diverse per $ x $, $ y $ e $ z $, per esempio. Usiamo invece indici da $ 1 $ a $ 3 $. Per le coordinate cartesiane useremo la lettera $ x $, e per le coordinate sferiche useremo la lettera $ r $. Quanto segue dovrebbe essere autoesplicativo:
$$ \ vec {\ mathbf p} = \ sum_i x_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_k r_k \ mathbf {\ hat r} ^ k $$
Dal definizione dei vettori di base:
$$ \ mathbf {\ vec r} ^ k = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k}, \ quad \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ frac {\ mathbf {\ vec r} ^ k} {|| \ mathbf {\ vec r} ^ k ||} = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k} $$
Dove $ h_k \ triangleq || \ mathbf {\ vec r} ^ k || $. Espandibile in base $ x $:
$$ \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j $$
Ora il gradiente è solo:
$$ \ vec \ nabla f = \ mathbf {\ vec F} = \ sum_i F_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i $$
Per ottenere il $ k $ “esimo componente in coordinate sferiche ($ F” _k $) , utilizza il prodotto puntuale:
$$ \ begi n {align} F “_k & = \ mathbf {\ vec F} \ cdot \ mathbf {\ hat r} ^ k \\ & = \ left (\ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i \ right) \ cdot \ left (\ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac { \ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j \ right) \\ & = \ frac {1} {h_k} \ sum_i \ frac {\ parziale f} {\ partial x_i} \ frac {\ partial x_i} {\ partial r_k} \\ & = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial f} {\ partial r_k} \ end {align} $$
e abbiamo “finito”.
Commenti
- Grazie così tanto! Mi ha chiarito molta confusione, in particolare la distinzione tra la matrice giacobiana e il cambiamento di matrice di base, che sono simili per forma e idea e piuttosto confuse. Inoltre, grazie per avermi aperto gli occhi sulla differenza tra coordinate e componente.
- A proposito, lultima formula sarebbe vera anche per basi non ortogonali?
- @JonasDaverio No, perché i prodotti a punti forniscono solo proiezioni ortogonali. Se guardi i coefficienti $ \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} $, potresti scriverli come una matrice. Nel caso generale ‘ dovresti usare la trasposizione inversa di quella. Nel caso ortogonale, la trasposizione inversa sembra essere la propria matrice.
- Oh sì, ‘ stai parlando del tensore metrico, è quella scrittura? Poiché è diagonale per le basi ortogonali, linverso rimane diagonale.
- Molto ben risposto.Non ‘ non so perché questa risposta non è ‘ in primo piano
Risposta
Prendiamo: $$ x = r \ cos \ theta \ cos \ phi $$ $$ y = r \ cos \ theta \ sin \ phi $$ $ $ z = r \ cos \ theta $$
Ora, conosci la definizione del gradiente in coordinate cartesiane: $ \ vec {\ nabla} = \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {x} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {y} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {z} $
Ora usiamo la regola della catena o ogni componente. Ad esempio, $$ \ frac {\ partial} {\ partial x} = \ frac {\ partial r} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {\ partial \ theta} { \ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $$
Dopo un sacco di algebra ingombrante, questo ti darà la forma corretta.
Commenti
- Sì, questo è il livello I ‘ m at. Ma non posso ‘ ottenere una risposta sensata!
- Quale parte va storta?
- Ottengo $ \ frac {\ partial} { \ partial x} = \ frac {1} {sin (\ theta) cos (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {1} {cos (\ theta) cos (\ phi) } \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} – \ frac {1} {sin (\ theta) sin (\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $!
- E poi come vengono sostituiti i vettori hat?
- dovresti esprimere $ r, \ theta, \ phi $ solo in termini di $ x, y, z $
Risposta
Segue dalla definizione generale del gradiente come $$ \ langle \ nabla f (p) | v \ rangle = d_pf ( v) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i (v) $$ dove p è un punto nello spazio e va vettore nello spazio tangente. La somma è sui vettori di base dello spazio tangente. Puoi provare a espandere questa espressione per ottenere il risultato finale per il componente $ i $ $$ (\ nabla f) _i = \ frac {1} {h_i} \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} $ $ Questa è la formula più utile. La quantità $ h_i $ è il modulo del vettore tangente $ i $ esimo.
Esempio: si desidera calcolare il gradiente in coordinate sferiche. La base dello spazio tangente è $ \ {\ frac {\ partial} {\ partial r}, \ frac {\ partial} {\ partial \ theta}, \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \} $ . Poiché $$ \ begin {split} \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | ^ 2 & = \ left \ | \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial x} + \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial y} + \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2 \\ & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial x} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ sin ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial y} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ underbrace {\ sinistra \ | \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} \\ & = r ^ 2 \ end {split} $ $ Quindi otteniamo $$ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | = r $$ Nello stesso spirito puoi calcolare che $$ h_r = 1 \ quad \ text {e} \ quad h_ \ phi = r \ sin \ theta $$ dandoci il gradiente in coordinate sferiche $$ \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ hat e_r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ hat e_ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ hat e_ \ phi $$
Prova per il primo passaggio
Espandi il vettore $ | \ nabla f \ rangle $ in termini di vettori di base $$ | \ nabla f \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i | e_i \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} \ rangle $$ Fondamentalmente è da qui che viene il fattore $ h_i $. Ora prendi $ v = | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle $ e inseriscilo nella prima espressione data sopra. Nota che per definizione di un vettore duale otteniamo $ dx ^ i (| \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle) = \ delta_k ^ i $. Il lato sinistro è $$ \ begin {split} \ langle f | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} \ langle \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle \\ & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} h_i ^ 2 \ delta_ {ik} \\ & = (\ nabla f ) _kh_k \ end {split} $$ Whreas il lato destro $$ \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i \ left (| \ frac {\ parziale} {\ parziale x ^ k} \ rangle \ right) = \ sum_i \ left. \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _p \ delta ^ i_k = \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ k} $$ Confrontando entrambe le espressioni si ottiene laffermazione.
Commenti
- Ottima risposta, molto meglio della mia. Tuttavia, ‘ non sono sicuro che il richiedente sia a suo agio con questo livello di astrazione (lo spazio tangente, ad esempio, potrebbe essere un concetto sconosciuto).
- Buona risposta , ‘ ho letto di questo metodo in passato, ma ‘ lo hai reso più semplice e ho capito quasi tutto. In realtà ho lavorato su questo quando derving vettori unità sferiche. Solo una cosa: come arrivi dalla definizione generale in alto alla tua seconda espressione? Da dove viene questo $ h $?
- E perché $ h _ {\ theta} = || \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} || $?
- Ho appena aggiunto una dimostrazione per la prima passo. $ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | $ per definizione, ‘ è semplicemente il modulo del vettore tangente $ \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} $
- @Stan Sto seguendo un corso GR e ‘ non mi sembra di cogliere quanto segue parte della soluzione: per quanto mi sembra di capire finora, la tua seconda formula ottiene questo fattore di $ \ frac {1} {h} $, a causa di un fattore di $ \ frac {1} {h ^ 2} $ prima, proveniente dalla metrica, e poi un fattore h, per passare da vettori tangenti a una base ortonormale. Il modulo del vettore tangente sarà sempre positivo, no? Quindi si sarebbe potuta trovare una base ortonormale diversa dove $ \ phi $ è tale che il componente theta della divergenza legge $ \ frac {1} {r \, | \ sin \ theta |} $ Come posso verificare che il
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