Afledning af ændring af variabler for en sandsynlighedsdensitetsfunktion?
On februar 9, 2021 by adminI bogen mønstergenkendelse og maskinindlæring (formel 1.27) giver det
$$ p_y (y) = p_x (x) \ venstre | \ frac {d x} {d y} \ højre | = p_x (g (y)) | g “(y) | $$ hvor $ x = g (y) $, $ p_x (x) $ er den pdf, der svarer til $ p_y (y) $ med hensyn til ændringen af variablen.
Bøgerne siger, at det skyldes, at observationer, der falder i området $ (x, x + \ delta x) $, for små værdier på $ \ delta x $, vil blive omdannet til området $ (y, y + \ delta y) $.
Hvordan afledes dette formelt?
Opdatering fra Dilip Sarwate
Resultatet gælder kun, hvis $ g $ er en strengt monoton stigende eller faldende funktion.
Nogle mindre redigeringer af LV Raos svar $$ \ begin {ligning} P (Y \ le y) = P (g (X) \ le y) = \ begynder {tilfælde} P (X \ le g ^ {- 1} (y)) , & \ text {if} \ g \ text {stiger monotont} \\ P (X \ ge g ^ {- 1} (y)), & \ text {if} \ g \ text {er monotont faldende} \ end {cases} \ end {ligning} $$ Derfor hvis $ g $ monotont øger $$ F_ {Y} (y) = F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ hvis monotont faldende $$ F_ {Y} (y) = 1-F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ { Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ $$ \ derfor f_ {Y } (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ left | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ right | $$
Kommentarer
- Resultatet gælder kun, hvis $ g $ er en strengt monotonforøgende eller formindskende funktion. Tegn en graf på $ g $ og pusles ud ved hjælp af grundlæggende idé bag definitionen af derivatet (ikke den formelle definition med epsilon og delta). Der er også et svar fra @whuber på dette websted, der præciserer detaljerne ; dette skal lukkes som en duplikat.
- Din bog ' s forklaring minder om den, jeg tilbød på stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Jeg offentliggjorde også en generel algebraisk metode på stats.stackexchange.com/a/101298/919 og en geometrisk forklaring på stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
- @DilipSarwate tak for din forklaring, jeg tror jeg forstår intuitionen, men jeg ' er mere interesseret i, hvordan det kan udledes ved hjælp af de eksisterende regler og sætninger 🙂
Svar
Antag, at $ X $ er en kontinuerlig tilfældig variabel med pdf
f (x). Hvis vi definerer $ Y = g (X) $, hvor g () er en monotone funktion, opnås pdf
på $ Y $ som følger: \ begin {eqnarray *} P (Y \ le y) & = & P (g (X) \ le y) \\ & = & P (X \ le g ^ {- 1} (y)) \\ eller \; \; F_ {Y} (y) & = & F_ {X} (g ^ {- 1} (y)), \ quad \ mbox {ved definitionen af CDF} \\ \ end {eqnarray *} Ved at differentiere CDFerne på begge sider wrt $ y $, vi får pdfen på $ Y $. Funktionen g () kunne enten være monotont stigende eller monotont faldende. Hvis funktionen g () stiger monotont, gives pdf af $ Y $ ved \ begin {ligning *} f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {ligning *} og hvis den er monotont faldende, så gives pdfen på $ Y $ ved \ begin {ligning *} f_ {Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {ligning *} over to ligninger kan kombineres i en enkelt ligning: \ begin {ligning *} \ derfor f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) | \ end {ligning *}
Kommentarer
- Men da integralen over fx skal summe til 1 og fy er en skaleret version af fx, betyder det ikke ' t, der betyder fy, er ikke en ordentlig pdf, medmindre jacobian i abs () er 1 eller -1?
- @Chris The Jacobian of $ g ^ {-1} $ er ikke nødvendigvis en konstant funktion, så det kan være > 1 nogle steder og < 1 andre steder.
- Jeg mener, at ovenstående afledning er forkert. Når $ g (.) $ Falder monotont, indebærer $ g (X) \ le y \ X \ ge g ^ {- 1} (y) $. Minustegnet vises ikke magisk.
- Minustegnet stammer fra det faktum, at uligheden er skiftet til monotont faldende transformationer
Skriv et svar