Elektrisches Feld außerhalb und innerhalb einer Kugel
On Dezember 31, 2020 by adminEine isolierende Kugel mit dem Radius a trägt eine Gesamtladung $ q $, die gleichmäßig über das Volumen der Kugel verteilt ist.
Ich versuche, die Verteilung des elektrischen Feldes sowohl innerhalb als auch außerhalb der Kugel mithilfe des Gaußschen Gesetzes zu ermitteln.
Wir wissen, dass auf der geschlossenen Gaußschen Oberfläche mit sphärisch symmetrischer Ladungsverteilung das Gaußsche Gesetz vorliegt : $ \ frac {q} {ε_0} = \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- Außerhalb der Kugel: Logischerweise wird die Ladung außerhalb einer Kugel Sei immer auf der Gaußschen Oberfläche und es ändert sich nicht, daher das elektrische Feld außerhalb einer Kugel: $ E = \ frac {q} {4πε_0r ^ {2}} $
- Innerhalb der Kugel: Weil Die Ladung ist symmetrisch auf der Oberfläche verteilt. Wenn ich eine kleine Kugel mit dem Radius r innerhalb der Kugel mit dem Radius r abbilde, hat die kleine Kugel weniger Ladung auf ihrer Oberfläche. $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a ^ {3}} $
Ist diese Erklärung ausreichend?
Was wäre der Unterschied, wenn ich eine hätte? leitende Kugel?
Antwort
Bei Verwendung der Gauß-Formel ist q nicht die auf der Oberfläche verteilte Ladung, sondern die Ladung eingeschlossen von Ihrer Gaußschen Kugel. Innerhalb der Kugel sind die Ladungen gleichmäßig über das Volumen verteilt, nicht über die Oberfläche. Dies bedeutet, dass Sie bei der Betrachtung des Inneren des Isolators berücksichtigen müssen, wie viel Volumen Sie in Ihre Gaußsche Kugel eingeschlossen haben und wie viel Ladung sich in diesem Volumen unter Verwendung der Ladungsverteilung befindet.
Antwort
Vielleicht haben Sie ein leichtes Missverständnis des Gaußschen Gesetzes. Es besagt, dass das Integral des Skalarprodukts der elektrischen Feldvektoren mit den Normalenvektoren der geschlossenen Oberfläche, die über die gesamte Oberfläche integriert sind, gleich der Gesamtladung ist, die in der Oberfläche eingeschlossen ist (mal eine Konstante). Dies gilt nicht nur für eine sphärische Oberfläche, sondern für jede geschlossene Oberfläche. In diesem Fall ist eine sphärische Oberfläche sehr praktisch, da aufgrund der Symmetrie des elektrischen Feldes die Feldvektoren immer parallel zu den Normalenvektoren der Oberfläche sind. Dies bedeutet, dass
$$ \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
Hier sind sowohl die linke als auch die rechte Seite der Gleichung eine Funktion des Abstands vom Ursprung r und gelten für alle r. E ist die Größe des elektrischen Feldes.
Betrachten wir nun die in dieser Oberfläche eingeschlossene Ladung als Funktion von r. Innerhalb des geladenen Balls lautet diese Funktion
$$ q_ {enc} (r) = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
wobei $ \ rho $ die Ladungsdichte pro Volumen ist. Außerhalb des Balls, egal in welcher Entfernung Sie sich befinden, beträgt die eingeschlossene Ladung immer nur q (Gesamtladung). Wenn wir dies mit (1) über das Gaus-Gesetz kombinieren, wie Sie es angegeben haben, erhalten wir
$$ E (r) = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
außerhalb des Balls und
$$ E (r) = \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
drin. ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3) \ pi a ^ 3} $, damit Ihre zweite Formel korrekt ist.)
Wenn Sie stattdessen einen leitenden Ball verwenden, werden alle Ladungen verteilt auf der Oberfläche des Balls, da sie so weit wie möglich voneinander entfernt sein wollen. Da dies bedeutet, dass in keiner geschlossenen Oberfläche, die Sie sich im Ball vorstellen, mehr Ladung vorhanden ist, bedeutet dies, dass das E-Feld im Inneren überall Null ist. Außerhalb der Kugel enthält die Gauß-Oberfläche wieder die gesamte Ladung, sodass von außerhalb die Formel für das E-Feld wieder (3) lautet. Sie sehen also, dass der homogen geladene Ball von außen genau wie ein Ball aussieht, der nur auf seiner Oberfläche geladen ist, und auch genau wie das Feld einer Punktladung am Ursprung mit derselben Gesamtladung.
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