Elektrisch veld buiten en binnen een bol
Geplaatst op december 31, 2020 door adminEen isolerende bol met straal a draagt een totale lading $ q $ die gelijkmatig is verdeeld over het volume van de bol.
Ik probeer de elektrische veldverdeling zowel binnen als buiten de bol te vinden met behulp van de wet van Gauss.
We weten dat op het gesloten gaussiaanse oppervlak met sferisch symmetrische ladingsverdeling de wet van Gauss zegt : $ \ frac {q} {ε_0} = \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} $
- Buiten bol: logischerwijs zal de lading buiten een bol altijd op het Gaussische oppervlak zijn en het verandert niet, daarom is het elektrische veld buiten een bol: $ E = \ frac {q} {4πε_0r ^ {2}} $
- Binnen in bol: omdat de lading is symmetrisch verdeeld over het oppervlak en als ik een bolletje met straal r binnen de bol met straal r beeld, zal het bolletje minder lading op zijn oppervlak hebben. $ E = \ frac {q \ r} {4πε_0a ^ {3}} $
Is deze uitleg voldoende?
Wat zou het verschil zijn als ik een geleidende bol?
Antwoord
Bij gebruik van de Gauss-formule is de q niet de lading verdeeld over het oppervlak, het is de lading omsloten door je Gauss-sfeer. Binnen in de bol worden de ladingen gelijkmatig verdeeld over het volume , niet over het oppervlak. Dit betekent dat als je kijkt naar de binnenkant van de isolator, je moet bedenken hoeveel volume je hebt ingesloten met je Gauss-bol en vervolgens hoeveel lading er binnen dat volume zit met behulp van de ladingsverdeling.
Antwoord
Misschien heeft u een klein misverstand over de Gauss-wet. Het stelt dat de integraal van het scalaire product van de elektrische veldvectoren met de normaalvectoren van het gesloten oppervlak, geïntegreerd over het hele oppervlak, gelijk is aan de totale lading die in het oppervlak is omsloten (maal een constante). Dit geldt niet alleen voor een bolvormig oppervlak, maar voor elk gesloten oppervlak. In dit geval is een bolvormig oppervlak erg handig omdat vanwege de symmetrie van het elektrische veld de veldvectoren altijd evenwijdig zullen zijn aan de normaalvectoren van het oppervlak. Wat betekent dat
$$ \ oint \ vec {E} \ cdot d \ vec {A} = E * 4 \ pi * r ^ 2 \ tag {1} $$
Hier zijn zowel de linker- als de rechterkant van de vergelijking een functie van de afstand tot de oorsprong, r en gelden voor alle r. E is de grootte van het elektrische veld.
Laten we nu eens kijken naar de lading die in dit oppervlak zit als een functie van r. In de geladen bal is deze functie
$$ q_ {enc} (r) = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho \ tag {2} $$
waarbij $ \ rho $ de ladingsdichtheid per volume is. Buiten de bal, ongeacht op welke afstand u zich bevindt, is de ingesloten lading altijd slechts q (totale lading). Door dit te combineren met (1) via gaus law zoals je het zei, krijgen we
$$ E (r) = \ frac {q} {4 \ pi \ epsilon r ^ 2} \ tag {3} $ $
buiten de bal, en
$$ E (r) = \ frac {\ rho r} {3 \ epsilon} \ tag {4} $$
erin. ($ \ rho = \ frac {q} {(4/3) \ pi a ^ 3} $ dus uw tweede formule is correct.)
Als u in plaats daarvan een geleidende bal gebruikt, worden alle kosten verdeeld op het oppervlak van de bal, omdat ze zo ver mogelijk van elkaar verwijderd willen zijn. Omdat dit betekent dat er geen lading meer is in een gesloten oppervlak dat je je voorstelt in de bal, betekent dit dat het e-veld binnenin overal nul is. Buiten de bal zal het gauss-oppervlak weer de hele lading bevatten, dus van buitenaf zal de formule voor het e-veld weer (3) zijn. Dus je ziet dat van buitenaf de homogeen geladen bal er precies uitziet als een bal die alleen op zijn oppervlak wordt opgeladen en ook precies zoals het veld van een puntlading bij de oorsprong met dezelfde totale lading.
Geef een reactie