확률 밀도 함수의 변수 변화 유도?
On 2월 9, 2021 by admin패턴 인식 및 기계 학습 (공식 1.27) 책에서
$$ p_y (y) = p_x (x) \ left | \ frac {d x} {d y} \ right | = p_x (g (y)) | g “(y) | $$ 여기서 $ x = g (y) $, $ p_x (x) $는 변수 변경에 대해 $ p_y (y) $에 해당하는 pdf입니다.
책은 $ (x, x + \ delta x) $ 범위에 속하는 관측 값이 $ \ delta x $의 작은 값에 대해 $ (y, y + \ 범위로 변환되기 때문이라고 말합니다. delta y) $.
공식적으로 어떻게 도출 되나요?
Dilip Sarwate 업데이트
결과는 $ g $가 단조 증가 또는 감소 기능인 경우에만 유지됩니다.
LV에 대한 약간의 수정 라오의 대답 $$ \ begin {equation} P (Y \ le y) = P (g (X) \ le y) = \ begin {cases} P (X \ le g ^ {-1} (y)) , & \ text {if} \ g \ text {가 단조 증가} \\ P (X \ ge g ^ {-1} (y)), & \ text {if} \ g \ text {가 단조 감소} \ end {cases} \ end {equation} $$ 따라서 $ g $가 단조 증가한다면 $$ F_ {Y} (y) = F_ {X} (g ^ {-1} (y)) $$ $$ f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {-1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {-1} (y) $$ $$ F_ {Y} (y) = 1-F_ {X} (g ^ {-1} (y)) $$ $$ f_ { Y} (y) =-f_ {X} (g ^ {-1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {-1} (y) $$ $$ \ 따라서 f_ {Y } (y) = f_ {X} (g ^ {-1} (y)) \ cdot \ left | \ frac {d} {dy} g ^ {-1} (y) \ right | $$
코멘트
- 결과는 $ g $가 단조 증가 또는 감소 함수 인 경우에만 유지됩니다. $ g $ 그래프를 그리고 다음을 사용하여 퍼즐을 푸십시오. 도함수의 정의 뒤에있는 기본 아이디어 (엡실론과 델타의 공식적인 정의가 아님) 또한이 사이트에 @whuber의 답변이 있습니다. ; 즉, 이것은 중복으로 닫혀 야합니다.
- '의 설명은 내가 stats.stackexchange.com/a/14490/919 . 또한 stats.stackexchange.com/a/101298/919 에 일반 대수 방법을 게시하고 stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
- @DilipSarwate 설명해 주셔서 감사합니다. 직감을 이해 한 것 같지만 ' 기존 규칙과 정리를 사용하여 어떻게 도출 할 수 있는지에 더 관심이 있습니다. 🙂
답변
$ X $가 pdf
f (x)를 갖는 연속 랜덤 변수라고 가정합니다. $ Y = g (X) $를 정의하면, 여기서 g ()는 모노톤 함수입니다. $ Y $의 pdf
는 다음과 같이 얻습니다. \ begin {eqnarray *} P (Y \ le y) & = & P (g (X) \ le y) \\ & = & P (X \ le g ^ {-1} (y)) \\ 또는 \; \; F_ {Y} (y) & = & F_ {X} (g ^ {-1} (y)), \ quad \ mbox {CDF 정의} \\ \ end {eqnarray *} 양쪽에서 CDF를 차별화하여 wrt $ y $, $ Y $의 pdf를 얻습니다. 함수 g ()는 단조롭게 증가하거나 단조롭게 감소 할 수 있습니다. 함수 g ()가 단조 증가하는 경우 $ Y $의 pdf는 \ begin {equation *} f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {-1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {-1} (y) \ end {equation *} 및 반면 단조 감소하는 경우 $ Y $의 pdf는 \ begin {equation *}으로 제공됩니다. f_ {Y} (y) =-f_ {X} (g ^ {-1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {-1} (y) \ end {equation *} 위의 두 방정식을 하나의 방정식으로 결합 할 수 있습니다 : \ begin {equation *} \ therefore f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {-1} (y)) \ cdot | \ frac {d} {dy} g ^ {-1} (y) | \ end {equation *}
주석
- 하지만 fx에 대한 적분의 합은 1이되어야하고 fy는 fx의 스케일링 된 버전이므로 그렇지 않습니다. ' abs ()의 야 코비안이 1 또는 -1이 아니면 fy가 적절한 pdf가 아님을 의미합니까?
- @Chris $ g ^의 야 코비안 {-1} $는 상수 함수일 필요는 없으므로 일부 지역에서는 > 1이고 다른 지역에서는 < 1 일 수 있습니다.
- 위의 도출이 잘못된 것 같습니다. $ g (.) $가 단조 감소하면 $ g (X) \ le y \는 X \ ge g ^ {-1} (y) $를 의미합니다. 빼기 기호는 마술처럼 나타나지 않습니다.
- 빼기 기호는 부등식이 단조 감소하는 변환으로 전환된다는 사실에서 비롯됩니다.
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