De ce ecuația vectorului de excentricitate este întotdeauna egală cu -1?
On februarie 13, 2021 by adminAceasta este ecuația vectorului de excentricitate, $$ e = \ frac {1} {\ mu} [( v ^ 2 – {\ mu \ over r}) r- (r \ cdot v) v] $$ $$ e = | e | $$ Acum această ecuație este scrisă diferit de multe surse diferite, dar în esență înseamnă același lucru. Am încercat această ecuație și indiferent de valorile pe care le-am dat variabilelor, răspunsul este întotdeauna -1 (sau 1 în termeni absoluți). Înțeleg că excentricitatea unei parabole este 1, dar această ecuație este valabilă și pentru elipse. Deci, de ce răspunsul este întotdeauna -1? Am pierdut ceva? Vă mulțumim anticipat.
Comentarii
Răspuns
Expresia din dreapta este menită să ofere excentricității vector dar notația vectorială a fost pierdută.
Iată-l în acest răspuns :
$$ e = {v ^ 2 r \ over {\ mu}} – {(r \ cdot v) v \ over {\ mu}} – {r \ over {\ left | r \ right |}} $$
și nici natura vectorială nu este clară. Ar trebui să-l scriem ca
$$ \ mathbf {e} = {v ^ 2 \ mathbf {r} \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {r}} $$
unde fața aldină reprezintă vectori și $ v = | \ mathbf {v} | $ și $ r = | \ mathbf { r} | $ , sau ca
$$ \ mathbf {e} = {| \ mathbf {v} | ^ 2 \ mathbf {r } \ over {\ mu}} – {(\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} \ over {\ mu}} – {\ mathbf {r} \ over {\ left | \ mathbf {r} \ right |}} $$
În expresia $ (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}) \ mathbf {v} $ termenul $ \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v} $ este un produs cu puncte vectoriale și returnează un scalar , care apoi înmulțește vectorul $ \ mathbf {v} $ .
Aici este un calcul rapid pentru confirmare. Am ales $ \ mu = 1 $ și $ a = 1 $ , astfel încât perioada orbitală să fie $ 2 \ pi $ . Puteți vedea că componenta vectorului de excentricitate x este +0,8 și constantă, iar componenta y este 0,0 Aceasta confirmă faptul că vectorul de excentricitate indică întotdeauna direcția periapsisului și magnitudinea sa este întotdeauna egală excentricitatea scalară, care în acest caz este 0,8
Script Python:
def deriv(X, t): x, v = X.reshape(2, -1) acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5 return np.hstack((v, acc)) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import odeint as ODEint halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)] e = 0.8 peri = 1. - e apo = 1. + e vperi = np.sqrt(2./peri - 1.) # vis-viva equation X0 = np.array([peri, 0] + [0, vperi]) times = np.linspace(0, twopi, 201) answer, info = ODEint(deriv, X0, times, full_output=True) r, v = answer.T.reshape(2, 2, -1) vsq = (v**2).sum(axis=0) rabs = np.sqrt((r**2).sum(axis=0)) evec = vsq*r - (r*v).sum(axis=0) * v - r/rabs if True: x, y = r plt.figure() plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot(x, y) plt.plot([0], [0], "oy", markersize=16) # the Sun plt.xlim(-2, 0.5) plt.ylim(-1.25, 1.25) plt.subplot(4, 1, 3) plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("x, y", fontsize=16) plt.subplot(4, 1, 4) x, y = evec plt.plot(times/twopi, x) plt.plot(times/twopi, y) plt.title("evec_x, evec_y", fontsize=16) plt.show()
Comentarii
- Comentariile nu sunt pentru discuții extinse; această conversație a fost mutat în chat .
- @uhoh Doar pentru a clarifica, produsul cu puncte vectoriale va fi întotdeauna 0 pe o orbită circulară nu? Pentru că unghiul dintre locul unde mă ia viteza și raza este întotdeauna la 90 de grade. Și pe o orbită eliptică, produsul cu puncte vectoriale este 0 la apoapisă și periapsis.
- @StarMan da că ' este adevărat. Pentru o circulară orbită sau pentru orice periapsis și apoapsă a unei elipse, $ \ mathbf {v} \ cdot \ ma thbf {r} $ va fi zero. Ca o verificare rapidă: pentru un cerc cu $ e = 0 $, dacă al doilea termen din dreapta este zero, aveți $ 0 = v ^ 2 r / mu – 1 $ care dă $ v ^ 2 = mu / r $ care este ecuația vis-viva pentru o orbită circulară în care $ r = a $.
+1
pentru o întrebare foarte bună! ' scriu un răspuns acum, ar trebui să dureze aproximativ 20 de minute …