¿Por qué la ecuación del vector de excentricidad siempre es igual a -1?
On febrero 13, 2021 by adminEsta es la ecuación del vector de excentricidad, $$ e = \ frac {1} {\ mu} [( v ^ 2 – {\ mu \ over r}) r- (r \ cdot v) v] $$ $$ e = | e | $$ Ahora bien, esta ecuación está escrita de manera diferente a partir de muchas fuentes diferentes, pero esencialmente significan lo mismo. Probé esta ecuación y no importa qué valores le di a las variables, la respuesta es siempre -1 (o 1 en términos absolutos). Entiendo que la excentricidad de una parábola es 1, pero esta ecuación también es para elipses. Entonces, ¿por qué la respuesta es siempre -1? ¿Me estoy perdiendo de algo? Gracias de antemano.
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La expresión de la derecha está destinada a dar la excentricidad vector pero la notación vectorial se ha perdido.
Aquí está en esta respuesta :
$$ e = {v ^ 2 r \ over {\ mu}} – {(r \ cdot v) v \ over {\ mu}} – {r \ over {\ left | r \ right |}} $$
y la naturaleza del vector tampoco está clara. Deberíamos escribirlo como
$$ \ mathbf {e} = {v ^ 2 \ mathbf {r} \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {r}} $$
donde la cara en negrita representa vectores y $ v = | \ mathbf {v} | $ y $ r = | \ mathbf { r} | $ , o como
$$ \ mathbf {e} = {| \ mathbf {v} | ^ 2 \ mathbf {r } \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} $$
En la expresión $ (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} $ el término $ \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} $ es un producto escalar vectorial y devuelve un escalar , que luego multiplica el vector $ \ mathbf {v} $ .
Aquí hay un cálculo rápido para confirmarlo. Elegí $ \ mu = 1 $ y $ a = 1 $ para que el período orbital sea $ 2 \ pi $ . Puede ver que la componente x del vector de excentricidad es +0.8 y constante, y la componente y es 0.0 Eso confirma que el vector de excentricidad siempre apunta hacia la dirección de la periapsis y su magnitud siempre es igual a la excentricidad escalar, que en este caso es 0.8
Secuencia de comandos de Python:
def deriv(X, t): x, v = X.reshape(2, -1) acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5 return np.hstack((v, acc)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)] e = 0.8 peri = 1. - e apo = 1. + e vperi = np.sqrt(2./peri - 1.) # vis-viva equation X0 = np.array([peri, 0] + [0, vperi]) times = np.linspace(0, twopi, 201) answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True) r, v = answer.T.reshape(2, 2, -1) vsq = (v**2).sum(axis=0) rabs = np.sqrt((r**2).sum(axis=0)) evec = vsq*r - (r*v).sum(axis=0) * v - r/rabs if True: x, y = r plt.figure() plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x, y) plt.plot([0], [0], "oy", markersize=16) # the Sun plt.xlim(-2, 0.5) plt.ylim(-1.25, 1.25) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("x, y", fontsize=16) plt.subplot(4, 1, 4) x, y = evec plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("evec_x, evec_y", fontsize=16) plt.show()
Comentarios
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- @uhoh Solo para aclarar, el producto escalar del vector siempre será 0 en una órbita circular, ¿verdad? Porque el ángulo entre el lugar donde me lleva mi velocidad y el radio es siempre 90 grados. Y en una órbita elíptica, el producto escalar del vector es 0 en apoapsis y periapsis.
- @StarMan sí, eso ' es verdadero. Para una circular órbita, o para cualquier periapsis y la apoapsis de una elipse, $ \ mathbf {v} \ cdot \ ma thbf {r} $ será cero. Como comprobación rápida: para un círculo con $ e = 0 $, si el segundo término de la derecha es cero, tiene $ 0 = v ^ 2 r / mu – 1 $ que da $ v ^ 2 = mu / r $ que es la ecuación vis-viva para una órbita circular donde $ r = a $.
+1
por una muy buena pregunta. ' estoy escribiendo una respuesta ahora, debería tomar unos 20 minutos …