Elektriskt fält utanför och inuti en sfär
On december 31, 2020 by adminEn isolerande sfär med radie a bär en total laddning $ q $ som är jämnt fördelad över sfärens volym.
Jag försöker hitta den elektriska fältfördelningen både inom och utanför sfären med Gauss Law.
Vi vet att på den stängda gaussiska ytan med sfäriskt symmetrisk laddningsfördelning säger Gauss Law : $ \ frac {q} {ε_0} = \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- Utanför sfären: Logiskt sett kommer laddningen utanför en sfär att vara alltid på den Gaussiska ytan och den förändras inte, därför är det elektriska fältet utanför en sfär: $ E = \ frac {q} {4πε_0r ^ {2}} $
- Insidan av sfären: Eftersom laddningen är symmetriskt fördelad på ytan och om jag avbildar en liten sfär med radie r inuti sfären med radie r, kommer den lilla sfären att ha mindre laddning på ytan. $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a ^ {3}} $
Är denna förklaring tillräcklig?
Vad skulle det vara skillnaden om jag har en genomföra sfär?
Svar
När du använder Gauss-formeln är q inte laddningen fördelad på ytan, det är laddningen innesluten av din Gaussiska sfär. Inne i sfären fördelas laddningarna jämnt över volymen inte ytan. Detta betyder att när du överväger insidan av isolatorn, måste du överväga hur mycket volym du har bifogat din Gauss-sfär och sedan hur mycket laddning som är inne i den volymen med hjälp av laddningsfördelningen.
Svar
Kanske har du ett litet missförstånd om Gauss Law. Den säger att integralen av den skalära produkten från de elektriska fältvektorerna med de normala vektorerna på den stängda ytan, integrerad över hela ytan, är lika med den totala laddningen som är innesluten i ytan (gånger något konstant). Detta gäller inte bara för en sfärisk yta utan för alla slutna ytor. I detta fall är en sfärisk yta mycket bekväm eftersom på grund av symmetrin för det elektriska fältet kommer fältvektorerna alltid att vara parallella med ytans normala vektorer. Vilket innebär att
$$ \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
Här är både vänster och höger sida av ekvationen en funktion av avståndet från ursprunget, r och gäller för alla r. E är storleken på det elektriska fältet.
Låt oss nu betrakta laddningen innesluten i denna yta som en funktion av r. Inne i den laddade bollen är den här funktionen
$$ q_ {enc} (r) = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
där $ \ rho $ är laddningstätheten per volym. Utanför bollen, oavsett på vilket avstånd du är, är den medföljande laddningen alltid bara q (total laddning). Att kombinera detta med (1) via gaus-lag som du angav det får vi
$$ E (r) = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
utanför bollen och
$$ E (r) = \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
inuti den. ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3) \ pi a ^ 3} $ så att din andra formel är korrekt.)
Om du använder en ledande boll istället kommer alla laddningar att fördelas på ytan av bollen, eftersom de vill vara så långt ifrån varandra som de kan. Eftersom detta innebär att det inte längre laddas i någon sluten yta som du föreställer dig inuti bollen, betyder det att e-fältet inuti är noll överallt. Utanför bollen kommer gaussytan att innehålla hela laddningen igen så från utsidan kommer formeln för e-fältet att vara (3) igen. Så du ser att utifrån ser den homogent laddade bollen exakt ut som en boll som bara laddas på ytan och också exakt som fältet för en punktladdning vid ursprunget med samma totala laddning.
Lämna ett svar