Johda vektorigradientti pallomaisissa koordinaateissa ensimmäisistä periaatteista
On joulukuu 31, 2020 by adminYritetään ymmärtää, mistä $ \ frac {1} {r sin (\ theta)} $ ja $ 1 / r $ -bittejä käytetään -gradientin määritelmässä.
En ole johtanut pallomaisia yksikkövektoreita, mutta en nyt ymmärrä miten muuntaa karteesinen del pallomaiseksi deliksi. Ihmiset sanovat jatkuvasti käyttävän ketjusääntöä, mutta en näe sitä!
Onko mitään apua?
Kommentit
- I usko, että tavan johtaa ne todella ensimmäisistä periaatteista tulisi sisällyttää mittarin vetäminen takaisin $ \ mathbb {R} ^ 3 $: sta, kun upotetaan $ S ^ 2 $ … Ehkä vähemmän perustava, mutta silti tyydyttävä tapa tehdä asioita on määritellä $ x, y, z $ dollareina $ r, \ theta, \ phi $ ja työskennellä sieltä.
- Tarkoitan, kuinka muunnat karteesinen pallomaisiksi napeiksi?
- Olisiko math.stackexchange.com parempi koti tälle kysymykselle?
- @Qmechanic Opimme tämän identiteetin Australiassa toisen vuoden yliopistossa Fysiikka. Minä vain sekaisin itse johdon kanssa, koska tiedän jo, miten se tehdään käyttämällä puhdasta matematiikkaa koskevaa yleistulosta, mutta johdannon löytäminen käyttämättä tätä abstraktiotasoa saattaa kiinnostaa yleistä fysiikan opiskelijaa. piirtää raja matematiikan ja fysiikan välille? Ei ilman lo Luulisin, että veri matolla.
Vastaa
Pyysit todisteita ”ensimmäisistä periaatteista” ”. Joten anna sen tehdä. Korostan yleisimmät virhelähteet ja näytän myöhemmin vaihtoehtoisen todistuksen, joka ei vaadi mitään tietoa tensorilaskennasta tai Einstein-merkinnästä.
Vaikea tapa
Ensinnäkin koordinaatit:
$$ (r, \ theta, \ phi) \ rightarrow (x, y, z) = (r \ sin \ theta \ cos \ phi, \; r \ sin \ theta \ sin \ phi, \; r \ cos \ theta) $$
Samalla tavalla voimme ilmaista $ (x, y, z) $ kuin $ x \ , \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $, voimme ilmaista myös $ (r, \ theta, \ phi) $ kuten $ r ”\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi ”\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $, mutta nyt kertoimet eivät ole samat: $ (r ”, \ theta”, \ phi ”) \ neq (r, \ theta, \ phi) $, yleensä. Tämä johtuu siitä, että pallomaiset koordinaatit ovat kaarevat , joten perusvektorit eivät ole samat kaikissa pisteissä. Pienissä muunnelmissa ne ovat kuitenkin hyvin samanlaisia. Tarkemmin sanottuna suhteessa pisteeseen $ \ vec {\ mathbf p} _0 = (x, y, z) $, naapuripiste $ \ vec {\ mathbf p} _1 = (x + \ Delta x, \; y + \ Delta y, \; z + \ Delta z) $ voidaan kuvata seuraavasti: $ \ Delta \ vec {\ mathbf p} = (\ Delta x, \ Delta y, \ Delta z) $ ja pallomaisissa koordinaateissa, jos tämä muunnelma on ” ääretön pieni ”, sitten $ d \ vec {\ mathbf p} = (dr, d \ theta, d \ phi) = dr \, \ mathbf {\ hat e} _r + d \ theta \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + d \ phi \, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $. Tämä on pohjimmiltaan motiivi määritellä (normalisoimaton) perusta seuraavasti:
$$ \ vec {\ mathbf e} _r = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r} , \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partituali theta}, \ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac { \ osal \ vec {\ mathbf p}} {\ partituali \ phi} $$
Mutta tätä ei ole vielä normalisoitu. Sattumalta, $ || \ osittainen \ vec {\ mathbf p} / \ osallinen r || $ osoittautuu $ 1 $, mutta $ || \ osittainen \ vec {\ mathbf p} / \ osittainen theta || = r $, kuten näemme.Todellinen perusta olisi siis määriteltävä seuraavasti:
$$ \ hat {{mathbf e} _r = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _r} {|| \ vec {\ mathbf e} _r ||}, \ quad \ hattu {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ theta} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ theta ||}, \ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ phi} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ phi ||} $$
Selkeästi:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf e} _r & = \; (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ theta & = \; (& r \ cos \ theta \ cos \ phi &, & r \ cos \ theta \ sin \ phi &, & -r \ sin \ theta) \\ \ vec {\ mathbf e} _ \ phi & = \; (& -r \ sin \ theta \ sin \ phi & , & r \ sin \ th eta \ cos \ phi &, & 0) \ end {tasaa} $$
$$ \ alku {tasaa} || \ vec {\ mathbf e} _r || ^ 2 & = \ sin ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi ) + \ cos ^ 2 \ theta & & = 1 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ theta || ^ 2 & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta (\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi) + r ^ 2 \ sin \ theta & & = r ^ 2 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ phi || ^ 2 & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta (\ sin ^ 2 \ phi + \ cos ^ 2 \ phi) & & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {tasaa} $$
$$ \ begin {tasaa} \ hattu {\ mathbf e} _r & = \ vec {\ mathbf e} _r & & = & & (& \ sin \ theta \ cos \ phi &, & \ sin \ theta \ sin \ phi &, & \ cos \ theta) \\ \ hattu {\ mathbf e} _ \ theta & = \ vec {\ mathbf e} _ \ theta / r & & = & & (& \ cos \ theta \ cos \ phi &, & \ cos \ theta \ sin \ phi &, & – \ sin \ theta) \\ hattu {\ mathbf e} _ \ phi & = \ vec {\ mathbf e} _ \ phi / (r \ sin \ theta) & & = & & (& – \ sin \ phi &, & \ cos \ phi &, & 0) \ end {align} $$
Voit varmistaa, että tämä muodostaa myös kohtisuoran perustan (siis ortonormaalin). Esimerkiksi:
$$ \ begin {tasaa} \ hattu {\ mathbf e} _r \ cdot \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ sin \ theta \ cos \ theta \ cos ^ 2 \ phi + \ sin \ theta \ cos \ theta \ sin ^ 2 \ phi – \ sin \ theta \ cos \ theta \\ & = 0 \ end {align} $$
Tämän ei tarvitse tapahtua yleensä.
Jos haluat siirtyä yhdestä koordinaattijoukosta toiseen perusvektorien avulla, ratkaista:
$$ \ begin {bmatrix} \ hattu {\ mathbf e} _r \\ \ hattu {\ mathbf e} _ \ theta \\ \ hattu {\ mathbf e} _ \ phi \ end {bmatrix} = \ alkaa {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ cos \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi & – \ sin \ theta \\ – \ sin \ phi & \ cos \ phi & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ hattu {\ mathbf e} _x \\ \ hat {\ mathbf e} _y \\ \ hat {\ mathbf e} _z \ end {bmatrix} $$
for $ \ hat {\ mathbf e} _x $, $ \ hat {\ mathbf e} _y $ ja $ \ hat {\ mathbf e} _z $ dollareina ha t {\ mathbf e} _r $, $ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta $ ja $ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi $. Sitten mikä tahansa vektori $ \ vec {\ mathbf p} = x \, \ mathbf {\ hat e} _x + y \, \ mathbf {\ hat e} _y + z \, \ mathbf {\ hat e} _z $ voi olla kirjoitettu muodossa $ r ”\, \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi ”\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $ Koska tämä nimenomainen perusta on orthonormaali, on olemassa vaihtoehtoinen tapa: käytä vain pistetuotetta. Esimerkiksi saadaksesi $ r ”$:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf p} \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r & = r ”\, \ mathbf {\ hat e} _r \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \, \ mathbf {\ hat e} _ \ theta \ cdot \ mathbf {\ hat e } _r + \ phi ”\, \ mathbf {\ hat e} _ \ phi \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r \\ & = r” \ end {tasaus} $$
Nyt kaltevuuteen.Matriisimerkintää käyttämällä voimme kirjoittaa gradientin rivivektoriksi ja ketjusäännön kaavaksi tulee:
$$ \ begin {tasaus} \ vec \ nabla f & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partis f} {\ partituali x} & \ frac {\ osittainen f} {\ osallinen y} & \ frac {\ partis f} {\ osittain z} \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ osittainen f } {\part r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partif} {\ partituali \ phi} \ loppu {bmatrix} \ alku {bmatrix} \ frac {\ partituali} {\ osallinen x} & \ frac {\ osallinen r} {\ osallinen y} & \ frac {\ partituali} {\ osaa z} \\ \ frac {\ osaa \ theta} {\ osaa x} & \ frac {\ partituali \ theta} {\ osittainen y} & \ frac {\ partituali \ theta} {\ osittainen z} \\ \ frac {\ osallinen \ phi } {\ partional x} & \ frac {\ partituali \ phi} {\ osittainen y} \ frac {\ partituali \ phi} {\ osaa z} \ loppu {bmatrix} \ loppu {tasaa} $$
Kutsu matriisia oikealla $ J $ (se ”s jakobilainen matriisi ). Huomaa, että tämä toimii myös päinvastoin:
$$ \ begin {bmatrix} \ frac {\ partit f} {\ partitu r} & \ frac {\ partial f} {\ partituali \ theta} & \ frac {\ osittainen f} {\ osallinen \ phi} \ loppu {bmatrix} \\ = \ alku {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partif} {\ part y} & \ frac {\ part f} {\ partitio z} \ end {bmatrix} \ alku {bmatrix} \ frac {\ partitux} {\ partitu r} & \ frac {\ osio y } {\ partituali} & \ frac {\ partitu z} {\ osallinen r} \\ \ frac {\ osallinen x} {\ osallinen \ theta} & \ frac {\ partial y} {\ partituali \ theta} & \ frac {\ partitu z} {\ osittainen \ theta} \\ \ frac { \ osal x} {\ partituali \ phi} & \ frac {\ osittainen y} {\ osallinen \ phi} & \ frac { \ osal z} {\ partituali \ phi} \ end {bmatrix} $$
Ja kutsu tätä muuta matriisia $ J ”$. Voimme kääntää ensimmäisen yhtälön muotoon hae $ \ vec \ nabla f \, J ^ {- 1} = \ vec \ nabla f \, J ”$ $ \ Rightarrow $ $ \ vec \ nabla f \, \ left (J ^ {- 1} -J” \ oikea) = 0 $. Koska tämä toimii mielivaltaisella $ f $: lla, meillä on $ J ^ {- 1} – J ”= 0 $ $ \ Rightarrow $ $ J” = J ^ {- 1} $. Tärkeä seuraus on, että yleensä:
$$ \ frac {\ partitu a} {\ osittainen b} \ neq \ vasen (\ frac {\ osallinen b} {\ osaa a} \ oikea) ^ {- 1} $$
Vaikuttaa siltä, että OP teki tämän virheen -kommentissa , hämmentäen $ \ partial r / \ osaa x $ ja $ (\ osittainen x / \ osallinen r) ^ {- 1} = 1 / (\ sin \ theta \ cos \ phi) $, kuten olisi tapaus, jos käytettäisimme säännöllisiä (osittaisten) johdannaisia.
Meillä on nyt kaksi tapaa laskea matriisi $ J $. Suoraan tai laskemalla $ J ”$ ensin ja kääntämällä se sitten. Tehdään se suoraan.Tarvitsemme lausekkeet $ r $, $ \ theta $ ja $ \ phi $ lausekkeina $ x $, $ y $ ja $ z $ (muille koordinaattijärjestelmille tätä voi olla vaikea saada) :
$$ \ begin {align} r & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \\ \ theta & = \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right) \\ \ phi & = \ arctan \ left (\ frac {y} {x} \ right) \ end {tasaa} $$
Osittaiset johdannaiset ovat:
$$ \ begin {tasaa} \ frac {\ partituali} {\ osittain x} & = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ frac {\ részben r} {\ osittain y} & = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ frac {\ partituali} {\ osaa z} & = \ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ cos \ theta \ end {tasaa} $$
$$ \ begin {tasaa} \ frac {\ par tial \ theta} {\ osa x} & = \ frac {zx} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ vasen (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ oikea)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} \\ \ frac {\ partituali \ theta} {\ osittainen y} & = \ frac {zy} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ vasen (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ oikea)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} \\ \ frac {\ partituali \ theta} {\ osittainen z} & = – \ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r} \ end {tasaus} $ $
$$ \ begin {tasaa} \ frac {\ partituali \ phi} {\ osittain x} & = – \ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partituali \ phi} {\ osittainen y} & = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partituaalinen \ phi} {\ osittain z} = 0 & & = 0 \ end {align} $$
Meidän Jaakobilainen on silloin:
$$ J = \ alkaa {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} & \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} & – \ frac {\ sin \ phi} {r} \\ – \ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} & \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} & 0 \ end {bmatrix} $$
Vaihtoehtoisesti olisimme voineet laskea käänteisen Jaakobin (mikä on suoraviivaista) ja sitten kääntää sen (mikä on painajainen).Voimme käyttää Wolfram Alpha -sovellusta varmistaaksemme, että se antaa saman tuloksen:
Lopuksi käytämme pistetuotetta kertoimien $ r ”$, $ \ theta” $ ja $ \ phi ”$:
$$ r” = \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ ositettu r } & \ frac {\ partitu f} {\ ositettu \ theta} & \ frac {\ osallinen f} {\ osallinen \ phi } \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ cos \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac { \ osittainen f} {\ osallinen r} & \ frac {\ osallinen f} {\ osallinen \ theta} & \ frac {\ osittainen f} {\ osittainen \ phi} \ loppu {bmatrix} \ alku {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ loppu {bmatrix} = \ frac {\ osittainen f} {\ osallinen r} $$
$$ \ theta ”= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ theta = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partitali f} {\ osittainen r} & \ frac {\ partitu f} {\ partituali \ theta} & \ frac {\ osio f} {\ osio \ phi} \ loppu {bmatrix} J \ alku {bmatrix} \ cos \ theta \ cos \ phi \\ \ cos \ theta \ sin \ phi \\ – \ sin \ theta \ end {bmatrix} = \ alku {bmatrix} \ frac {\ osittainen f} {\ osallinen r} & \ frac {\ partis f} {\ ositettu \ theta} & \ frac {\ osallinen f} {\ osallinen \ phi} \ loppu { bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 / r \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partit f} {\ osittainen \ theta} $$
$$ \ phi ”= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ phi = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partitio f} {\ osittainen r} & \ frac {\ partis f} {\ osittainen \ theta} & \ frac {\ osallinen f} {\ osallinen \ phi} \ loppu {bmatrix} J \ alku {bmatrix} – \ sin \ phi \\ \ cos \ phi \\ 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partit f} {\ osittainen r} & \ frac {\ osa f} {\ osittainen \ theta} & \ frac {\ osallinen f} {\ osallinen \ phi} \ loppu {bmatrix} \ alku {bmatrix } 0 \\ 0 \\ 1 / (r \ sin \ theta) \ loppu {b matriisi} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ osittainen f} {\ osittainen \ phi} $$
Siksi:
$$ \ vec \ nabla f = \ frac {\ osittainen f} {\ osallinen r} \ mathbf {\ hat e} _r + \ frac {1} {r} \ frac {\ osittainen f} {\ osallinen \ theta} \ matbbf {\ hattu e} _ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ osittainen f} {\ osallinen \ phi} \ mathbf {\ hattu e} _ \ phi $$
Paljon parempi tapa
Tarvitsemme uuden merkinnän, jotta emme tarvitse käyttää eri kirjaimia esimerkiksi $ x $, $ y $ ja $ z $. Käytä sen sijaan indeksejä välillä $ 1 $ – $ 3 $. Karteesisten koordinaattien tapauksessa käytämme kirjainta $ x $ ja pallomaisissa koordinaateissa kirjainta $ r $. Seuraavien on oltava itsestään selviä:
$$ \ vec {\ mathbf p} = \ sum_i x_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_k r_k \ mathbf {\ hat r} ^ k $$
perusvektoreiden määrittely:
$$ \ mathbf {\ vec r} ^ k = \ frac {\ partituali \ vec {\ mathbf p}} {\ osittainen r_k}, \ quad \ mathbf {\ hattu r} ^ k = \ frac {\ mathbf {\ vec r} ^ k} {|| \ mathbf {\ vec r} ^ k ||} = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ osittainen \ vec {\ mathbf p}} {\ parts r_k} $$
Missä $ h_k \ triangleq || \ mathbf {\ vec r} ^ k || $. Laajentuminen $ x $ -periaatteella:
$$ \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partituali x_j} {\ osittainen r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j $ $
Nyt kaltevuus on vain:
$$ \ vec \ nabla f = \ mathbf {\ vec F} = \ sum_i F_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ summa_i \ frac {\ osittainen f} {\ osallinen x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i $$
Saadaksesi komponentin $ k $ ”pallomaisissa koordinaateissa ($ F” _k $) , käytä pistetuotetta:
$$ \ begi n {tasaus} F ”_k & = \ mathbf {\ vec F} \ cdot \ mathbf {\ hat r} ^ k \\ & = \ left (\ summa_i \ frac {\ osittainen f} {\ osallinen x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i \ oikea) \ cdot \ vasen (\ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac { \ osal x_j} {\ ositettu r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j \ oikea) \\ & = \ frac {1} {h_k} \ sum_i \ frac {\ osittainen f} {\ osittain x_i} \ frac {\ osallinen x_i} {\ osallinen r_k} \\ & = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ osallinen f} {\ partional r_k} \ end {align} $$
ja olemme valmiit.
Kommentit
- Kiitos niin paljon! Se poisti paljon hämmennystä päähäni, etenkin jakobian ja perusmatriisin muutoksen välillä, jotka ovat muodoltaan ja ajatukseltaan samanlaisia ja melko hämmentäviä. Kiitos myös siitä, että avasit silmäni koordinaattien ja komponenttien väliseen eroon.
- Olisiko muuten totta, että viimeinen kaava pätee myös muihin kuin ortogonaalisiin peruksiin?
- koska pistetuotteet antavat vain kohtisuoria projektioita. Jos tarkastelet kertoimia $ \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} $, voit kirjoittaa sen matriisina. Yleensä ’ sinun on käytettävä sen käänteistä transponointia. Ortogonaalisessa tapauksessa käänteissiirto sattuu olemaan oma matriisi.
- Voi kyllä, sinä ’ puhut metrisestä tensorista, onko tämä kirjoitus? Koska se on diagonaalinen ortogonaalisille alustoille, käänteinen pysyy diagonaalisena.
- Hyvin vastattu.En tiedä ’ en tiedä miksi tämä vastaus ei ole ’ t päällä
Vastaa
Otetaan: $$ x = r \ cos \ theta \ cos \ phi $$ $$ y = r \ cos \ theta \ sin \ phi $$ $ $ z = r \ cos \ theta $$
Nyt tiedät kaltevuuden määritelmän suorakulmaisissa koordinaateissa: $ \ vec {\ nabla} = \ frac {\ partitali {\ osittainen x} \ hattu {x} + \ frac {\ partituali {\ osittainen y} \ hattu {y} + \ frac {\ osallinen} {\ osallinen z} \ hattu {z} $
Nyt käytämme ketjusääntö tai kukin komponentti. Esimerkiksi $$ \ frac {\ partitali {\ partituali}} \ frac {\ osallinen r} {\ osallinen x} \ frac {\ osallinen} {\ osallinen r} + \ frak {\ osallinen \ theta} { \ osal x} \ frac {\ osallinen} {\ osallinen \ theta} + \ frac {\ osallinen \ phi} {\ osallinen x} \ frac {\ osallinen} {\ osallinen \ phi} $$
Paljon hankalan algebran jälkeen tämä antaa sinulle oikean muodon.
Kommentit
- Kyllä, tämä on taso I ’ m klo. Mutta en voi ’ saada järkevää vastausta!
- Mikä osa menee pieleen?
- Saan $ \ frac {\ partic} { \ osal x} = \ frac {1} {sin (\ theta) cos (\ phi)} \ frac {\ partituali {\ ositettu r} + \ frac {1} {cos (\ theta) cos (\ phi) } \ frac {\ partituali {\ osittainen \ theta} – \ frac {1} {sin (\ theta) sini (\ phi)} \ frac {\ osallinen} {\ osallinen \ phi} $!
- Ja kuinka hatuvektorit sitten korvataan?
- Sinun tulisi ilmaista $ r, \ theta, \ phi $ vain $ x, y, z $: na
vastaus
Se johtuu kaltevuuden yleisestä määritelmästä muodossa $$ \ langle \ nabla f (p) | v \ rangle = d_pf ( v) = \ summa_i \ vasen. \ frac {\ osittainen f} {\ osittain x ^ i} \ oikea | _pdx ^ i (v) $$, jossa p on avaruuden piste ja va-vektori tangenttitilassa. Summa on tangenttitilan vektorien yli. Voit yrittää laajentaa tätä lauseketta saadaksesi lopputuloksen komponentille $ i $ $$ (\ nabla f) _i = \ frac {1} {h_i} \ frac {\ partitali f} {\ osittain x ^ i} $ $ Tämä on kaikkein hyödyllisin kaava. Määrä $ h_i $ on $ i $ th-tangenttivektorin moduuli.
Esimerkki: haluat laskea gradientin pallomaisissa koordinaateissa. Tangenttivälin perusta on $ \ {\ frac {\ partitali {\ partituali}, \ frac {\ osallinen} {\ osallinen \ theta}, \ frac {\ osallinen} {\ osallinen \ phi} \} $ . Koska $$ \ alkaa {split} \ vasen \ | \ frac {\ partituali {\ osittainen \ theta} \ oikea \ | ^ 2 & = \ vasen \ | \ frac {\ partituali x} {\ osallinen \ theta} \ frac {\ osallinen} {\ osallinen x} + \ frac {\ osallinen y} {\ osallinen \ theta} \ frak {\ osallinen} {\ osallinen y} + \ frac {\ partitali z} {\ osittainen \ theta} \ frac {\ osallinen} {\ osaa z} \ oikea \ | ^ 2 \\ & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ phi \ alatuki {\ vasen \ | \ frac {\ osittain} {\ osittain x} \ oikea \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ sin ^ 2 \ phi \ alusnauha {\ vasen \ | \ frac {\ partituali {\ osaa y} \ oikea \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ alakaari {\ vasen \ | \ frac {\ partituuli {\ osittainen z} \ oikea \ | ^ 2} _ {= 1} \\ & = r ^ 2 \ loppu {split} $ $ Siten saamme $$ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partituali {\ osittainen \ theta} \ oikea \ | = r $$ Samassa hengessä voit laskea, että $$ h_r = 1 \ quad \ teksti {ja} \ quad h_ \ phi = r \ sin \ theta $$, jotka antavat meille liukuvärin pallomaisissa koordinaateissa $$ \ nabla f = \ frac {\ osittainen f} {\ osittain r} \ hattu e_r + \ frac {1} {r} \ frac {\ osa f} {\ osittainen \ theta} \ hattu e_ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ osittainen f} {\ osallinen \ phi} \ hattu e_ \ phi $$
Ensimmäisen vaiheen todiste
Laajenna vektori $ | \ nabla f \ rangle $ perusvektoreiden perusteella $$ | \ nabla f \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i | e_i \ rangle = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} | \ frac {\ partisiaalinen} {\ partituali x ^ i} \ rangle $$ Siitä tekijä $ h_i $ tulee pohjimmiltaan. Ota nyt $ v = | \ frac {\ partitali {\ partituali x ^ k} \ rangle $ ja lisää se ensimmäiseen yllä annettuun lausekkeeseen. Huomaa, että kaksoisvektorin määritelmän mukaan saamme $ dx ^ i (| \ frac {\ partituali {\ osittainen x ^ k} \ rangle) = \ delta_k ^ i $. Vasen puoli on $$ \ begin {split} \ langle f | \ frac {\ partitali {\ osaa x ^ k} \ rangle & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} \ langle \ frac {\ partitali {\ osaa x ^ i} | \ frac {\ osallinen} {\ osaa x ^ k} \ rangle \\ & = \ sum_i (\ nabla f) _i \ frac {1} {h_i} h_i ^ 2 \ delta_ {ik} \\ & = (\ nabla f ) _kh_k \ end {split} $$ Levitä oikeanpuoleinen puoli $$ \ sum_i \ vasen. \ frac {\ osittainen f} {\ osittain x ^ i} \ oikea | _pdx ^ i \ vasen (| \ frac {\ osittainen} {\ osittain x ^ k} \ rangle \ oikea) = \ sum_i \ vasen. \ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x ^ i} \ oikea | _p \ delta ^ i_k = \ frac {\ osallinen f} {\ partial x ^ k} $$ Vertaamalla molempia lausekkeita saat vaatimuksen.
Kommentit
- Hyvä vastaus, paljon parempi kuin minun. En kuitenkaan ’ ole varma, että kysyjä on tyytyväinen tähän abstraktiotasoon (esimerkiksi tangenttitila voi olla tuntematon käsite).
- Hyvä vastaus , Olen ’ lukenut tästä menetelmästä aiemmin, mutta sinä ’ olet tehnyt siitä yksinkertaisemman ja ymmärrän melkein kaiken. Olen itse asiassa työskennellyt tämän läpi hajottaessani pallomaisia yksikevektoreita. Vain yksi asia: miten pääset yläreunan yleisestä määritelmästä toiseen lausekkeeseesi? Mistä tämä $ h $ tulee?
- Ja miksi $ h _ {\ theta} = || \ frac {\ partitali {\ osittainen \ theta} || $?
- Lisäsin juuri todistuksen ensimmäisistä askel. $ h_ \ theta = \ vasen \ | \ frac {\ partitali {\ osittainen \ theta} \ oikea \ | $ määritelmän mukaan, se ’ s yksinkertaisesti tangenttivektorin moduuli $ \ frac {\ partic} {\ partial \ theta} $
- @Stan Seuraan GR-kurssia, enkä ’ näytä ymmärtävän seuraavaa osa ratkaisua: Toistaiseksi näen ymmärtävän, että toinen kaava saa tämän tekijän $ \ frac {1} {h} $ johtuen tekijästä $ \ frac {1} {h ^ 2} $ Ensinnäkin, tulee metrikasta, ja sen jälkeen kerroin h, jotta voidaan vaihtaa tangenttivektoreista ortonormaalipohjaisiksi. Tangenttivektorin moduuli on aina positiivinen? Silloin olisi voitu löytää erilainen ortonormaalinen perusta, jossa $ \ phi $ on sellainen, että divergenssin theta-komponentti lukee $ \ frac {1} {r \, | \ sin \ theta |} $ Kuinka voin varmistaa, että niin / li>
Vastaa