En simpel afledning af Centripetal Acceleration Formula?
On januar 31, 2021 by adminKunne nogen vise mig en enkel og intuitiv afledning af Centripetal Acceleration Formula $ a = v ^ 2 / r $, helst en der ikke involverer beregning eller avanceret trigonometri?
Svar
Forestil dig et objekt, der støt krydser en cirkel med radius $ r $ centreret om oprindelsen. Positionen kan repræsenteres af en vektor med konstant længde, der ændrer vinkel. Den samlede afstand, der er dækket i en cyklus, er $ 2 \ pi r $. Dette er også det akkumulerede beløb, hvormed position har ændret sig.
Overvej nu hastighedsvektoren for dette objekt: det kan også repræsenteres af en vektor med konstant længde, der konstant ændrer retning. Denne vektor har længden $ v $, så den akkumulerede hastighedsændring er $ 2 \ pi v $.
Accelerationens størrelse er så $ \ frac {\ text {ændring i hastighed}} {\ text {forløbet tid}} $, som vi kan skrive som: $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left (\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \,. $$
QED
Bortset fra: denne afledning bruges i mange algebra / trig-baserede lærebøger.
Kommentarer
- Bemærk, at ændringen efter en hel drejning i position er også nul. Det, vi er interesseret i her, er virkelig gennemsnitsværdien af den øjeblikkelige acceleration, men for at få det kræves der beregning (eller i det mindste maskineriet til grænser), som OPen ikke ‘ ikke ønsker. Så i stedet betragter vi ikke forskydning men afstand og også ækvivalenten med afstand for hastighed (som ikke ‘ ikke har et konventionelt navn) snarere end $ \ vec {v} _f – \ vec { v} _i $. Dette giver centripetalacceleration for alle kurver (ved at kende $ r $ og $ v $), men vi skal tilføje ” tværgående ” acceleration i hånden.
- Dette er en god forklaring, men kunne nogen forklare, hvorfor den akkumulerede hastighedsændring er 2 * pi * v?
- @Konceptualitet Så ved antagelse af partikelhastigheden er konstant, ikke? Men når den går rundt om cirklen, ændres dens bevægelsesretning. Det betyder, at hastighedsvektoren holder samme længde, men drejer gennem en hel cirkel. Spidsen af hastighedsvektoren beskriver en cirkel med radius $ v $, så afstanden, som spidsen bevægede sig, var $ 2 \ pi v $.
- @dmckee, i det samme trekant bevis, er hastighedsændringen simpelthen trækker afstanden mellem spidserne på to hastighedsvektorer hale mod hale. Men ville ” delta v ” simpelthen være nul, da størrelsen er konstant? ——— hvordan mener du virkelig sikker på, at retningsændringen alligevel i grad?
- @ theenigma017 Vinklerne er formelt dimensionelle (det er derfor vinkelhastighed og vinkelfrekvens er det samme mål i SI). Derfor er $ 2 \ pi r $ en afstand og ikke en anden mængde, hvilket betyder at $ 2 \ pi v $ er en hastighed. De første tre kommentarer kan hjælpe, eller du kan bare tænke på dette som at sammenligne afstand og hastighed.
Svar
I retvinklet trekant ABC \ begin {ligning} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {ligning} Hvis \ begin {ligning} \ theta \ tag {02} \ end {ligning} er lille \ begin {ligning} v (t) \ approx v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { ligning} \ begin {ligning} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {ligning} For lille vinkel \ begin {ligning} \ delta \ theta \ approx Sin {\ delta \ theta} \ tag {04} \ end {ligning} Så ved at omarrangere \ begynde {ligning} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ times \ vec v \ tag {05} \ end {ligning} \ begin {ligning } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ times \ vec v \ tag {06} \ end {ligning} \ begin {ligning } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ times \ vec v \ tag {07} \ end {ligning}
\ start {ligning} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {08} \ end {ligning}
\ begin {ligning} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {ligning}
\ begin {ligning} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ gange \ vec v \ tag {10} \ end {ligning}
\ begin {ligning} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {ligning} Og siden \ begin {ligning} \ mathbf {v} = \ omega \ times r \ tag {12} \ end {ligning} Så \ begin {ligning} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {ligning}
Kommentarer
- Med en lille vinkelgrænse er dette selvfølgelig den korrekte afledning. Men du vil måske være eksplicit, at $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $ er korrekt i denne grænse. Jeg har blandet succes i klasseværelset med denne afledning (og med den, jeg brugte også).
- Hvorfor er $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (vektor) = en vinkel * hastighed? hvad er intuitionen? også brugt i ovenstående svar
- @Allawonder arbejdede du det? Jeg sidder fast ved det samme spørgsmål.
Svar
Du kan udføre denne afledning ved at bryde positionen for kredser partikler ned i komponenter. Det er ikke kort, men jeg synes, det er nyttigt, fordi det supplerer algebraen med konkrete fysiske analogier. Jeg organiserer det i fire dele: nedbrydning , svingning , energi og symmetri .
Nedbrydning
Positionen for en partikel, der bevæger sig langs en cirkulær sti, kan beskrives med to halv-ud-af- fase sinusbølger – eller ækvivalent med en sinusbølge og en cosinusbølge:
( via )
Dette er let at udlede: antag partiklen bevæger sig med en konstant vinkelhastighed $ \ omega $ omkring en cirkel med radius $ r $. Derefter $ \ theta = \ omega t $, og grundlæggende trigonometri fortæller os, at placeringen af partiklen givet $ \ theta $ er givet af $ x = r \ cos \ theta $ og $ y = r \ sin \ theta $. Vi kan subst itute for at få $ x = r \ cos (\ omega t) $ og $ y = r \ sin (\ omega t) $.
Oscillation
Det viser sig, at der er en anden slags bevægelse, der er beskrevet af sinusbølger: svingningen af en vægt på en fjeder . I et sådant system
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
hvor $ A $ er amplituden (dvs. forskellen mellem fjederens maksimale længde og dens hvilelængde), $ k $ er fjederens kraftkonstant, fra Hookes lov, og $ m $ er selvfølgelig massen. denne ligning på den sædvanlige måde kræver ikke kun beregning, men også differentialligninger – så jeg vil bede dig om at tage mit ord for det indtil lidt senere.
For vores formål betyder det, at mekanikken i den kredsende partikel kan simuleres af to oscillerende fjedre: en for $ x $ -komponenten og en for $ y $ -komponenten, der er identisk med den første, men det er halvt ud-af-fase med den.For at se hvordan dette ser ud, skal du se tilbage på animationen ovenfor og lade som om den blå prik og den røde prik er knyttet til fjedre, der er på $ 0 $, når du hviler.
Nu hvor vi har denne fjederbaserede model, kan vi bruge den til at bestemme den kraft, der påføres partiklen langs $ x $ aksen! Ved Hookes lov er kraften, som en fjeder udøver på en vedhæftet vægt, $ F = -kx $. Lad os prøve at bruge den formel til at bestemme acceleration af partiklen, når $ x $ fjederen har den maksimale længde. Vi ved, at dens maksimale længde vil være $ r $ i dette tilfælde – dette svarer til det øjeblik, hvor partiklen er på $ x = r, y = 0 $. Og vi ved, at $ F = ma $. Så ved erstatning, $ ma = -kr $; divider med $ m $, og
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
Vores arbejde er halvt udført. Men nu har vi et nyt problem: vi ved ikke, hvad $ k $ er – når alt kommer til alt er der ingen egentlig fjeder, så vi kan ikke måle noget. Vi er nødt til at vide, hvilken værdi af $ k $ en fjeder vil have, hvis den bevæger sig på samme måde som partiklen gør langs $ x $ -aksen. For at løse dette problem er vi nødt til at begynde at tænke på bevarelseslove.
Energi
Lad ” s tænk på, hvad der sker, når $ x $ fjederen svinger. Når fjederen er på $ x = r $, udøver den den største kraft på partiklen, men partiklen bevæger sig slet ikke. Dette er lige ved toppen af bølgen. Det betyder $ v = 0 $. punkt, vil kraften, som fjederen gælder for partiklen, accelerere den fra $ 0 $ til dens største hastighed $ -v_ \ text {max} $. 1 Og når partiklen når $ x = 0 $, fjederen vil ikke anvende nogen kraft; det er fjederens hviletilstand. Da foråret ikke anvender nogen kraft, har vi nået $ -v_ \ text {max} $ – retningen for fremtidig acceleration vil være i den modsatte retning, sænker partiklen ned, indtil den når $ x = -r $.
Så det betyder, at vi ved $ x = r $ har $ F = -F_ \ text {max} $ , $ a = -a_ \ text {max} $ og $ v = 0 $. Og ved $ x = 0 $ har vi $ F = 0 $, $ a = 0 $ og $ v = -v_ \ text {max} $.
Her er hvad der sker: energien i systemet bevæger sig frem og tilbage mellem maksimal kinetisk energi (ved $ x = 0 $, når fjederen slet ikke er strakt eller komprimeret) og maksimal potentiel energi (ved $ x = r $, når fjederen er helt strakt ). Og på grund af energibesparelse skal disse to maksima være ens; med andre ord $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $.
Formlen for kinetisk energi er $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ – det er den grundlæggende newtonske mekanik. Hvad er formlen for $ P $ i dette tilfælde? Dette er den sværeste del af afledningen. Den potentielle energi, der er lagret om foråret, er lig med mængden af negativt arbejde udført for at strække den til $ x = r $. Så vi er nødt til at huske formlen for arbejde: $ W = Fd $, hvor $ d $ står for tilbagelagt afstand – dvs. $ x $, forudsat at vi starter ved $ x = 0 $. Men så har vi et problem. $ F = -kx $ er ikke konstant – det er en funktion af $ x $.
Generelt vil dette betyde, at vi skal lave beregning. Men heldigvis er $ F = -kx $ en lineær funktion, og så er den værdi, vi ønsker, lig med arealet af trekanten dannet af $ x $ aksen og linjen $ F = -kx $:
( via )
I ovenstående diagram er $ k = 1 $, den tilbagelagte afstand $ d = x_ \ text {max} = 1 $ og området for den givne trekant repræsenterer den værdi, du får, når du multiplicerer $ F (x) $ med den tilbagelagte afstand, og justerer for ændringer i værdien af $ F $, når afstanden øges. Men da trekants højde er $ -kx_ \ text {max} $ og bunden af trekanten er $ x_ \ text {max} $, vi kan bare bruge almindelig gammel geometri. Arealet af en trekant er $ \ rm \ frac {1} {2} base \ gange højde $ – eller her, fordi $ x_ \ text {max} = r $
$$ W = – \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Og siden potent ial energi er lig med negativt arbejde :
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Er det ikke interessant, hvor meget det ligner $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $? Hvis du tænker over det i et stykke tid og overvejer at $ E + P $ skal være en konstant værdi, kan du begynde at indse, hvorfor en oscillerende fjeder følger en sinusformet vej! (Tip: skriv formlen for en cirkel, men brug $ \ sqrt {E + P} $ i stedet for $ r $ og $ v $ i stedet for $ y $.)
Men du kan komme tilbage til det senere. Vi er meget tæt! Indstilling af $ v = v_ \ text {max} $:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
Hvad sker der, når vi løser $ $ $?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ indebærer kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ indebærer k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
Nu kan vi erstatte det i vores formel for acceleration ovenfor:
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
Du undrer dig måske over, hvorfor det negative tegn vises i denne version. Men husk, at accelerationen teknisk set er i den modsatte retning af forskydningen. Så når $ x = r, y = 0 $, er accelerationen i retning af $ -r $. Hvis det ikke var ellers, ville partiklen accelerere udad! 2
Symmetri
Det sidste trin i denne afledning kræver et trick. Vi begyndte med at bryde bevægelse i to dimensioner i bevægelse langs to endimensionelle komponenter. Vi brugte derefter imaginære fjedre til at beskrive partikelens bevægelse langs disse to komponenter. Og nu står vi over for et sidste spørgsmål: hvordan vælger vi vores $ x $ og $ y $ komponenter?
De skal være vinkelret på hinanden, men det er kun halvdelen af kampen – vi er nødt til at finde det “rigtige sted” at starte, den “rigtige” $ x $ koordinat. Problemet er, at vi kan “t. Den cirkulære sti, langs hvilken partiklen bevæger sig, er rotationssymmetrisk. Der er intet om cirklen, der fortæller os, hvor det” starter “eller” slutter. ”
Dette betyder, at ovenstående argumentation gælder uanset hvor vi starter. Vi kan vælge ethvert punkt på cirklen som $ x = 1, y = 0 $ punkt, og ovenstående vil være gyldig. Så uanset hvor partiklen er, indstiller vi simpelthen dette punkt som vores $ x = r, y = 0 $ punkt, og alt andet falder på plads.
Hvis vi ville gøre mere arbejde for os selv, kunne vi udregne detaljerne trigonometrisk ved hjælp af ovenstående formler, justere dem til $ y $ aksen og derefter kombinere $ x $ og $ y $ igen værdier ved hjælp af vektoralgebra. Men vi behøver ikke – symmetriargumentet er mere kraftfuldt i dette tilfælde.
1. Her betyder “største” virkelig “mest negativt”, fordi partiklen bevæger sig negativt $ x $ retning. Disse værdier vil virkelig være $ -F_ \ text {max} $ og $ -v_ \ text {max} $. Senere, når partiklen bevæger sig i den modsatte retning, vil disse værdier være positive.
2. At få mening i tegnene kræver en masse subtile detaljer, især skal du forstå, hvorfor negativt arbejde bliver positiv potentiel energi. Det hjælper også med at tænke på $ r $ som en vektor (som har en retning) i stedet for en størrelse (som ikke “t”). Heldigvis giver fysisk intuition en pålidelig vejledning i dette tilfælde; hvis noget viser sig åbenbart forkert, skal du dobbelttjekke din tankegang.
Svar
For at komme igennem en konkave sti, skal en agent give kraft til ellers en lineært bevægende genstand. Objektet bevæger sig i kraft af sin bevægelse under fravær af nogen ekstern kraft altid eller har tendens til at bevæge sig i retning af hastighedsvektoren i det pågældende øjeblik.
Så når objektet skal krydse en kurvebane, hovedforudsætningen er introduktionen af en kraft, der manipulerer hastighedsretningen, således at det resulterende locus er den krævede kurvede vej, ellers ville objektet bevæge sig lige.
Kraftens retning er åbenbart retningen af accelerationen eller grænsen for hastighedsændring i forhold til tiden. Så for at finde retningen, lad os tænke på en uendelig minimal situation.
Lad i en kort periode $ \ Delta t $, den tilbagelagte afstand er $ v (t) \ Delta t $ langs en cirkelbue med en radius $ r $. Den krydsede vinkel er så $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$.
Forestil dig halvdelen af vinkel. Overvej nu ændringerne i hastighedsparallel & vinkelret på denne halvering. Indledningsvis har hastigheden en komponent $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ væk fra centrum & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ på tværs. Bagefter har den en komponent $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ mod centrum & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ på tværs som før. Således er hastighedsændringen af størrelsen $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ mod midten af buen.
Da $ \ Delta \ theta $ er forsvindende lille, bliver $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ i skelnes som $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $. Således kan vi sætte $$ | \ Delta v (t) | = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. Og retningen er mod centrum. Kraften roterer således positionsvektoren langs den buede bane, og ændringen sker radialt indad, uanset om den spores med eller mod uret.
Billedet bliver mere levende, hvis vi beregner ved hjælp af polar koordinat.
Først skriver vi positionsvektoren som $ \ mathbf {r} = r \ cdot \ mathbf e_r $. Overvej nu ændringen af $ \ mathbf {r} $ med tiden. Dens ændring under $ \ Delta t $ er $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $. $ e_r \, \ textrm {og} \, e _ {\ theta} $ er gensidigt vinkelrette, den første er radialt udad fra centrum. Derfor er hastigheden $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
Ved at sætte $ r = 1 $ får vi $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \;. $ $
Tilsvarende betyder en ændring af $ \ theta $ en ændring af $ \ mathbf e _ {\ theta} $. Det kan ses, at $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – \ omega \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Nu differentierer vi hastigheden, $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – {\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Dette resultat falder automatisk ned med den rigtige retning, som er modsat af $ \ mathbf e_r $ dvs. mod midten radialt.
Skriv et svar