Derivazione del cambiamento di variabili di una funzione di densità di probabilità?
Su Febbraio 9, 2021 da adminNel libro riconoscimento di modelli e apprendimento automatico (formula 1.27), fornisce
$$ p_y (y) = p_x (x) \ sinistra | \ frac {d x} {d y} \ right | = p_x (g (y)) | g “(y) | $$ dove $ x = g (y) $, $ p_x (x) $ è il pdf che corrisponde a $ p_y (y) $ rispetto al cambio della variabile.
I libri dicono che è così perché le osservazioni che rientrano nellintervallo $ (x, x + \ delta x) $, per piccoli valori di $ \ delta x $, verranno trasformate nellintervallo $ (y, y + \ delta y) $.
Come viene ricavato formalmente?
Aggiornamento da Dilip Sarwate
Il risultato vale solo se $ g $ è una funzione crescente o decrescente strettamente monotona.
Alcune modifiche minori a LV La risposta di Rao $$ \ begin {equation} P (Y \ le y) = P (g (X) \ le y) = \ begin {case} P (X \ le g ^ {- 1} (y)) , & \ text {if} \ g \ text {aumenta in modo monotono} \\ P (X \ ge g ^ {- 1} (y)), & \ text {if} \ g \ text {sta diminuendo in modo monotono} \ end {case} \ end {equation} $$ Quindi se $ g $ sta aumentando in modo monotono $$ F_ {Y} (y) = F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ se decrescente in modo monotono $$ F_ {Y} (y) = 1-F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ { Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ $$ \ quindi f_ {Y } (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ left | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ right | $$
Commenti
- Il risultato vale solo se $ g $ è una funzione crescente o decrescente rigorosamente monotona. Disegna un grafico di $ g $ e risolvilo usando il idea di base dietro la definizione del derivato (non la definizione formale con epsilon e delta). Inoltre, cè una risposta di @whuber su questo sito che spiega i dettagli ; vale a dire, questo dovrebbe essere chiuso come duplicato.
- La spiegazione del tuo libro ' ricorda quella che ho offerto a stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Ho anche pubblicato un metodo algebrico generale su stats.stackexchange.com/a/101298/919 e una spiegazione geometrica su stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
- @DilipSarwate grazie per la tua spiegazione, penso di aver capito lintuizione, ma ' sono più interessato a come può essere derivato usando le regole e i teoremi esistenti 🙂
Answer
Supponiamo che $ X $ sia una variabile casuale continua con pdf
f (x). Se definiamo $ Y = g (X) $, dove g () è una funzione monotona, il pdf
di $ Y $ si ottiene come segue: \ begin {eqnarray *} P (Y \ le y) & = & P (g (X) \ le y) \\ & = & P (X \ le g ^ {- 1} (y)) \\ o \; \; F_ {Y} (y) & = & F_ {X} (g ^ {- 1} (y)), \ quad \ mbox {secondo la definizione di CDF} \\ \ end {eqnarray *} Differenziando i CDF su entrambi i lati rispetto a $ y $, otteniamo il pdf di $ Y $. La funzione g () potrebbe essere monotonicamente crescente o monotonicamente decrescente. Se la funzione g () è in aumento monotono, allora il pdf di $ Y $ è dato da \ begin {equation *} f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {equation *} e daltra parte, se diminuisce in modo monotono, allora il pdf di $ Y $ è dato da \ begin {equation *} f_ {Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {equation *} Il sopra due equazioni possono essere combinate in ununica equazione: \ begin {equation *} \ quindi f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) | \ end {equation *}
Commenti
- Ma poiché lintegrale su fx deve sommarsi a 1 e fy è una versione in scala di fx, doesn ' t che significa che fy non è un pdf corretto, a meno che il jacobiano in abs () sia 1 o -1?
- @Chris The Jacobian di $ g ^ {-1} $ non è necessariamente una funzione costante, quindi può essere > 1 in alcuni punti e < 1 in altri.
- Credo che la derivazione precedente non sia corretta. Quando $ g (.) $ Diminuisce in modo monotono, $ g (X) \ le y \ implica X \ ge g ^ {- 1} (y) $. Il segno meno non appare magicamente.
- Il segno meno deriva dal fatto che la disuguaglianza viene cambiata per trasformazioni decrescenti in modo monotono
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