第一原理から球面座標のベクトル勾配を導き出す
On 12月 31, 2020 by admin$ \ frac {1} {r sin(\ theta)} $と$ 1 /の場所を理解しようとしていますr $ビットは、グラデーションの定義に含まれています。
球面単位ベクトルを導出しましたが、デカルトデルを球面デルに変換する方法がまったくわかりません。人々は連鎖律を使うと言い続けますが、私にはわかりません!
何か助けはありますか?
コメント
- I真に第一原理からそれらを導き出す方法は、$ S ^ 2 $を埋め込むときに、$ \ mathbb {R} ^ 3 $からメトリックを引き戻すことを含むべきだと信じています…おそらくそれほど基本的ではありませんが、それでも満足のいく方法は$を定義することですx、y、z $を$ r、\ theta、\ phi $で表して、そこから作業します。
- デカルトを球面極に変換するにはどうすればよいですか?
- math.stackexchange.com は、この質問のより良い場所でしょうか?
- @Qmechanicオーストラリアでは、大学2年生でこのアイデンティティを学びます。物理学私は純粋な数学からの一般的な結果を使用してこれを行う方法をすでに知っているので、私はちょうど今派生をいじっていますが、そのレベルの抽象化を使用せずに派生を見つけることは一般的な物理学の学生にとって興味深いかもしれません。数学と物理学の間に線を引きますか?じゅうたんに血がついていると思います。
答え
あなたは「第一原理」からの証拠を求めました”。それでは、やってみましょう。エラーの最も一般的な原因を強調し、テンソル計算やアインシュタインの縮約記法の知識を必要としない代替の証明を後で示します。
難しい方法
まず、座標規則:
$$(r、\ theta、\ phi)\ rightarrow(x、y、z)=(r \ sin \ theta \ cos \ phi、\; r \ sin \ theta \ sin \ phi、\; r \ cos \ theta)$$
$(x、y、z)$を$ x \と表現するのと同じ方法、\ mathbf {\ hat e} _x + y \、\ mathbf {\ hat e} _y + z \、\ mathbf {\ hat e} _z $、$(r、\ theta、\ phi)$を表すこともできます$ r “\、\ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \、\ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi “\、\ mathbf {\ hat e} _ \ phi $として、しかし今は係数は同じではありません:$(r “、\ theta”、\ phi “)\ neq(r、\ theta、\ phi)$、一般的に。これは、球面座標が曲線であるため、基底ベクトルがすべての点で同じではないためです。ただし、小さなバリエーションの場合、それらは非常に似ています。より正確には、点$ \ vec {\ mathbf p} _0 =(x、y、z)$に対して、隣接点$ \ vec {\ mathbf p} _1 =(x + \ Delta x、\; y + \ Delta y、\; z + \ Delta z)$は、$ \ Delta \ vec {\ mathbf p} =(\ Delta x、\ Delta y、\ Delta z)$で記述でき、球面座標では、この変動が「 infinitesimal “、次に$ d \ vec {\ mathbf p} =(dr、d \ theta、d \ phi)= dr \、\ mathbf {\ hat e} _r + d \ theta \、\ mathbf {\ hat e} _ \ theta + d \ phi \、\ mathbf {\ hat e} _ \ phi $。これは基本的に、(正規化されていない)基底を次のように定義する動機です。
$$ \ vec {\ mathbf e} _r = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r} 、\ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ theta}、\ quad \ vec {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac { \ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial \ phi} $$
しかし、これはまだ正規化されていません。偶然にも、$ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial r || $は$ 1 $であることがわかりましたが、$ || \ partial \ vec {\ mathbf p} / \ partial \ theta || = r $、これから見ていきます。したがって、実際の基準は次のように定義する必要があります。
$$ \ hat {\ mathbf e} _r = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _r} {|| \ vec {\ mathbf e} _r ||}、\ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ theta = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ theta} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ theta ||}、\ quad \ hat {\ mathbf e} _ \ phi = \ frac {\ vec {\ mathbf e} _ \ phi} {|| \ vec {\ mathbf e} _ \ phi ||} $$
明示的に:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf e} _r & = \;(& \ sin \ theta \ cos \ phi &、& \ sin \ theta \ sin \ phi &、& \ cos \ theta)\\ \ vec {\ mathbf e} _ \ theta & = \; (& r \ cos \ theta \ cos \ phi &、& r \ cos \ theta \ sin \ phi &、& -r \ sin \ theta)\\ \ vec {\ mathbf e} _ \ phi & = \;(& -r \ sin \ theta \ sin \ phi & 、& r \ sin \ th eta \ cos \ phi &、& 0)\ end {align} $$
$$ \ begin {align} || \ vec {\ mathbf e} _r || ^ 2 & = \ sin ^ 2 \ theta(\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi )+ \ cos ^ 2 \ theta & & = 1 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ theta || ^ 2 & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta(\ cos ^ 2 \ phi + \ sin ^ 2 \ phi)+ r ^ 2 \ sin \ theta & & = r ^ 2 \\ || \ vec {\ mathbf e} _ \ phi || ^ 2 & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta(\ sin ^ 2 \ phi + \ cos ^ 2 \ phi)& & = r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r & = \ vec {\ mathbf e} _r & & = & &(& \ sin \ theta \ cos \ phi &、& \ sin \ theta \ sin \ phi &、& \ cos \ theta)\\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ vec {\ mathbf e} _ \ theta / r & & = & &(& \ cos \ theta \ cos \ phi &、& \ cos \ theta \ sin \ phi &、&-\ sin \ theta)\\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi & = \ vec {\ mathbf e} _ \ phi /(r \ sin \ theta)& & = & &(&-\ sin \ phi &、& \ cos \ phi &、& 0)\ end {align} $$
これも直交基底を形成することを確認できます(したがって、オルソノーマル)。例:
$$ \ begin {align} \ hat {\ mathbf e} _r \ cdot \ hat {\ mathbf e} _ \ theta & = \ sin \ theta \ cos \ theta \ cos ^ 2 \ phi + \ sin \ theta \ cos \ theta \ sin ^ 2 \ phi- \ sin \ theta \ cos \ theta \\ & = 0 \ end {align} $$
これは一般的に発生する必要はありません。
基底ベクトルを使用して、ある座標セットから別の座標セットに移動するには、解決:
$$ \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _r \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta \\ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ cos \ theta \ cos \ phi & \ cos \ theta \ sin \ phi &-\ sin \ theta \\-\ sin \ phi & \ cos \ phi & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ hat {\ mathbf e} _x \\ \ hat {\ mathbf e} _y \\ \ hat {\ mathbf e} _z \ end {bmatrix} $$
for $ \ hat {\ mathbf e} _x $、 $ \ hat {\ mathbf e} _y $、および$ \ haに関する$ \ hat {\ mathbf e} _z $ t {\ mathbf e} _r $、$ \ hat {\ mathbf e} _ \ theta $、および$ \ hat {\ mathbf e} _ \ phi $。次に、任意のベクトル$ \ vec {\ mathbf p} = x \、\ mathbf {\ hat e} _x + y \、\ mathbf {\ hat e} _y + z \、\ mathbf {\ hat e} _z $は次のようになります。 $ r “\、\ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \、\ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ phi “\、\ mathbf {\ hat e} _ \ phi $の形式で記述この特定の基底は正規直交であるため、別の方法があります。単純に内積を使用します。たとえば、$ r “$を取得するには:
$$ \ begin {align} \ vec {\ mathbf p} \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r & = r “\、\ mathbf {\ hat e} _r \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r + \ theta” \、\ mathbf {\ hat e} _ \ theta \ cdot \ mathbf {\ hat e } _r + \ phi “\、\ mathbf {\ hat e} _ \ phi \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r \\ & = r” \ end {align} $$
グラデーションに移ります。行列表記を使用すると、グラデーションを行ベクトルとして記述でき、連鎖律の式は次のようになります。
$$ \ begin {align} \ vec \ nabla f & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f } {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & \ frac {\ partial r} {\ partial y} & \ frac {\ partial r} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial x} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial \ phi } {\ partial x} & \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ end {align} $$
右側の行列を$ J $(it “s ヤコビ行列)。これは逆の方法でも機能することに注意してください。
$$ \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \\ = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial x} & \ frac {\ partial f} {\ partial y} & \ frac {\ partial f} {\ partial z} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial x} {\ partial r} & \ frac {\ partial y } {\ partial r} & \ frac {\ partial z} {\ partial r} \\ \ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \\ \ frac { \ partial x} {\ partial \ phi} & \ frac {\ partial y} {\ partial \ phi} & \ frac { \ partial z} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} $$
そしてこの他の行列を$ J “$と呼びます。最初の方程式を次のように反転できます。 get $ \ vec \ nabla f \、J ^ {-1} = \ vec \ nabla f \、J “$ $ \ Rightarrow $ $ \ vec \ nabla f \、\ left(J ^ {-1} -J” \ right)= 0 $。これは任意の$ f $で機能するため、$ J ^ {-1} –J “= 0 $ $ \ Rightarrow $ $ J” = J ^ {-1} $になります。重要な結果は、一般的に次のとおりです。
$$ \ frac {\ partial a} {\ partial b} \ neq \ left(\ frac {\ partial b} {\ partial a} \ right) ^ {-1} $$
OPがコメントでこの間違いを犯したようで、$ \ partial r / \ partialを混乱させていますx $ with $(\ partial x / \ partial r)^ {-1} = 1 /(\ sin \ theta \ cos \ phi)$、通常の(偏ではなく)導関数を使用した場合のように。
これで、行列$ J $を計算する2つの方法があります。直接または最初に$ J “$を計算してから、それを反転します。直接実行しましょう。$ x $、$ y $、および$ z $に関して$ r $、$ \ theta $、および$ \ phi $の式が必要になります(他の座標系の場合、これを取得するのは非常に難しい場合があります) :
$$ \ begin {align} r & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \\ \ theta & = \ arctan \ left(\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {z} \ right)\\ \ phi & = \ arctan \ left(\ frac {y} {x} \ right)\ end {align} $$
部分導関数は次のとおりです。
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial r} {\ partial x} & = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial y} & = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ frac {\ partial r} {\ partial z} & = \ frac {z} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}} & & = \ cos \ theta \ end {align} $$
$$ \ begin {align} \ frac {\ par tial \ theta} {\ partial x} & = \ frac {zx} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial y} & = \ frac {zy} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ left(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \ right)} & & = \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} \\ \ frac {\ partial \ theta} {\ partial z} & =-\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} & & =-\ frac {\ sin \ phi} {r} \ end {align} $ $
$$ \ begin {align} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} & =-\ frac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} & & =-\ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} \\\ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} & = \ frac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} & & = \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} \\ \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} = 0 & & = 0 \ end {align} $$
ジャコビアンは次のようになります。
$$ J = \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ sin \ theta \ sin \ phi & \ cos \ theta \\ \ frac {\ cos \ theta \ cos \ phi} {r} & \ frac {\ cos \ theta \ sin \ phi} {r} &-\ frac {\ sin \ phi} {r} \\-\ frac {\ sin \ phi} {r \ sin \ theta} & \ frac {\ cos \ phi} {r \ sin \ theta} & 0 \ end {bmatrix} $$
あるいは、逆ジャコビアン(これは簡単です)を計算してから、それを逆にする(これは悪夢です)こともできます。 Wolfram Alpha を使用して、同じ結果が得られることを確認できます:
最後に、ドット積を使用して係数$ r “$、$ \ theta” $、およびを見つけます。 $ \ phi “$:
$$ r” = \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _r = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r } & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi } \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\ \ sin \ theta \ sin \ phi \\ \ cos \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac { \ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\部分的なf} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {\ partial f} {\ partial r} $$
$$ \ theta “= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ theta = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix} \ cos \ theta \ cos \ phi \\ \ cos \ theta \ sin \ phi \\-\ sin \ theta \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end { bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 / r \\ 0 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} $$
$$ \ phi “= \ vec \ nabla f \ cdot \ mathbf {\ hat e} _ \ phi = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} J \ begin {bmatrix}-\ sin \ phi \\ \ cos \ phi \\ 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f} {\ partial r} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} & \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } 0 \\ 0 \\ 1 /(r \ sin \ theta)\ end {b行列} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} $$
したがって:
$$ \ vec \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ mathbf {\ hat e} _r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ mathbf {\ hat e} _ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ mathbf {\ hat e} _ \ phi $$
はるかに優れた方法
たとえば、$ x $、$ y $、および$ z $に異なる文字を使用する必要がないように、新しい表記法が必要になります。代わりに、$ 1 $から$ 3 $までのインデックスを使用しましょう。デカルト座標の場合は文字$ x $を使用し、球座標の場合は文字$ r $を使用します。以下は自明です。
$$ \ vec {\ mathbf p} = \ sum_i x_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_k r_k \ mathbf {\ hat r} ^ k $$
から基底ベクトルの定義:
$$ \ mathbf {\ vec r} ^ k = \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k}、\ quad \ mathbf {\ハットr} ^ k = \ frac {\ mathbf {\ vec r} ^ k} {|| \ mathbf {\ vec r} ^ k ||} = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial \ vec {\ mathbf p}} {\ partial r_k} $$
Where $ h_k \ triangleq || \ mathbf {\ vec r} ^ k || $。$ x $ベースで展開:
$$ \ mathbf {\ hat r} ^ k = \ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j $$
これで勾配は次のようになります:
$$ \ vec \ nabla f = \ mathbf {\ vec F} = \ sum_i F_i \ mathbf {\ hat x} ^ i = \ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i $$
球面座標($ F “_k $)で$ k $”番目のコンポーネントを取得するには、ドット製品を使用します:
$$ \ begi n {align} F “_k & = \ mathbf {\ vec F} \ cdot \ mathbf {\ hat r} ^ k \\ & = \ left(\ sum_i \ frac {\ partial f} {\ partial x_i} \ mathbf {\ hat x} ^ i \ right)\ cdot \ left(\ sum_j \ frac {1} {h_k} \ frac { \ partial x_j} {\ partial r_k} \ mathbf {\ hat x} ^ j \ right)\\ & = \ frac {1} {h_k} \ sum_i \ frac {\部分f} {\ partial x_i} \ frac {\ partial x_i} {\ partial r_k} \\ & = \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial f} {\ partial r_k} \ end {align} $$
これで完了です。
コメント
- ありがとうございますそんなに!それは私の頭の中の多くの混乱を明らかにしました。特に、ヤコビ行列と基底変換の違いの違いは、形とアイデアが似ていて、かなり混乱しています。また、座標とコンポーネントの違いに目を向けていただきありがとうございます。
- ちなみに、最後の式は直交基底以外にも当てはまりますか?
- @JonasDaverioいいえ、内積は正射影しか与えないからです。係数$ \ frac {1} {h_k} \ frac {\ partial x_j} {\ partial r_k} $を見ると、それを行列として書くことができます。一般的な場合、’はその逆転置を使用する必要があります。直交の場合、逆転置はたまたま独自の行列になります。
- そうです、’計量テンソルについて話しているのですか?直交基底では対角であるため、逆は対角のままです。
- 非常によく答えられています。’この回答が’一番上にない理由がわかりません
回答
次のようになります:$$ x = r \ cos \ theta \ cos \ phi $$ $$ y = r \ cos \ theta \ sin \ phi $$ $ $ z = r \ cos \ theta $$
これで、デカルト座標の勾配の定義がわかりました。$ \ vec {\ nabla} = \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {x} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {y} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {z} $
現在、チェーンルールまたは各コンポーネント。たとえば、$$ \ frac {\ partial} {\ partial x} = \ frac {\ partial r} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {\ partial \ theta} { \ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $$
面倒な代数がたくさんあると、正しい形式になります。
コメント
- はい、これはレベルIです’ mat。しかし、’賢明な答えを得ることができません!
- どの部分がうまくいかないのですか?
- $ \ frac {\ partial} {を取得します\ partial x} = \ frac {1} {sin(\ theta)cos(\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial r} + \ frac {1} {cos(\ theta)cos(\ phi) } \ frac {\ partial} {\ partial \ theta}-\ frac {1} {sin(\ theta)sin(\ phi)} \ frac {\ partial} {\ partial \ phi} $!
- では、ハットベクトルはどのように置き換えられますか?
- $ r、\ theta、\ phi $を$ x、y、z $のみで表す必要があります
回答
これは、勾配の一般的な定義から、$$ \ langle \ nabla f(p)| v \ rangle = d_pf( v)= \ sum_i \ left。\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i(v)$$ここで、pは空間内の点、vaは接空間内のベクトルです。合計は、接空間の基底ベクトルを超えています。この式を展開して、コンポーネント$ i $ $$(\ nabla f)_i = \ frac {1} {h_i} \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} $の最終結果を取得することができます。 $これは最も便利な式です。量$ h_i $は、$ i $番目の接線ベクトルのモジュラスです。
例:球面座標で勾配を計算するとします。接空間の基礎は$ \ {\ frac {\ partial} {\ partial r}、\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}、\ frac {\ partial} {\ partial \ phi} \} $です。 。 $$ \ begin {split} \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | ^ 2 & = \ left \ |以降\ frac {\ partial x} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial x} + \ frac {\ partial y} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial y} + \ frac {\ partial z} {\ partial \ theta} \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2 \\ & = r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ cos ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial x} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \ sin ^ 2 \ phi \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial y} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ underbrace {\ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial z} \ right \ | ^ 2} _ {= 1} \\ & = r ^ 2 \ end {split} $ $したがって、$$ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | = r $$を取得します。同じ精神で、$$ h_r = 1 \ quad \を計算できます。 text {and} \ quad h_ \ phi = r \ sin \ theta $$球面座標の勾配を与える$$ \ nabla f = \ frac {\ partial f} {\ partial r} \ hat e_r + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial f} {\ partial \ theta} \ hat e_ \ theta + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial f} {\ partial \ phi} \ hat e_ \ phi $$
最初のステップの証明
ベクトルを展開します$ | \ nabla f \ rangle $基底ベクトルの観点から$$ | \ nabla f \ rangle = \ sum_i(\ nabla f)_i | e_i \ rangle = \ sum_i(\ nabla f)_i \ frac {1} {h_i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} \ rangle $$これは基本的に、係数$ h_i $の由来です。ここで、$ v = | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle $を取得し、上記の最初の式に挿入します。双対ベクトルの定義により、$ dx ^ i(| \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle)= \ delta_k ^ i $が得られることに注意してください。左側は$$ \ begin {split} \ langle f | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle & = \ sum_i(\ nabla f)_i \ frac {1} {h_i} \ langle \ frac {\ partial} {\ partial x ^ i} | \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle \\ & = \ sum_i(\ nabla f)_i \ frac {1} {h_i} h_i ^ 2 \ delta_ {ik} \\ & =(\ nabla f )_kh_k \ end {split} $$右側をWhreas $$ \ sum_i \ left。\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _pdx ^ i \ left(| \ frac {\ partial} {\ partial x ^ k} \ rangle \ right)= \ sum_i \ left。\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ i} \ right | _p \ delta ^ i_k = \ frac {\ partial f} {\ partial x ^ k} $$両方の式を比較することで、主張が得られます。
コメント
- すばらしい答えで、私のものよりはるかに優れています。ただし、’質問者がこのレベルの抽象化に満足しているかどうかはわかりません(たとえば、接空間は未知の概念である可能性があります)。
- 良い答え、私は以前にこの方法について’読んだことがありますが、’簡単にしたので、ほぼすべてを理解しています。球形の単位ベクトルを導出するときに、実際にこれを実行しました。たった1つのこと:上部の一般的な定義から2番目の式にどのように到達しますか?この$ h $はどこから来たのですか?
- そして、なぜ$ h _ {\ theta} = || \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} || $なのですか?
- 最初の証明を追加しました ステップ。 $ h_ \ theta = \ left \ | \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} \ right \ | $定義上、’は単に接線ベクトルの係数です $ \ frac {\ partial} {\ partial \ theta} $
- @Stan GRコースをフォローしていますが、’次のことを理解できないようです。 解決策の一部:これまでのところ理解しているようですが、2番目の数式は$ \ frac {1} {h ^ 2} $の係数のため、この係数$ \ frac {1} {h} $を取得します。 まず、接線ベクトルから正規直交基底に切り替えるために、メトリックから取得し、その後hの係数を取得します。 接線ベクトルのモジュラスは常に正になりますね。 次に、異なる正規直交基底が見つかりました。ここで、$ \ phi $は、発散のシータ成分が$ \ frac {1} {r \、| \ sin \ theta |} $を読み取るようなものです。 / li>
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