Valószínűségi sűrűségfüggvény változóinak változásának levezetése?
On február 9, 2021 by adminA mintafelismerés és gépi tanulás könyvben (1.27. képlet) a következőt adja:
$$ p_y (y) = p_x (x) \ balra | \ frac {d x} {d y} \ jobb | = p_x (g (y)) | g “(y) | $$ ahol $ x = g (y) $, $ p_x (x) $ az a pdf, amely megfelel a $ p_y (y) $ értéknek a változó változásához képest.
A könyvek azt mondják, hogy azért, mert a $ (x, x + x delta x) $ tartományba eső megfigyelések a $ \ delta x $ kis értéke esetén átalakulnak a $ (y, y + \ tartományba). delta y) $.
Hogyan származik ez formálisan?
Frissítés a Dilip Sarwate-tól
Az eredmény csak akkor érvényes, ha a $ g $ szigorúan monoton növekvő vagy csökkenő függvény.
Néhány kisebb szerkesztés az LV-hez Rao válasza $$ \ begin {egyenlet} P (Y \ le y) = P (g (X) \ le y) = \ begin {esetek} P (X \ le g ^ {- 1} (y)) , & \ text {if} \ g \ text {monoton növekszik} \\ P (X \ ge g ^ {- 1} (y)), & \ text {if} \ g \ text {monoton csökkenő} \ end {esetek} \ end {egyenlet} $$ Ezért ha $ g $ monoton növekszik $$ F_ {Y} (y) = F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$, ha monoton csökkenő $$ F_ {Y} (y) = 1-F_ {X} (g ^ {- 1} (y)) $$ $$ f_ { Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) $$ $$ \ ezért f_ {Y } (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ bal | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ jobb | $$
Megjegyzések
- Az eredmény csak akkor érvényes, ha a $ g $ szigorúan monoton növekvő vagy csökkenő függvény. Rajzoljon $ g $ grafikont, és a a származék definíciójának alapgondolata (nem az epsilon és a delta formális meghatározása). Ezen a webhelyen található @whuber válasza is, amely részletezi a részleteket ; vagyis ezt duplikátumként le kell zárni.
- Könyvének ' magyarázata emlékeztet arra, amit felajánlottam a stats.stackexchange.com/a/14490/919 . Egy általános algebrai módszert is közzétettem a stats.stackexchange.com/a/101298/919 címen és egy geometriai magyarázatot a stats.stackexchange.com/a/4223/919 .
- @DilipSarwate köszönöm magyarázatát, azt hiszem, megértem az intuíciót, de ' m jobban érdekli, hogyan lehet levezetni a meglévő szabályok és tételek használatával 🙂
Válasz
Tegyük fel, hogy $ X $ folyamatos véletlen változó pdf
f (x). Ha definiáljuk az $ Y = g (X) $ értéket, ahol a g () monoton függvény, akkor a $ Y $ pdf
értékét a következőképpen kapjuk meg: \ begin {eqnarray *} P (Y \ le y) & = & P (g (X) \ le y) \\ & = & P (X \ le g ^ {- 1} (y)) \\ vagy \; \; F_ {Y} (y) & = & F_ {X} (g ^ {- 1} (y)), \ quad \ mbox {a CDF meghatározása szerint} \\ \ end {eqnarray *} A CDF-ek megkülönböztetésével mindkét oldalon wrt $ y $, megkapjuk a $ Y $ pdf-jét. A g () függvény monoton növekedhet vagy monoton csökkenhet. Ha a g () függvény monoton növekszik, akkor az $ Y $ pdf-jét a \ begin {egyenlet *} f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ adja meg cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {egyenlet *} és másrészt, ha monoton csökken, akkor az $ Y $ pdf-jét a \ begin {egyenlet *} adja meg f_ {Y} (y) = – f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) \ end {egyenlet *} A két egyenlet fölött egyetlen egyenlet lehet egyesíteni: \ begin {egyenlet *} \ ezért f_ {Y} (y) = f_ {X} (g ^ {- 1} (y)) \ cdot | \ frac {d} {dy} g ^ {- 1} (y) | \ end {egyenlet *}
megjegyzések
- De mivel az fx integráljának 1-nek kell lennie, és az fy az fx skálázott változata, nem ' t, ami azt jelenti, hogy a fy nem megfelelő pdf, hacsak az abs () -ben lévő jacobi nem 1 vagy -1?
- @Chris $ g ^ jakobianusa A {-1} $ nem feltétlenül állandó függvény, ezért > lehet néhol 1, másutt < 1.
- Úgy gondolom, hogy a fenti levezetés helytelen. Amikor a $ g (.) $ Monoton csökken, a $ g (X) \ le y \ X \ ge g ^ {- 1} (y) $. A mínuszjel nem jelenik meg varázslatosan.
- A mínuszjel abból adódik, hogy az egyenlőtlenséget monoton csökkenő átalakulásokra kapcsolják
Vélemény, hozzászólás?