¿Una simple derivación de la fórmula de aceleración centrípeta?
On enero 31, 2021 by admin¿Podría alguien mostrarme una derivación simple e intuitiva de la Fórmula de aceleración centrípeta $ a = v ^ 2 / r $, preferiblemente una que no involucre cálculo o ¿trigonometría avanzada?
Respuesta
Imagina un objeto que atraviesa constantemente un círculo de radio $ r $ centrado en el origen. Su posición puede ser representada por un vector de longitud constante que cambia de ángulo. La distancia total cubierta en un ciclo es $ 2 \ pi r $. Esta es también la cantidad acumulada por la cual la posición ha cambiado ..
Ahora considere el vector de velocidad de este objeto: también puede ser representado por un vector de longitud constante que cambia constantemente de dirección. Este vector tiene una longitud $ v $, por lo que el cambio acumulado en la velocidad es $ 2 \ pi v $.
La magnitud de la aceleración es $ \ frac {\ text {cambio en la velocidad}} {\ text {tiempo transcurrido}} $, que podemos escribir como: $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left (\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \,. $$
QED
Aparte: esa derivación se usa en muchos libros de texto basados en álgebra / trigonometría.
Comentarios
- Observe que después de un turno completo, el cambio en posición también es cero. Lo que nos interesa aquí es realmente el valor medio de la aceleración instantánea, pero para obtenerlo se requiere cálculo (o al menos la maquinaria de límites), que el OP no ‘ no desea. Por lo tanto, consideramos no el desplazamiento sino la distancia y también el equivalente de la distancia para la velocidad (que no ‘ t tiene un nombre convencional) en lugar de $ \ vec {v} _f – \ vec { v} _i $. Esto da la aceleración centrípeta para todas las curvas (conociendo $ r $ y $ v $), pero debemos agregar la aceleración » transversal » a mano.
- Esta es una gran explicación, pero ¿alguien podría explicar por qué el cambio acumulado en la velocidad es 2 * pi * v?
- @Conceptualidad Entonces, asumiendo que la velocidad de la partícula es constante, ¿verdad? Pero a medida que gira alrededor del círculo, su dirección de movimiento cambia. Eso significa que el vector de velocidad mantiene la misma longitud pero gira en un círculo completo. La punta del vector de velocidad describe un círculo de radio $ v $, por lo que la distancia que se movió la punta fue $ 2 \ pi v $.
- @dmckee, en la prueba de triángulo similar, el cambio de velocidad es simplemente la distancia entre las puntas de dos vectores de velocidad se dibuja de cola a cola. Pero, ¿sería » delta v » simplemente cero, ya que la magnitud es constante? ——— ¿a qué te refieres realmente? ¿Seguro que el cambio de dirección de todos modos está en grados?
- @ theenigma017 Los ángulos son formalmente adimensionales (es por eso que la velocidad angular y la frecuencia angular son la misma medida en SI). Es por eso que $ 2 \ pi r $ es una distancia y no otra cantidad, lo que significa que $ 2 \ pi v $ es una velocidad. Los primeros tres comentarios pueden ayudar, o simplemente puede pensar en esto como una comparación de distancia y velocidad.
Responder
En triángulo rectángulo ABC \ begin {ecuación} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ etiqueta {01} \ end {ecuación} Si \ begin {ecuación} \ theta \ etiqueta {02} \ end {ecuación} es pequeño \ begin {ecuación} v (t) \ approx v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { ecuación} \ begin {ecuación} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {ecuación} Para ángulos pequeños \ begin {ecuación} \ delta \ theta \ approx Sin {\ delta \ theta} \ tag {04} \ end {ecuación} Entonces, al reorganizar \ begin {ecuación} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ times \ vec v \ tag {05} \ end {ecuación} \ begin {ecuación } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ times \ vec v \ tag {06} \ end {ecuación} \ begin {ecuación } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ times \ vec v \ tag {07} \ end {ecuación}
\ begin {ecuación} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ etiqueta {08} \ end {ecuación}
\ begin {ecuación} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {ecuación}
\ begin {ecuación} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ times \ vec v \ etiqueta {10} \ end {ecuación}
\ begin {ecuación} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {ecuación} Y desde \ begin {ecuación} \ mathbf {v} = \ omega \ times r \ tag {12} \ end {ecuación} Entonces \ begin {ecuación} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {ecuación}
Comentarios
- Con un límite de ángulo pequeño, esto es , por supuesto, la derivación correcta. Pero es posible que desee ser explícito en que $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $ es correcto en ese límite. Tengo un éxito mixto en el aula con esta derivación (y con la que usé también).
- ¿Por qué $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (vector) = un ángulo * velocidad? que es la intuicion también se usa en la respuesta anterior
- @Allawonder, ¿lo resolvió? Estoy atascado en la misma pregunta.
Respuesta
Puede hacer esta derivación rompiendo la posición del partícula en órbita hacia abajo en componentes. No es corto, pero creo que es útil porque complementa el álgebra con analogías físicas concretas. Lo organizaré en cuatro partes: descomposición , oscilación , energía y simetría .
Descomposición
La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria circular se puede describir mediante dos ondas sinusoidales de fase – o equivalentemente, una onda sinusoidal y una onda cosenoidal:
( vía )
Esto es fácil de derivar: supongamos la partícula se mueve a una velocidad angular constante $ \ omega $ alrededor de un círculo de radio $ r $. Entonces $ \ theta = \ omega t $, y la trigonometría básica nos dice que la posición de la partícula dada $ \ theta $ está dada por $ x = r \ cos \ theta $ y $ y = r \ sin \ theta $. Podemos sustituir itute para obtener $ x = r \ cos (\ omega t) $ y $ y = r \ sin (\ omega t) $.
Oscilación
Resulta que hay otro tipo de movimiento que se describe mediante ondas sinusoidales: la oscilación de una peso en un resorte . En tal sistema,
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
donde $ A $ es la amplitud (es decir, la diferencia entre la longitud máxima del resorte y su longitud de reposo), $ k $ es la constante de fuerza del resorte, según la ley de Hooke, y $ m $ es, por supuesto, la masa. esta ecuación en la forma habitual requiere no solo cálculo, sino también ecuaciones diferenciales, por lo que le voy a pedir que confíe en mi palabra hasta un poco más tarde.
Para nuestros propósitos, esto significa que la mecánica de la partícula en órbita se puede simular mediante dos resortes oscilantes: uno para el componente $ x $ y otro para el componente $ y $ que es idéntico al primero, pero que está medio desfasado con él.Para imaginarse cómo se ve esto, mire hacia atrás en la animación de arriba y finja que el punto azul y el punto rojo están unidos a resortes que están a $ 0 $ cuando descansa.
Ahora que tenemos este modelo basado en resortes, podemos usarlo para determinar la fuerza que se aplica a la partícula a lo largo del eje $ x $. Según la ley de Hooke , la fuerza que ejerce un resorte sobre un peso adjunto es $ F = -kx $. Intentemos usar esa fórmula para determinar la aceleración de la partícula cuando el resorte $ x $ está en su longitud máxima. Sabemos que su longitud máxima será $ r $ en este caso; esto corresponde al momento en que la partícula está en $ x = r, y = 0 $. Y sabemos que $ F = ma $. Entonces, por sustitución, $ ma = -kr $; dividir por $ m $, y
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
Nuestro trabajo está a medio hacer. Pero ahora tenemos un nuevo problema: no sabemos qué es $ k $; después de todo, no hay un resorte real, por lo que no podemos medir nada. Necesitamos saber qué valor de $ k $ un resorte tendrá si se mueve de la misma manera que la partícula a lo largo del eje $ x $. Para resolver este problema, tenemos que empezar a pensar en las leyes de conservación.
Energía
Vamos » s piense en lo que sucede cuando el resorte $ x $ oscila. Cuando el resorte está en $ x = r $, ejerce la mayor fuerza sobre la partícula, pero la partícula no se mueve en absoluto. Esto está justo en el pico de la onda. Eso significa $ v = 0 $. De eso punto, la fuerza que el resorte aplica a la partícula la acelerará de $ 0 $ a su máxima velocidad $ -v_ \ text {max} $. 1 Y para cuando la partícula alcance $ x = 0 $, el resorte no aplicará fuerza; ese es el estado de reposo del resorte. Dado que el resorte no aplica fuerza, hemos llegado a $ -v_ \ text {max} $ – la dirección de la aceleración futura será en la dirección opuesta, desacelerando la partícula hasta que alcanza $ x = -r $.
Esto significa que en $ x = r $, tenemos $ F = -F_ \ text {max} $ , $ a = -a_ \ text {max} $ y $ v = 0 $. Y en $ x = 0 $, tenemos $ F = 0 $, $ a = 0 $ y $ v = -v_ \ text {max} $.
Esto es lo que está sucediendo: la energía en el sistema se mueve hacia adelante y hacia atrás entre la energía cinética máxima (en $ x = 0 $ cuando el resorte no está estirado o comprimido en absoluto) y la energía potencial máxima (en $ x = r $, cuando el resorte está completamente estirado ). Y debido a la conservación de la energía, estos dos máximos deben ser iguales; en otras palabras, $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $.
La fórmula para la energía cinética es $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ – esa es la mecánica newtoniana básica. ¿Cuál es la fórmula para $ P $ en este caso? Esta es la parte más difícil de la derivación. La energía potencial almacenada en el resorte es igual a la cantidad de trabajo negativo realizado para estirarla a $ x = r $. Así que tenemos que recordar la fórmula del trabajo: $ W = Fd $, donde $ d $ representa la distancia recorrida, es decir, $ x $, asumiendo que comenzamos en $ x = 0 $. Pero luego tenemos un problema. $ F = -kx $ no es constante – es una función de $ x $.
En general, esto significaría que tenemos que hacer cálculo. Pero afortunadamente, $ F = -kx $ es una función lineal, por lo que el valor que queremos es igual al área del triángulo formado por el eje $ x $ y la línea $ F = -kx $:
( vía )
En el gráfico anterior, $ k = 1 $, la distancia recorrida $ d = x_ \ text {max} = 1 $, y el área del triángulo dado representa el valor que obtienes cuando multiplicas $ F (x) $ por la distancia recorrida, ajustando los cambios en el valor de $ F $ a medida que aumenta la distancia. Pero como la altura del triángulo es $ -kx_ \ text {max} $ y la base del triángulo es $ x_ \ text {max} $, podemos usar simplemente geometría antigua. El área de un triángulo es $ \ rm \ frac {1} {2} base \ times altura $ – o, aquí, porque $ x_ \ text {max} = r $
$$ W = – \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Y como potente ial energía es igual a trabajo negativo :
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
¿No es interesante lo similar que es a $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $? Si piensa en eso por un tiempo y considera que $ E + P $ tiene que ser un valor constante, ¡podría comenzar a darse cuenta de por qué un resorte oscilante sigue una trayectoria sinusoidal! (Sugerencia: escriba la fórmula para un círculo, pero use $ \ sqrt {E + P} $ en lugar de $ r $ y $ v $ en lugar de $ y $.)
Pero puede volver a eso más tarde. ¡Estamos muy cerca! Configurando $ v = v_ \ text {max} $:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
¿Qué sucede cuando calculamos $ k $?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ implica kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ implica k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
Ahora podemos sustituir eso en nuestra fórmula para la aceleración anterior:
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
Es posible que se pregunte por qué aparece el signo negativo en esta versión. Pero recuerde que la aceleración es técnicamente en la dirección opuesta del desplazamiento. Entonces, cuando $ x = r, y = 0 $, la aceleración está en la dirección de $ -r $. ¡Si fuera de otra manera, la partícula se estaría acelerando hacia afuera! 2
Simetría
El último paso de esta derivación requiere un truco. Comenzamos rompiendo el movimiento en dos dimensiones en movimiento a lo largo de dos componentes unidimensionales. Luego usamos resortes imaginarios para describir el movimiento de la partícula a lo largo de esos dos componentes. Y ahora, nos enfrentamos a una pregunta final: ¿cómo elegimos nuestros componentes $ x $ y $ y $?
Tienen que estar en ángulos rectos entre sí, pero eso es solo la mitad de la batalla – tenemos que encontrar el «lugar correcto» para comenzar, la coordenada $ x $ «real». El problema es que no podemos. La trayectoria circular a lo largo de la cual se mueve la partícula es rotacionalmente simétrica. No hay nada en el círculo que nos diga dónde «comienza» o «termina».
Esto significa que la línea de razonamiento anterior se mantiene sin importar por dónde empecemos. Podemos elegir cualquier punto del círculo como $ x = 1, y = 0 $ punto, y lo anterior será válido. Entonces, donde sea que esté la partícula, simplemente establecemos ese punto como nuestro punto $ x = r, y = 0 $, y todo lo demás encaja en su lugar.
Si quisiéramos hacer más trabajo por nosotros mismos, podríamos resolver los detalles trigonométricamente, usando las fórmulas anteriores, ajustándolas para el eje $ y $, y luego recombinando $ x $ y $ y $ valores usando álgebra vectorial. Pero no es necesario, el argumento de simetría es más poderoso en este caso.
1. Aquí «más grande» realmente significa «más negativo», porque la partícula se mueve en sentido negativo $ x $ dirección. Estos valores realmente serán $ -F_ \ text {max} $ y $ -v_ \ text {max} $. Más tarde, cuando la partícula se mueva en la dirección opuesta, estos valores serán positivos.
2. Dar sentido a los signos requiere mucho trabajo de detalle sutil; en particular, tienes que entender por qué el trabajo negativo se convierte en energía potencial positiva. También ayuda pensar en $ r $ como un vector (que tiene una dirección) en lugar de una magnitud (que no la tiene). Afortunadamente, la intuición física proporciona una guía confiable en este caso; si algo resulta obviamente mal, vuelva a verificar su razonamiento.
Responder
Para moverse por un trayectoria cóncava, un agente tiene que impartir fuerza a un objeto en movimiento lineal. El objeto, en virtud de su movimiento, en ausencia de cualquier fuerza externa, siempre viaja o tiende a viajar en la dirección del vector de velocidad en el instante en cuestión.
Entonces, cuando el objeto tiene que atravesar una trayectoria curva, el requisito principal es la introducción de una fuerza que manipule la dirección de la velocidad de manera que el lugar geométrico resultante sea la trayectoria curvilínea requerida, de lo contrario el objeto viajaría en línea recta.
La dirección de la fuerza es evidentemente la dirección de la aceleración o el límite de cambio de velocidad con respecto al tiempo. Entonces, para encontrar la dirección, pensemos en una situación infinitesimal.
Supongamos que durante un corto período de tiempo $ \ Delta t $, la distancia recorrida es $ v (t) \ Delta t $ a lo largo un arco circular de radio $ r $. El ángulo atravesado es entonces $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$.
Imagina la bisectriz del ángulo. Ahora, considere los cambios en la velocidad paralela & perpendicular a esta bisectriz. Inicialmente la velocidad tiene un componente $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ lejos del centro & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ transversalmente. Luego, tiene un componente $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ hacia el centro & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ transversalmente como antes. Por lo tanto, el cambio de velocidad es de magnitud $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ hacia el centro del arco.
Como $ \ Delta \ theta $ es extremadamente pequeño, $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ se convierte en distinguible como $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $. Por tanto, podemos poner $$ | \ Delta v (t) | = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. Y la dirección es hacia el centro. Por lo tanto, la fuerza hace girar el vector de posición a lo largo de la trayectoria curva y el cambio es radialmente hacia adentro independientemente de si se traza en sentido horario o antihorario.
La imagen se vuelve más vívida si calculamos usando coordenadas polares.
Primero, escribimos el vector de posición como $ \ mathbf {r} = r \ cdot \ mathbf e_r $. Ahora considere el cambio de $ \ mathbf {r} $ con el tiempo. Su cambio durante $ \ Delta t $ es $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $. $ e_r \, \ textrm {y} \, e _ {\ theta} $ son mutuamente perpendiculares, el primero es hacia afuera radialmente desde el centro. Por lo tanto, la velocidad es $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
Al poner $ r = 1 $, obtenemos $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \;. $ $
De manera similar, un cambio de $ \ theta $ implica un cambio de $ \ mathbf e _ {\ theta} $. Se puede ver que $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – \ omega \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Ahora diferenciamos la velocidad, $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – {\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Este resultado cae automáticamente con la dirección correcta que es opuesta a $ \ mathbf e_r $ ie hacia el centro radialmente.
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