Een eenvoudige afleiding van de middelpuntzoekende versnellingsformule?
Geplaatst op januari 31, 2021 door adminKan iemand me een eenvoudige en intuïtieve afleiding laten zien van de middelpuntzoekende versnellingsformule $ a = v ^ 2 / r $, bij voorkeur een zonder calculus of geavanceerde trigonometrie?
Antwoord
Stel je voor dat een object gestaag door een cirkel met een straal $ r $ loopt, gecentreerd op de oorsprong. Zijn positie kan worden weergegeven door een vector van constante lengte die van hoek verandert. De totale afstand die in één cyclus wordt afgelegd is $ 2 \ pi r $. Dit is ook het totale aantal waarmee de positie is veranderd.
Beschouw nu de snelheidsvector van dit object: het kan ook worden weergegeven door een vector van constante lengte die gestaag van richting verandert. Deze vector heeft lengte $ v $, dus de geaccumuleerde verandering in snelheid is $ 2 \ pi v $.
De grootte van de versnelling is dan $ \ frac {\ text {verandering in snelheid}} {\ text {verstreken tijd}} $, die we kunnen schrijven als: $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left (\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \,. $$
QED
Terzijde: die afleiding wordt in veel op algebra / trig-gebaseerde leerboeken gebruikt.
Opmerkingen
- Merk op dat na een volledige draai de wijziging in positie is ook nul. Waar we hier in geïnteresseerd zijn, is eigenlijk de gemiddelde waarde van de momentane versnelling, maar om het te krijgen is calculus nodig (of in ieder geval de machine van limieten), die het OP niet ‘ wil. Dus in plaats daarvan beschouwen we niet verplaatsing maar afstand en ook het equivalent van afstand voor snelheid (wat geen ‘ t een conventionele naam heeft) in plaats van $ \ vec {v} _f – \ vec { v} _i $. Dit geeft de middelpuntzoekende versnelling voor alle curven (wetende $ r $ en $ v $), maar we moeten de ” transversale ” versnelling toevoegen met de hand.
- Dit is een geweldige verklaring, maar zou iemand kunnen uitleggen waarom de geaccumuleerde verandering in snelheid 2 * pi * v is?
- @Conceptuality Dus, door de snelheid van het deeltje aan te nemen is constant, toch? Maar als het rond de cirkel gaat, verandert zijn bewegingsrichting. Dat betekent dat de snelheidsvector dezelfde lengte behoudt maar door een hele cirkel draait. De punt van de snelheidsvector beschrijft een cirkel met straal $ v $, dus de afstand die de punt bewoog was $ 2 \ pi v $.
- @dmckee, in de vergelijkbare driehoeksmeting is de verandering van snelheid gewoon de afstand tussen de toppen van twee snelheidsvectoren trekt staart aan staart. Maar zou ” delta v ” gewoon nul zijn, aangezien magnitude constant is? ——— hoe bedoel je eigenlijk zeker dat de verandering in richting hoe dan ook in graden?
- @ theenigma017 Hoeken zijn formeel dimensieloos (dit is de reden waarom hoeksnelheid en hoekfrequentie dezelfde maat zijn in SI). Daarom is $ 2 \ pi r $ een afstand en niet een andere hoeveelheid, wat betekent dat $ 2 \ pi v $ een snelheid is. De eerste drie opmerkingen kunnen helpen, of je kunt dit zien als een vergelijking tussen afstand en snelheid.
Antwoord
In rechthoekige driehoek ABC \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {equation} If \ begin {equation} \ theta \ tag {02} \ end {equation} is klein \ begin {equation} v (t) \ approx v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { equation} \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {equation} Voor kleine hoek \ begin {equation} \ delta \ theta \ approx Sin {\ delta \ theta} \ tag {04} \ end {equation} Dus over het herschikken van \ begin {equation} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ times \ vec v \ tag {05} \ end {equation} \ begin {equation } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ times \ vec v \ tag {06} \ end {equation} \ begin {equation } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ times \ vec v \ tag {07} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {08} \ end {equation}
\ begin {equation} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ times \ vec v \ tag {10} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {equation} En sinds \ begin {vergelijking} \ mathbf {v} = \ omega \ times r \ tag {12} \ end {equation} Dus \ begin {equation} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {equation}
Reacties
- Met een kleine hoeklimiet is dit natuurlijk de juiste afleiding. Maar misschien wilt u expliciet zijn dat $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $ is correct in die limiet. Ik heb wisselend succes in de klas met deze afleiding (en ook met degene die ik gebruikte).
- Waarom is $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (vector) = een hoek * snelheid? wat is de intuïtie? ook gebruikt in bovenstaand antwoord
- @Allawonder heb je het opgelost? Ik zit vast aan dezelfde vraag.
Antwoord
Je kunt deze afleiding doen door de positie van de in een baan rond deeltje in componenten. Het is niet kort, maar ik denk dat het nuttig is omdat het de algebra aanvult met concrete fysieke analogieën. Ik “zal het in vier delen organiseren: decompositie , oscillatie , energie , en symmetry .
Decompositie
De positie van een deeltje dat langs een cirkelvormig pad beweegt, kan worden beschreven door twee half-uit- fasegolven – of equivalent, een sinusgolf en een cosinusgolf:
( via )
Dit is gemakkelijk af te leiden: stel het deeltje beweegt met een constante hoeksnelheid $ \ omega $ rond een cirkel met straal $ r $. Dan $ \ theta = \ omega t $, en basis trigonometrie vertelt ons dat de positie van het deeltje gegeven $ \ theta $ wordt gegeven door $ x = r \ cos \ theta $ en $ y = r \ sin \ theta $. We kunnen subst ituteer om $ x = r \ cos (\ omega t) $ en $ y = r \ sin (\ omega t) $ te krijgen.
Oscillatie
Het blijkt dat er “een ander soort beweging” is dat wordt beschreven door sinusgolven: de oscillatie van een gewicht op een veer . In een dergelijk systeem,
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
waar $ A $ is de amplitude (dwz het verschil tussen de maximale lengte van de veer en zijn rustlengte), $ k $ is de krachtconstante van de veer, volgens de wet van Hooke, en $ m $ is natuurlijk de massa. deze vergelijking vereist op de gebruikelijke manier niet alleen calculus, maar ook differentiaalvergelijkingen – dus ik ga je vragen mijn woord ervoor te geloven tot een tijdje later.
Voor onze doeleinden betekent dit dat de mechanica van het ronddraaiende deeltje kan worden gesimuleerd door twee oscillerende veren: een voor de $ x $ -component en een voor de $ y $ -component die identiek is aan de eerste, maar daarmee half uit fase.Om een beeld te krijgen van hoe dit eruit ziet, kijk je terug naar de animatie hierboven en doe je alsof de blauwe stip en de rode stip zijn vastgemaakt aan veren die in rust op $ 0 $ staan.
Nu we dit op veren gebaseerde model hebben, kunnen we het gebruiken om de kracht te bepalen die wordt uitgeoefend op het deeltje langs de $ x $ -as! Volgens de wet van Hooke is de kracht die een veer uitoefent op een bevestigd gewicht $ F = -kx $. Laten we proberen die formule te gebruiken om de versnelling van het deeltje wanneer de $ x $ veer zijn maximale lengte heeft bereikt. We weten dat de maximale lengte in dit geval $ r $ zal zijn – dit komt overeen met het moment waarop het deeltje op $ x = r, y = 0 $ staat. En we weten dat $ F = ma $. Dus door vervanging, $ ma = -kr $; deel door $ m $, en
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
Ons werk is half af. Maar nu hebben we een nieuw probleem: we weten niet wat $ k $ is – er is tenslotte geen echte lente, dus we kunnen niets meten. We moeten weten welke waarde van $ k $ een veer is zal hebben als het op dezelfde manier beweegt als het deeltje langs de $ x $ -as. Om dit probleem op te lossen, moeten we gaan nadenken over behoudswetten.
Energie
Let ” s denken na over wat er gebeurt als de $ x $ veer oscilleert. Als de veer op $ x = r $ staat, oefent hij de grootste kracht uit op het deeltje, maar het deeltje beweegt helemaal niet. Dit is precies op de top van de golf. Dat betekent $ v = 0 $. Van daaruit punt, zal de kracht die de veer uitoefent op het deeltje het versnellen van $ 0 $ tot zijn grootste snelheid $ -v_ \ text {max} $. 1 En tegen de tijd dat het deeltje $ x = 0 bereikt $, de veer oefent geen kracht uit. Dat is de rusttoestand van de veer. Aangezien de veer geen kracht uitoefent, hebben we $ -v_ \ text {max} $ bereikt – de richting van de toekomstige versnelling is in de tegenovergestelde richting, waarbij het deeltje wordt vertraagd totdat het $ x = -r $ bereikt.
Dus dit betekent dat we bij $ x = r $ $ F = -F_ \ text {max} $ hebben , $ a = -a_ \ text {max} $, en $ v = 0 $. En bij $ x = 0 $ hebben we $ F = 0 $, $ a = 0 $ en $ v = -v_ \ text {max} $.
Hier is wat er gebeurt: de energie in het systeem beweegt heen en weer tussen maximale kinetische energie (bij $ x = 0 $ als de veer helemaal niet is uitgerekt of samengedrukt) en maximale potentiële energie (bij $ x = r $, als de veer volledig is gestrekt ). En vanwege behoud van energie moeten deze twee maxima gelijk zijn; met andere woorden, $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $.
De formule voor kinetische energie is $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ – dat is de fundamentele Newtoniaanse mechanica. Wat is in dit geval de formule voor $ P $? Dit is het moeilijkste deel van de afleiding. De potentiële energie die in de lente wordt opgeslagen, is gelijk aan de hoeveelheid negatief werk die is gedaan om deze uit te rekken tot $ x = r $. We moeten dus de formule voor werk onthouden: $ W = Fd $, waar $ d $ staat voor afgelegde afstand – d.w.z. $ x $, ervan uitgaande dat we beginnen bij $ x = 0 $. Maar dan hebben we een probleem. $ F = -kx $ is niet constant – het is een functie van $ x $.
In het algemeen zou dit betekenen dat we calculus moeten doen. Maar gelukkig genoeg is $ F = -kx $ een lineaire functie, en dus is de gewenste waarde gelijk aan de oppervlakte van de driehoek gevormd door de $ x $ -as en de lijn $ F = -kx $:
( via )
In de bovenstaande grafiek $ k = 1 $, de afgelegde afstand $ d = x_ \ text {max} = 1 $, en het gebied van de gegeven driehoek vertegenwoordigt de waarde die u krijgt als u $ F (x) $ vermenigvuldigt met de afgelegde afstand, waarbij wordt gecorrigeerd voor veranderingen in de waarde van $ F $ naarmate de afstand toeneemt. Maar aangezien de hoogte van de driehoek $ -kx_ is \ text {max} $ en de basis van de driehoek is $ x_ \ text {max} $, we kunnen gewoon oude geometrie gebruiken. De oppervlakte van een driehoek is $ \ rm \ frac {1} {2} base \ times hoogte $ – of, hier, omdat $ x_ \ text {max} = r $
$$ W = – \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
En aangezien krachtig ial energy is gelijk aan negatief werk :
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Is het niet interessant hoe vergelijkbaar dat is met $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $? Als je daar een tijdje over nadenkt en bedenkt dat $ E + P $ een constante waarde moet zijn, zou je kunnen gaan beseffen waarom een oscillerende veer een sinusvormig pad volgt! (Hint: schrijf de formule voor een cirkel, maar gebruik $ \ sqrt {E + P} $ in plaats van $ r $, en $ v $ in plaats van $ y $.)
Maar je kunt terugkomen naar dat later. We zijn heel dichtbij! Instellen $ v = v_ \ text {max} $:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
Wat gebeurt er als we $ k $ oplossen?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ impliceert kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ impliceert k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
Nu kunnen we dat vervangen in onze formule voor versnelling hierboven:
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
Je vraagt je misschien af waarom het minteken in deze versie voorkomt. Maar vergeet niet dat de versnelling technisch in de tegenovergestelde richting van de verplaatsing is. Dus als $ x = r, y = 0 $, is de versnelling in de richting van $ -r $. Als het anders was, zou het deeltje naar buiten versnellen! 2
Symmetrie
De laatste stap van deze afleiding vereist een truc. We begonnen met het breken van beweging in twee dimensies in beweging langs twee eendimensionale componenten. We gebruikten toen denkbeeldige veren om de beweging van het deeltje langs deze twee componenten te beschrijven. En nu staan we voor een laatste vraag: hoe kiezen we onze $ x $ en $ y $ componenten?
Ze moeten haaks op elkaar staan, maar dat is slechts de helft van de strijd – we moeten de “juiste plaats” vinden om te beginnen, de “echte” $ x $ coördinaat. Het probleem is dat we kunnen “t. Het cirkelvormige pad waarlangs het deeltje beweegt, is rotatiesymmetrisch. Er is niets aan de cirkel om ons te vertellen waar het” begint “of” eindigt “.
Dit betekent dat de bovenstaande redenering geldt, ongeacht waar we beginnen. We kunnen elk punt op de cirkel kiezen als $ x = 1, y = 0 $ punt, en het bovenstaande is geldig. Dus waar het deeltje ook is, we stellen dat punt eenvoudig in als ons $ x = r, y = 0 $ punt, en al het andere valt op zijn plaats.
Als we meer werk voor onszelf wilden maken, zouden we de details trigonometrisch kunnen uitwerken door de bovenstaande formules te gebruiken, ze aan te passen voor de $ y $ -as en vervolgens de $ x $ en $ y $ opnieuw te combineren. waarden met behulp van vectoralgebra. Maar dat hoeven we niet – het symmetrie-argument is in dit geval krachtiger.
1. Hier betekent grootste echt meest negatieve, omdat het deeltje in het negatief beweegt $ x $ direction. Deze waarden zullen in werkelijkheid $ -F_ \ text {max} $ en $ -v_ \ text {max} $ zijn. Later, wanneer het deeltje in de tegenovergestelde richting beweegt, zullen deze waarden positief zijn.
2. Het begrijpen van de tekens vergt veel subtiel detailwerk; je moet vooral begrijpen waarom negatief werk positieve potentiële energie wordt. Het helpt ook om na te denken over $ r $ als een vector (die een richting heeft) in plaats van een magnitude (die niet “t). Gelukkig biedt fysieke intuïtie in dit geval een betrouwbare gids; als er iets duidelijk fout blijkt te zijn, controleer dan nogmaals uw manier van denken.
Antwoord
Om door een concaaf pad, een agent moet kracht uitoefenen op een anderszins lineair bewegend object. Het object beweegt, door zijn beweging, bij afwezigheid van enige externe kracht, altijd in de richting van de snelheidsvector op het betreffende moment.
Dus wanneer het object moet transverseren een curve-traject, is de belangrijkste vereiste de introductie van een kracht die de snelheidsrichting manipuleert zodat de resulterende meetkundige plaats het vereiste kromlijnige pad is, anders zou het object recht reizen.
De richting van de kracht is duidelijk de richting van de versnelling of de limiet van verandering van snelheid met betrekking tot de tijd. Laten we dus, om de richting te vinden, denken aan een oneindig kleine situatie.
Stel voor een korte tijd $ \ Delta t $, de afgelegde afstand is $ v (t) \ Delta t $ langs een cirkelvormige boog met straal $ r $. De transversale hoek is dan $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$.
Stel je de middelloodlijn van de hoek. Beschouw nu de veranderingen in snelheid parallel & loodrecht op deze middelloodlijn. Aanvankelijk heeft de snelheid een component $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ weg van het midden & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ transversaal. Daarna heeft het een component $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ naar het centrum & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ transversaal als voorheen. De snelheidsverandering is dus van grootte $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ naar de midden van de boog.
Omdat $ \ Delta \ theta $ verdwijnend klein is, wordt $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ in te onderscheiden als $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $. We kunnen dus $$ | \ Delta v (t) | plaatsen = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. En de richting is naar het centrum. De kracht roteert dus de positievector langs het gekromde traject en de verandering is radiaal naar binnen, ongeacht of deze met de klok mee of tegen de klok in wordt gevolgd.
Het beeld wordt levendiger als we berekenen met behulp van poolcoördinaten.
Eerst schrijven we de positievector als $ \ mathbf {r} = r \ cdot \ mathbf e_r $. Beschouw nu de verandering van $ \ mathbf {r} $ met de tijd. De verandering tijdens $ \ Delta t $ is $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $. $ e_r \, \ textrm {en} \, e _ {\ theta} $ staan onderling loodrecht, de eerste is radiaal naar buiten vanuit het centrum. Snelheid is dus $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
Door $ r = 1 $ in te voeren, krijgen we $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \;. $
Evenzo impliceert een wijziging van $ \ theta $ een wijziging van $ \ mathbf e _ {\ theta} $. Het is duidelijk dat $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – \ omega \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Nu differentiëren we de snelheid, $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – {\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Dit resultaat valt automatisch naar beneden met de juiste richting die tegengesteld is aan $ \ mathbf e_r $ ie richting het midden radiaal.
Geef een reactie