Elektromos tér egy gömbön kívül és belül
On december 31, 2020 by adminA a sugarú szigetelő gömb teljes $ q $ töltetet hordoz, amely egyenletesen oszlik el a gömb térfogatában.
Megpróbálom megtalálni az elektromos tér eloszlását a gömbön belül és kívül egyaránt a Gauss-törvény segítségével.
Tudjuk, hogy a zárt gauss-felületen, gömbszimmetrikus töltéseloszlással, a Gauss-törvény megállapítja : $ \ frac {q} {ε_0} = \ ken \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- Gömbön kívül: Logikailag a gömbön kívüli töltés legyen mindig a Gauss-felületen, és ez nem változik, ezért a gömbön kívüli elektromos mező: $ E = \ frac {q} {4πε_0r ^ {2}} $
- A gömb belsejében: a töltés szimmetrikusan oszlik el a felszínen, és ha egy kis r sugarú gömböt képezek az r sugarú gömb belsejében, akkor a kis gömbnek kevesebb a töltése a felületén. $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a ^ {3}} $
Elegendő ez a magyarázat?
Mi lenne a különbség, ha van egy gömbvezető?
Válasz
A Gauss képlet használatakor a q nem a felületen elosztott töltés, hanem a töltés a te Gauss-szférád zárja be. A gömb belsejében a töltések egyenletesen oszlanak el a térfogaton és nem a felszínen. Ez azt jelenti, hogy a szigetelő belsejének mérlegelésekor figyelembe kell venni, hogy mekkora térfogatot zárt be a Gauss-gömbbel, majd mekkora töltés van ebben a kötetben a töltéseloszlás segítségével.
Válasz
Talán enyhe félreértése van a Gauss-törvényről. Megállapítja, hogy az elektromos mezővektorok és a zárt felület normálvektorainak skaláris szorzatának az egész felületre integrált integrálja megegyezik a felületen belül zárt teljes töltéssel (valamilyen állandóval). Ez nem csak egy gömb alakú felületre igaz, hanem bármilyen zárt felületre is. Ebben az esetben a gömb alakú felület nagyon kényelmes, mivel az elektromos mező szimmetriája miatt a mezővektorok mindig párhuzamosak lesznek a felület normálvektoraival. Ami azt jelenti, hogy
$$ \ lub \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
Itt az egyenlet bal és jobb oldala egyaránt az origótól mért távolság függvénye, r és minden r-re igaz. E az elektromos mező nagysága.
Most tekintsük az e felületbe zárt töltést r függvényében. A feltöltött labda belsejében ez a funkció
$$ q_ {enc} (r) = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
ahol $ \ rho $ a kötetenkénti töltéssűrűség. A labdán kívül, függetlenül attól, hogy melyik távolságon tartózkodik, a zárt töltés mindig csak q (teljes töltés). Ezt az (1) -vel kombinálva a gaus törvényen keresztül, amint Ön megadta, megkapjuk
$$ E (r) = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
a labdán kívül, és
$$ E (r) = \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
benne. ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3) \ pi a ^ 3} $, így a második képlete helyes.)
Ha helyette vezető labdát használ, akkor az összes töltés eloszlik a labda felületén, mivel minél távolabb akarnak lenni egymástól. Mivel ez azt jelenti, hogy már nincs töltés egyetlen olyan zárt felületen sem, amelyet elképzel a labda belsejében, ez azt jelenti, hogy a belső e-mező mindenhol nulla. A gömbön kívül a gauss felület ismét a teljes töltetet fogja tartalmazni, így kívülről az e-mező képlete ismét a (3) lesz. Tehát látja, hogy kívülről a homogén töltésű golyó pontosan úgy néz ki, mint egy gömb, amely csak a felszínén töltődik fel, és pontosan ugyanúgy, mint egy ugyanolyan teljes töltésű origó pont töltésének mezője.
Vélemény, hozzászólás?