Yksinkertainen johto Centripetal Acceleration Formulasta?
On tammikuu 31, 2021 by adminVoisiko joku näyttää minulle yksinkertaisen ja intuitiivisen johdannaisen Centripetal Acceleration Formulasta $ a = v ^ 2 / r $, mieluiten sellaisesta, joka ei sisällä laskutoimitusta tai edistynyt trigonometria?
Vastaus
Kuvittele objekti, joka kulkee tasaisesti ympyrän, jonka säde $ r $ on keskitetty alkuperään. Sen sijainti voidaan esittää vakiopituisella vektorilla, joka muuttaa kulmaa. Yhden jakson aikana kuljettu kokonaismatka on $ 2 \ pi r $. Tämä on myös kertynyt summa, jolla sijainti on muuttunut.
Harkitse nyt tämän objektin nopeusvektoria: se voidaan myös esittää vakiopituisella vektorilla, joka muuttaa tasaisesti suuntaa. Tällä vektorilla on pituus $ v $, joten nopeuden kertynyt muutos on $ 2 \ pi v $.
Kiihtyvyyden suuruus on tällöin $ \ frac {\ text {nopeuden muutos}} {\ text {kulunut aika}} $, jonka voimme kirjoittaa muodossa: $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ vasen (\ frac {2 \ pi r} {v} \ oikea)} = \ frac {v ^ 2} {r} \,. $$
QED
Sen lisäksi, että johdannaista käytetään monissa algebra- / trig-pohjaisissa oppikirjoissa.
Kommentit
- Huomaa, että muutos yhden täyden käännöksen jälkeen Asennossa on myös nolla.Mitä meitä täällä kiinnostaa, oikeastaan hetkellisen kiihtyvyyden keskiarvo, mutta sen saaminen vaatii laskennan (tai ainakin rajoitukset), jota OP ei halua ’. Joten sen sijaan ei oteta huomioon siirtymää, vaan etäisyyttä ja myös nopeuden ekvivalenttia (jolla ’ ei ole tavanomaista nimeä) eikä $ \ vec {v} _f – \ vec { v} _i $. Tämä antaa kaikkien käyrien keskipitkän kiihtyvyyden (tietäen $ r $ ja $ v $), mutta meidän on lisättävä ” poikittainen ” kiihtyvyys käsin.
- Tämä on hieno selitys, mutta voisiko joku selittää, miksi nopeuden kertynyt muutos on 2 * pi * v?
- @Conceptuality Joten olettaen hiukkasen nopeus on vakio, eikö? Mutta kiertäessään ympyrän liikesuunta muuttuu. Tämä tarkoittaa, että nopeusvektori pitää saman pituuden, mutta kääntyy koko ympyrän läpi. Nopeusvektorin kärki kuvaa ympyrän, jonka säde on $ v $, joten kärjen liikuttama etäisyys oli $ 2 \ pi v $.
- @dmckee, vastaavassa kolmion todistuksessa nopeuden muutos on yksinkertaisesti kahden nopeusvektorin kärjen välinen etäisyys vetää hännän häntä. Mutta olisiko ” delta v ” yksinkertaisesti nolla, koska suuruus on vakio? ——— miten tarkoitat todella varma muutos suunnassa joka tapauksessa asteessa?
- @ theenigma017 Kulmat ovat muodollisesti ulottumattomia (siksi kulmanopeus ja kulmataajuus ovat sama mitta SI: ssä). Siksi $ 2 \ pi r $ on etäisyys eikä jokin muu määrä, mikä tarkoittaa, että $ 2 \ pi v $ on nopeus. Kolme ensimmäistä kommenttia voivat auttaa, tai voit ajatella tätä vain etäisyyden ja nopeuden vertailuna.
vastaus
Suorakulmaisessa kolmiossa ABC \ begin {yhtälö} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {equation} Jos \ begin {equation} \ theta \ tag {02} \ end {yhtälö} on pieni \ begin {yhtälö} v (t) \ approx v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { yhtälö} \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {yhtälö} pienelle kulmalle \ begin {yhtälö} \ delta \ theta \ approx Sin {\ delta \ theta} \ tag {04} \ end {equation} Joten järjestettäessä \ begin {equation} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ kertaa \ vec v \ tag {05} \ end {yhtälö} \ begin {yhtälö } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ kertaa \ vec v \ tag {06} \ end {yhtälö} \ begin {yhtälö } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ kertaa \ vec v \ tag {07} \ end {yhtälö}
\ begin {yhtälö} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {08} \ end {yhtälö}
\ begin {yhtälö} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {yhtälö}
\ begin {yhtälö} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ kertaa \ vec v \ tag {10} \ end {yhtälö}
\ begin {equation} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {equation} Ja koska \ begin {yhtälö} \ mathbf {v} = \ omega \ kertaa r \ tag {12} \ end {equation} Joten \ begin {equation} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {yhtälö}
Kommentit
- Pienellä kulmarajalla tämä on tietysti oikea johdatus. Mutta haluat ehkä selventää, että $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $ on oikea tässä rajoituksessa. Minulla on sekoittunut menestystä luokassa ja tähän johdantoon (ja myös siihen, jota käytin).
- Miksi $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (vektori) = kulma * nopeus? mikä on intuitio? käytetään myös yllä olevassa vastauksessa
- @Allawonder selvititkö sen? Olen juuttunut samaan kysymykseen.
Vastaa
Voit tehdä tämän johdon rikkomalla kiertää hiukkasia komponenteiksi. Se ei ole lyhyt, mutta mielestäni se on hyödyllinen, koska se täydentää algebraa konkreettisilla fysikaalisilla analogeilla. Järjestän sen neljään osaan: hajoaminen , värähtely , energia ja symmetria .
Hajoaminen
Pyöreää polkua pitkin liikkuvan hiukkasen sijainti voidaan kuvata kahdella puoliksi vaihe-siniaallot – tai vastaavasti siniaalto ja kosini-aalto:
( kautta )
Tämä on helppo johtaa: oletetaan hiukkanen liikkuu tasaisella kulmanopeudella $ \ omega $ ympyrän, jonka säde on $ r $, ympärillä. Sitten $ \ theta = \ omega t $, ja trigonometria kertoo meille, että $ \ theta $: lle annetun hiukkasen sijainti $ x = r \ cos \ theta $ ja $ y = r \ sin \ theta $. Voimme korvata itute saadaksesi $ x = r \ cos (\ omega t) $ ja $ y = r \ sin (\ omega t) $.
Värähtely
Osoittautuu, että on olemassa toinenkin liike, jota siniaallot kuvaavat: paino jousella . Tällaisessa järjestelmässä
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
missä $ A $ on amplitudi (ts. jousen maksimipituuden ja lepopituuden ero), $ k $ on jousen voimavakio Hooken lain mukaan, ja $ m $ on tietysti massa. tämä yhtälö tavalliseen tapaan vaatii paitsi laskennan myös differentiaaliyhtälöt – joten pyydän teitä ottamaan sanani vasta myöhemmin.
Tarkoituksissamme tämä tarkoittaa, että kiertävän hiukkasen mekaniikkaa voidaan simuloida kahdella värähtelevällä jousella: yksi komponentille $ x $ ja toinen komponentille $ y $, joka on identtinen ensimmäisen kanssa, mutta on puolivälissä sen kanssa.Voit katsoa miltä tämä näyttää, katsomalla taaksepäin yllä olevaa animaatiota ja teeskentelemällä, että sininen ja punainen piste on kiinnitetty jousiin, joiden lepotila on 0 dollaria.
Nyt kun meillä on tämä jousipohjainen malli, voimme sen avulla määrittää hiukkaselle $ x $ -akselin suuntaisen voiman! Hookein lain mukaan jousen kiinnitettyyn painoon kohdistama voima on $ F = -kx $. Yritetään käyttää tätä kaavaa määritettäessä hiukkasen kiihtyvyys, kun $ x $ -jousi on maksimipituudeltaan. Tiedämme, että sen maksimipituus on tässä tapauksessa $ r $ – tämä vastaa hetkeä, jolloin hiukkanen on kohdassa $ x = r, y = 0 $. Ja tiedämme, että $ F = ma $. Joten korvaamalla, $ ma = -kr $; jaa $ m $: lla ja
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
Työmme on puoliksi tehty. Mutta nyt meillä on uusi ongelma: emme tiedä mikä $ k $ on – loppujen lopuksi ei ole todellista jousta, joten emme voi mitata mitään. Meidän on tiedettävä, mikä arvo $ k $ keväällä on, jos se liikkuu samalla tavalla kuin hiukkanen $ x $ -akselia pitkin. Tämän ongelman ratkaisemiseksi meidän on alettava ajatella luonnonsuojelulakeja.
Energia
Anna ” Ajattelen mitä tapahtuu, kun $ x $ -jousi värähtelee. Kun jousi on $ x = r $, se kohdistaa suurimman voiman hiukkaselle, mutta hiukkanen ei ”t” liiku ollenkaan. Tämä on aivan aallon huipulla. Tämä tarkoittaa $ v = 0 $. Siitä alkaen piste, jousen hiukkaselle kohdistama voima kiihdyttää sitä $ 0 $: sta suurimpaan nopeuteensa $ -v_ \ text {max} $. 1 Ja siihen mennessä, kun hiukkanen saavuttaa $ x = 0 $, kevät ei kohdista voimaa; se on jousen lepotila. Koska kevät ei kohdista voimaa, olemme saavuttaneet $ -v_ \ text {max} $ – tulevan kiihtyvyyden suunta on vastakkaiseen suuntaan, hidastamalla hiukkasia alaspäin, kunnes se saavuttaa $ x = -r $.
Tämä tarkoittaa, että kun $ x = r $, meillä on $ F = -F_ \ text {max} $ , $ a = -a_ \ text {max} $ ja $ v = 0 $. Ja kohdassa $ x = 0 $ meillä on $ F = 0 $, $ a = 0 $ ja $ v = -v_ \ text {max} $.
Tässä tapahtuu mitä tapahtuu: järjestelmän energia liikkuu edestakaisin maksimaalisen kineettisen energian ($ x = 0 $, kun jousta ei ole venytetty tai puristettu ollenkaan) ja maksimaalisen potentiaalisen energian ($ x = r $, kun jousi on täysin venytetty) välillä ). Ja energiansäästön takia näiden kahden maksimin on oltava yhtä suuret; toisin sanoen $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $.
Kineettisen energian kaava on $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ – se on Newtonin perusmekaniikka. Mikä on $ P $: n kaava tässä tapauksessa? Tämä on johdon vaikein osa. Keväällä varastoitu potentiaalinen energia on yhtä suuri kuin negatiivinen työ , joka on tehty sen venyttämiseksi arvoon $ x = r $. Joten meidän on muistettava työn kaava: $ W = Fd $, jossa $ d $ tarkoittaa kuljettua matkaa – ts. $ X $, olettaen, että aloitamme arvosta $ x = 0 $. Mutta sitten meillä on ongelma. $ F = -kx $ ei ole vakio – se on funktion $ x $ funktio.
Yleensä tämä tarkoittaisi, että meidän on tehtävä laskenta. Mutta onneksi $ F = -kx $ on lineaarinen funktio, joten haluamasi arvo on yhtä suuri kuin $ x $ -akselin ja viivan $ F = -kx $ muodostaman kolmion pinta-ala:
( kautta )
Yllä olevassa kaaviossa $ k = 1 $, kuljettu matka $ d = x_ \ text {max} = 1 $, ja annetun kolmion pinta-ala edustaa arvoa, jonka saat, kun kerrot $ F (x) $ kuljetulla etäisyydellä, säätämällä $ F $ arvon muutoksiin etäisyyden kasvaessa. Mutta koska kolmion korkeus on $ -kx_ \ text {max} $ ja kolmion pohja on $ x_ \ text {max} $, voimme käyttää vain tavallista vanhaa geometriaa. Kolmion pinta-ala on $ \ rm \ frac {1} {2} base \ kertaa korkeus $ – tai tässä, koska $ x_ \ text {max} = r $
$$ W = – \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Ja koska voimakas ialenergia on yhtä suuri kuin negatiivinen työ :
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Eikö ole mielenkiintoista, kuinka samanlainen kuin $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $? Jos ajattelet sitä jonkin aikaa ja katsot, että $ E + P $: n on oltava vakioarvo, saatat alkaa ymmärtää, miksi värähtelevä jousi seuraa sinimuotoista polkua! (Vihje: kirjoita ympyrän kaava, mutta käytä $ \ sqrt {E + P} $ $ r $: n sijaan ja $ v $: n $ y $: n sijaan.)
Mutta voit palata takaisin siihen myöhemmin. Olemme lähellä! Asettamalla $ v = v_ \ text {max} $:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
Mitä tapahtuu, kun ratkaisemme $ k $: lla?
\ begin {tasaus} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ merkitsee kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ merkitsee k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
Nyt voimme korvata sen yllä olevalla kiihtyvyyskaavallamme:
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {v ^ 2} {r} \ end {tasaus}
Saatat miettiä, miksi negatiivinen merkki esiintyy tässä versiossa. Muista kuitenkin, että kiihtyvyys on teknisesti siirtymän vastakkaiseen suuntaan . Joten kun $ x = r, y = 0 $, kiihtyvyys on $ -r $: n suuntaan. Jos se olisi toisin, hiukkanen kiihtyisi ulospäin! 2
Symmetria
Tämän johdannon viimeinen vaihe vaatii temppua. Aloitimme jakamalla liikkeen kahdessa ulottuvuudessa liikkeeksi kahta yksiulotteista komponenttia pitkin. Sitten kuvasimme kuvitteellisia jousia hiukkasen liikkeen pitkin näitä kahta komponenttia. Ja nyt kohtaamme viimeisen kysymyksen: kuinka valitsemme komponentit $ x $ ja $ y $?
Heidän on olla suorassa kulmassa toisiinsa nähden, mutta se on vain puolet taistelusta – meidän on löydettävä ”oikea paikka” alkuun, ”oikea” $ x $ -koordinaatti. Ongelmana on, että voimme ”t. Pyöreä polku, jota pitkin hiukkanen liikkuu, on pyörimissymmetrinen. Ympyrässä ei ole mitään kertoa meille, mistä se” alkaa ”tai” päättyy ”.
Tämä tarkoittaa, että yllä oleva päättely on voimassa riippumatta siitä, mistä aloitamme. Voimme valita minkä tahansa pisteen ympyrästä kuten $ x = 1, y = 0 $ pisteen, ja yllä oleva pätee. Joten missä tahansa hiukkanen onkin, asetamme kyseisen pisteen yksinkertaisesti $ x = r, y = 0 $ -pisteeksi, ja kaikki muu putoaa paikoilleen.
Jos haluaisimme tehdä enemmän työtä itsellemme, voimme selvittää yksityiskohdat trigonometrisesti käyttämällä yllä olevia kaavoja, säätämällä niitä $ y $ -akselille ja yhdistämällä sitten $ x $ ja $ y $ arvot käyttämällä vektorialgebraa. Mutta meidän ei tarvitse – symmetria-argumentti on tässä tapauksessa tehokkaampi.
1. Tässä ”suurin” tarkoittaa todella ”kaikkein negatiivisinta”, koska hiukkanen liikkuu negatiivisena. Suunta $ x $. Nämä arvot ovat todella $ -F_ \ text {max} $ ja $ -v_ \ text {max} $. Myöhemmin, kun hiukkanen liikkuu vastakkaiseen suuntaan, nämä arvot ovat positiivisia.
2. Merkkien ymmärtäminen vie paljon hienovaraisia yksityiskohtia; erityisesti on ymmärrettävä, miksi negatiivisesta työstä tulee positiivista potentiaalista energiaa. Se auttaa myös ajattelemaan $ r $ vektorina (jolla on suunta) suuruuden sijasta (joka ei ”t”). Onneksi fyysinen intuitio tarjoaa luotettavan oppaan tässä tapauksessa; jos jokin osoittautuu selvästi väärin, tarkista ajattelusi.
Vastaa
Voit siirtyä kovera polku, agentin on annettava voimaa muuten lineaarisesti liikkuvalle esineelle. Kohde liikkuu tai liikkuu ulkoisen voiman puuttuessa aina tai pyrkii kulkemaan nopeusvektorin suuntaan kyseisellä hetkellä.
Joten, kun kohteen on mentävä poikittain käyrän liikerata, tärkein edellytys on sellaisen voiman käyttöönotto, joka manipuloi nopeuden suuntaa siten, että tuloksena oleva lokus on vaadittu kaareva polku, muuten esine kulkisi suoraan.
Voiman suunta on ilmeisesti kiihtyvyyden suunta tai nopeuden muutosraja ajan suhteen. Joten suunnan löytämiseksi ajatelkaamme ääretöntä tilannetta.
Anna lyhyen ajan $ \ Delta t $, kuljettu matka on $ v (t) \ Delta t $ ympyränkaari, jonka säde on $ r $. Poikittaiskulma on silloin $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$.
Kuvittele Harkitse nyt nopeuden muutoksia, jotka ovat suuntaisesti & kohtisuorassa tähän puolittimeen nähden. Aluksi nopeudella on komponentti $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ pois keskustasta & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ poikittain. Sen jälkeen sillä on komponentti $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ kohti keskustaa & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ poikittain kuten aiemmin. Siten nopeuden muutos on suuruusluokkaa $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ kohti kaaren keskellä.
Kun $ \ Delta \ theta $ on häviävän pieni, $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ tulee sisään erotettavissa nimellä $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $. Siten voimme laittaa $$ | \ Delta v (t) | = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. Ja suunta on kohti keskustaa. Siten voima kiertää asemavektoria kaarevaa liikerataa pitkin ja muutos on säteittäisesti sisäänpäin riippumatta siitä, seurataanko sitä myötä- tai vastapäivään.
Kuva elävöittää, jos laskemme polaarikoordinaattien avulla.
Ensin kirjoitetaan sijaintivektori muodossa $ \ mathbf {r} = r \ cdot \ mathbf e_r $. Harkitse nyt $ \ mathbf {r} $: n muutosta ajan myötä. Sen muutos $ \ Delta t $ aikana on $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $. $ e_r \, \ textrm {ja} \, e _ {\ theta} $ ovat keskenään kohtisuorassa, joista ensimmäinen on radiaalisesti ulospäin keskustasta. Siksi nopeus on $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
Laittamalla $ r = 1 $ saadaan $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \;. $ $
Vastaavasti $ \ theta $ muutos tarkoittaa $ \ mathbf e _ {\ theta} $ muutosta. Voidaan nähdä, että $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – \ omega \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Nyt erotellaan nopeus, $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – {\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Tämä tulos putoaa automaattisesti oikealla suunnalla, joka on päinvastainen kuin $ \ mathbf e_r $ eli kohti keskellä säteen suuntaisesti.
Vastaa