Campo eléctrico dentro y fuera de una esfera
On diciembre 31, 2020 by adminUna esfera aislante de radio a tiene una carga total $ q $ que se distribuye uniformemente sobre el volumen de la esfera.
Estoy tratando de encontrar la distribución del campo eléctrico tanto dentro como fuera de la esfera usando la ley de Gauss.
Sabemos que en la superficie gaussiana cerrada con distribución de carga esféricamente simétrica se establece la ley de Gauss : $ \ frac {q} {ε_0} = \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- Fuera de la esfera: Lógicamente, la carga fuera de una esfera estar siempre en la superficie gaussiana y no cambia, por lo tanto, el campo eléctrico fuera de una esfera: $ E = \ frac {q} {4πε_0r ^ {2}} $
- Dentro de la esfera: Porque la carga está distribuida simétricamente en la superficie y si imagino una pequeña esfera con radio r dentro de la esfera con radio r, la pequeña esfera tendrá menos carga en su superficie. $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a ^ {3}} $
¿Es esta explicación suficiente?
¿Cuál sería la diferencia si tengo un ¿Esfera conductora?
Respuesta
Cuando se usa la fórmula de Gauss, q no es la carga distribuida en la superficie, es la carga encerrado por su esfera gaussiana. Dentro de la esfera, las cargas se distribuyen uniformemente por todo el volumen , no por la superficie. Esto significa que al considerar el interior del aislante, debe considerar cuánto volumen ha encerrado con su esfera gaussiana y luego cuánta carga hay dentro de ese volumen usando la distribución de carga.
Respuesta
Tal vez tenga un ligero malentendido sobre la ley de Gauss. Establece que la integral del producto escalar de los vectores de campo eléctrico con los vectores normales de la superficie cerrada, integrados en toda la superficie, es igual a la carga total encerrada dentro de la superficie (multiplicada por alguna constante). Esto es cierto no solo para una superficie esférica sino para cualquier superficie cerrada. En este caso, una superficie esférica es muy conveniente ya que debido a la simetría del campo eléctrico, los vectores de campo siempre serán paralelos a los vectores normales de la superficie. Lo que significa que
$$ \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
Aquí, tanto el lado izquierdo como el derecho de la ecuación son una función de la distancia desde el origen, r, y son verdaderas para todo r. E es la magnitud del campo eléctrico.
Ahora consideremos la carga encerrada en esta superficie como una función de r. Dentro de la bola cargada, esta función es
$$ q_ {enc} (r) = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
donde $ \ rho $ es la densidad de carga por volumen. Fuera de la pelota, no importa a qué distancia se encuentre, la carga incluida es siempre q (carga total). Combinando esto con (1) a través de la ley de gaus como usted lo indicó, obtenemos
$$ E (r) = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
fuera de la pelota y
$$ E (r) = \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
dentro de él. ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3) \ pi a ^ 3} $ por lo que su segunda fórmula es correcta.)
Si usa una bola conductora en su lugar, todos los cargos se distribuirán en la superficie de la pelota, ya que quieren estar lo más lejos posible unos de otros. Dado que esto significa que ya no hay carga en ninguna superficie cerrada que imagines dentro de la bola, esto significa que el campo e en el interior es cero en todas partes. Fuera de la bola, la superficie de gauss contendrá la carga completa nuevamente, por lo que desde afuera la fórmula para el campo e será (3) nuevamente. Entonces, puede ver que, desde afuera, la bola cargada de manera homogénea se ve exactamente como una bola que solo está cargada en su superficie y también exactamente como el campo de una carga puntual en el origen con la misma carga total.
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