Campo elettrico allesterno e allinterno di una sfera
Su Dicembre 31, 2020 da adminUna sfera isolante di raggio a trasporta una carica totale $ q $ che è distribuita uniformemente sul volume della sfera.
Sto cercando di trovare la distribuzione del campo elettrico sia allinterno che allesterno della sfera usando la legge di Gauss.
Sappiamo che sulla superficie gaussiana chiusa con distribuzione di carica sfericamente simmetrica si legge la legge di Gauss : $ \ frac {q} {ε_0} = \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- Fuori dalla sfera: logicamente, la carica al di fuori di una sfera essere sempre sulla superficie gaussiana e non cambia, quindi il campo elettrico allesterno di una sfera: $ E = \ frac {q} {4πε_0r ^ {2}} $
- Allinterno della sfera: perché la carica è distribuita simmetricamente sulla superficie e se immagino una piccola sfera di raggio r allinterno della sfera di raggio r, la piccola sfera avrà meno carica sulla sua superficie. $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a ^ {3}} $
Questa spiegazione è sufficiente?
Quale sarebbe la differenza se avessi un sfera conduttrice?
Risposta
Quando si usa la formula di Gauss la q non è la carica distribuita sulla superficie, è la carica racchiuso dalla tua sfera gaussiana. Allinterno della sfera le cariche sono distribuite uniformemente su tutto il volume non sulla superficie. Ciò significa che quando si considera linterno dellisolante, è necessario considerare quanto volume hai racchiuso con la tua sfera gaussiana e quindi quanta carica cè allinterno di quel volume usando la distribuzione della carica.
Risposta
Forse hai un leggero fraintendimento della Legge di Gauss. Afferma che lintegrale del prodotto scalare dei vettori del campo elettrico con i vettori normali della superficie chiusa, integrati su tutta la superficie, è uguale alla carica totale racchiusa allinterno della superficie (moltiplicata per una costante). Questo è vero non solo per una superficie sferica ma per qualsiasi superficie chiusa. In questo caso una superficie sferica è molto conveniente poiché a causa della simmetria del campo elettrico, i vettori di campo saranno sempre paralleli ai vettori normali della superficie. Il che significa che
$$ \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
Qui, sia il lato sinistro che quello destro dellequazione sono una funzione della distanza dallorigine, re sono veri per ogni r. E è lampiezza del campo elettrico.
Consideriamo ora la carica racchiusa in questa superficie in funzione di r. Allinterno della palla caricata, questa funzione è
$$ q_ {enc} (r) = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
dove $ \ rho $ è la densità di carica per volume. Al di fuori della palla, non importa a quale distanza ti trovi, la carica racchiusa è sempre solo q (carica totale). Combinando questo con (1) tramite la legge gaus come hai affermato, otteniamo
$$ E (r) = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
fuori dalla palla e
$$ E (r) = \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
al suo interno. ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3) \ pi a ^ 3} $ quindi la tua seconda formula è corretta.)
Se usi invece una palla conduttrice, tutte le cariche verranno distribuite sulla superficie della palla, poiché vogliono essere il più distanti possibile luno dallaltro. Poiché questo significa che non cè più carica in nessuna superficie chiusa che immagini allinterno della palla, significa che il campo elettronico allinterno è zero ovunque. Al di fuori della palla, la superficie gauss conterrà nuovamente lintera carica, quindi dallesterno la formula per il campo elettronico sarà di nuovo (3). Quindi vedi che dallesterno, la palla caricata in modo omogeneo sembra esattamente una palla caricata solo sulla sua superficie e anche esattamente come il campo di una carica puntuale allorigine con la stessa carica totale.
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