Uma derivação simples da fórmula de aceleração centrípeta?
On Janeiro 31, 2021 by adminAlguém poderia me mostrar uma derivação simples e intuitiva da fórmula de aceleração centrípeta $ a = v ^ 2 / r $, de preferência uma que não envolva cálculo ou trigonometria avançada?
Resposta
Imagine um objeto percorrendo continuamente um círculo de raio $ r $ centrado na origem. Sua posição pode ser representada por um vetor de comprimento constante que muda de ângulo. A distância total percorrida em um ciclo é $ 2 \ pi r $. Este é também o valor acumulado pelo qual a posição mudou.
Agora, considere o vetor velocidade deste objeto: ele também pode ser representado por um vetor de comprimento constante que muda de direção constantemente. Este vetor tem comprimento $ v $, então a mudança acumulada na velocidade é $ 2 \ pi v $.
A magnitude da aceleração é $ \ frac {\ text {mudança na velocidade}} {\ text {tempo decorrido}} $, que podemos escrever como: $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left (\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \,. $$
QED
À parte: essa derivação é usada em muitos livros baseados em álgebra / trigonometria.
Comentários
- Observe que após uma volta completa a mudança na posição também é zero. O que nos interessa aqui é realmente o valor médio da aceleração instantânea, mas para obtê-lo requer cálculo (ou pelo menos a maquinaria de limites), que o OP não ‘ deseja. Portanto, em vez disso, consideramos não o deslocamento, mas a distância e também o equivalente à distância para velocidade (que não ‘ t tem um nome convencional) em vez de $ \ vec {v} _f – \ vec { v} _i $. Isso dá a aceleração centrípeta para todas as curvas (sabendo $ r $ e $ v $), mas devemos adicionar a aceleração ” transversal ” à mão.
- Esta é uma ótima explicação, mas alguém poderia explicar por que a mudança acumulada na velocidade é 2 * pi * v?
- @Conceptualidade Então, supondo que a velocidade da partícula é constante, certo? Mas, à medida que dá a volta no círculo, sua direção de movimento muda. Isso significa que o vetor velocidade mantém o mesmo comprimento, mas gira em torno de um círculo inteiro. A ponta do vetor velocidade descreve um círculo de raio $ v $, então a distância que a ponta se moveu foi $ 2 \ pi v $.
- @dmckee, na prova de triângulo semelhante, a mudança de velocidade é simplesmente a distância entre as pontas de dois vetores de velocidade traçada cauda a cauda. Mas ” delta v ” seria simplesmente zero, já que a magnitude é constante? ——— como você realmente quer dizer certeza da mudança na direção de qualquer maneira em grau?
- @ theenigma017 Ângulos são formalmente adimensionais (é por isso que a velocidade angular e a frequência angular são a mesma medida em SI). É por isso que $ 2 \ pi r $ é uma distância e não alguma outra quantidade, o que significa que $ 2 \ pi v $ é uma velocidade. Os primeiros três comentários podem ajudar, ou você pode apenas pensar nisso como uma comparação de distância e velocidade.
Resposta
No triângulo retângulo ABC \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {equation} If \ begin {equation} \ theta \ tag {02} \ end {equation} é pequeno \ begin {equation} v (t) \ approx v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { equação} \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {equation} para ângulo pequeno \ begin {equation} \ delta \ theta \ approx Sin {\ delta \ theta} \ tag {04} \ end {equation} Então, reorganizando \ begin {equation} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ times \ vec v \ tag {05} \ end {equation} \ begin {equation } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ times \ vec v \ tag {06} \ end {equação} \ begin {equação } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ times \ vec v \ tag {07} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {08} \ end {equation}
\ begin {equation} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ times \ vec v \ tag {10} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {equation} e desde \ begin {equation} \ mathbf {v} = \ omega \ times r \ tag {12} \ end {equation} Então \ begin {equation} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {equation}
Comentários
- Com um limite de ângulo pequeno, isso é , é claro, a derivação correta. Mas você pode querer deixar claro que $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $ está correto nesse limite. Obtive sucesso em sala de aula com esta derivação (e com a que usei também).
- Por que $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (vetor) = um ângulo * velocidade? qual é a intuição? também usado na resposta acima
- @Allawonder você entendeu? Estou preso na mesma pergunta.
Resposta
Você pode fazer esta derivação quebrando a posição do partícula orbitando para baixo em componentes. Não é curto, mas acho que é útil porque complementa a álgebra com analogias físicas concretas. Vou organizá-lo em quatro partes: decomposição , oscilação , energia e simetria .
Decomposição
A posição de uma partícula movendo-se ao longo de um caminho circular pode ser descrita por duas metades de ondas senoidais de fase – ou equivalentemente, uma onda senoidal e uma onda cosseno:
( via )
Isso é fácil de derivar: suponha a partícula está se movendo a uma velocidade angular constante $ \ omega $ em torno de um círculo de raio $ r $. Então $ \ theta = \ omega t $, e a trigonometria básica nos diz que a posição da partícula dada $ \ theta $ é dada por $ x = r \ cos \ theta $ e $ y = r \ sin \ theta $. Podemos subst itute para obter $ x = r \ cos (\ omega t) $ e $ y = r \ sin (\ omega t) $.
Oscilação
Acontece que existe outro tipo de movimento que é descrito por ondas seno: a oscilação de um peso em uma mola . Em tal sistema,
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
onde $ A $ é a amplitude (isto é, a diferença entre o comprimento máximo da mola e seu comprimento de repouso), $ k $ é a constante de força da mola, da lei de Hooke, e $ m $ é, obviamente, a massa. Derivando esta equação da maneira usual requer não apenas cálculo, mas também equações diferenciais – então, vou pedir que você aceite minha palavra até um pouco mais tarde.
Para nossos propósitos, isso significa que a mecânica da partícula orbital pode ser simulada por duas molas oscilantes: uma para o componente $ x $ e outra para o componente $ y $ que é idêntico ao primeiro, mas que está meio fora de fase com ele.Para ver a aparência disso, olhe novamente para a animação acima e imagine que o ponto azul e o ponto vermelho estão presos a molas que estão a $ 0 $ em repouso.
Agora que temos este modelo baseado em mola, podemos usá-lo para determinar a força aplicada à partícula ao longo do eixo $ x $! Pela lei de Hooke , a força que uma mola exerce sobre um peso anexado é $ F = -kx $. Vamos tentar usar essa fórmula para determinar o aceleração da partícula quando a mola $ x $ está em seu comprimento máximo. Sabemos que seu comprimento máximo será $ r $ neste caso – isso corresponde ao momento em que a partícula está em $ x = r, y = 0 $. E sabemos que $ F = ma $. Portanto, por substituição, $ ma = -kr $; divida por $ m $ e
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
Nosso trabalho está pela metade. Mas agora temos um novo problema: não sabemos o que é $ k $ – afinal, não há nenhuma mola real, então não podemos medir nada. Precisamos saber o valor de $ k $ por mola terá se se mover da mesma maneira que a partícula se move ao longo do eixo $ x $. Para resolver este problema, temos que começar a pensar sobre as leis de conservação.
Energia
Vamos ” Pense no que acontece quando a mola $ x $ oscila. Quando a mola está em $ x = r $, ela exerce a maior força sobre a partícula, mas a partícula não está se movendo. Isso está bem no pico da onda. Isso significa $ v = 0 $. Disso ponto, a força que a mola aplica à partícula irá acelerá-la de $ 0 $ até sua maior velocidade $ -v_ \ text {max} $. 1 E quando a partícula atingir $ x = 0 $, a mola não aplicará força; esse é o estado de repouso da mola. Como a mola não está aplicando força, alcançamos $ -v_ \ text {max} $ – a direção da aceleração futura será na direção oposta, diminuindo a velocidade da partícula até atingir $ x = -r $.
Isso significa que em $ x = r $, temos $ F = -F_ \ text {max} $ , $ a = -a_ \ text {max} $ e $ v = 0 $. E em $ x = 0 $, temos $ F = 0 $, $ a = 0 $ e $ v = -v_ \ text {max} $.
Aqui está o que está acontecendo: a energia no sistema está se movendo para frente e para trás entre a energia cinética máxima (em $ x = 0 $ quando a mola não está esticada ou comprimida) e a energia potencial máxima (em $ x = r $, quando a mola está totalmente esticada ) E por causa da conservação de energia, esses dois máximos devem ser iguais; em outras palavras, $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $.
A fórmula para a energia cinética é $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ – essa é a mecânica newtoniana básica. Qual é a fórmula para $ P $ neste caso? Esta é a parte mais difícil da derivação. A energia potencial armazenada na primavera é igual à quantidade de trabalho negativo feito para esticá-la para $ x = r $. Portanto, temos que lembrar a fórmula do trabalho: $ W = Fd $, onde $ d $ representa a distância percorrida – ou seja, $ x $, assumindo que comecemos em $ x = 0 $. Mas então temos um problema. $ F = -kx $ não é constante – é uma função de $ x $.
Em geral, isso significa que temos que fazer cálculos. Mas, felizmente, $ F = -kx $ é uma função linear e, portanto, o valor que queremos é igual à área do triângulo formado pelo eixo $ x $ e a linha $ F = -kx $:
( via )
No gráfico acima, $ k = 1 $, a distância percorrida $ d = x_ \ text {max} = 1 $, e a área do triângulo dado representa o valor que você obtém ao multiplicar $ F (x) $ pela distância percorrida, ajustando as mudanças no valor de $ F $ conforme a distância aumenta. Mas como a altura do triângulo é $ -kx_ \ text {max} $ e a base do triângulo é $ x_ \ text {max} $, podemos apenas usar a geometria simples e antiga. A área de um triângulo é $ \ rm \ frac {1} {2} base \ times altura $ – ou, aqui, porque $ x_ \ text {max} = r $
$$ W = – \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
E desde potente A energia ial é igual a trabalho negativo :
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Não é interessante como isso é semelhante a $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $? Se você pensar um pouco sobre isso e considerar que $ E + P $ tem que ser um valor constante, você pode começar a perceber por que uma mola oscilante segue um caminho sinusoidal! (Dica: escreva a fórmula para um círculo, mas use $ \ sqrt {E + P} $ em vez de $ r $ e $ v $ em vez de $ y $.)
Mas você pode voltar para isso mais tarde. Estamos muito perto! Configurando $ v = v_ \ text {max} $:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
O que acontece quando resolvemos $ k $?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ implica kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ implica k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
Agora podemos substituir isso em nossa fórmula para aceleração acima:
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
Você pode estar se perguntando por que o sinal negativo aparece nesta versão. Mas lembre-se de que a aceleração está tecnicamente na direção oposta do deslocamento. Portanto, quando $ x = r, y = 0 $, a aceleração está na direção de $ -r $. Caso contrário, a partícula estaria acelerando para fora! 2
Simetria
A última etapa desta derivação requer um truque. Começamos quebrando o movimento em duas dimensões em movimento ao longo de dois componentes unidimensionais. Em seguida, usamos molas imaginárias para descrever o movimento da partícula ao longo desses dois componentes. E agora, nos deparamos com uma questão final: como escolhemos nossos componentes $ x $ e $ y $?
Eles precisam estar em ângulos retos um com o outro, mas isso é apenas metade da batalha – temos que encontrar o “lugar certo” para começar, a coordenada $ x $ “real”. O problema é que não podemos “t. O caminho circular ao longo do qual a partícula se move é rotacionalmente simétrico. Não há nada sobre o círculo que nos diga onde ele” começa “ou” termina “.
Isso significa que a linha de raciocínio acima se mantém, não importa por onde comecemos. Podemos escolher qualquer ponto do círculo como $ x = 1, y = 0 $ ponto, e o acima será válido. Então, onde quer que a partícula esteja, simplesmente definimos esse ponto como nosso $ x = r, y = 0 $ ponto, e todo o resto se ajusta.
Se quiséssemos trabalhar mais para nós mesmos, poderíamos trabalhar os detalhes trigonométricamente, usando as fórmulas acima, ajustando-as para o eixo $ y $ e, em seguida, recombinando os $ x $ e $ y $ valores usando álgebra vetorial. Mas não precisamos – o argumento da simetria é mais poderoso neste caso.
1. Aqui “maior” realmente significa “mais negativo”, porque a partícula está se movendo no negativo $ x $ direction. Esses valores serão realmente $ -F_ \ text {max} $ e $ -v_ \ text {max} $. Posteriormente, quando a partícula estiver se movendo na direção oposta, esses valores serão positivos.
2. Compreender os sinais exige muito trabalho de detalhes sutis; em particular, você deve entender por que o trabalho negativo se torna energia potencial positiva. Também ajuda a pensar sobre $ r $ como um vetor (que tem uma direção) em vez de uma magnitude (que não tem). Felizmente, a intuição física fornece um guia confiável neste caso; se algo sair obviamente errado, verifique novamente o seu pensamento.
Resposta
Para avançar através de um caminho côncavo, um agente tem que transmitir força a um objeto que se move linearmente. O objeto, em virtude de seu movimento, na ausência de qualquer força externa, sempre se desloca ou tende a se deslocar na direção do vetor velocidade no instante em questão.
Portanto, quando o objeto tem que ser transversal uma trajetória de curva, o principal requisito é a introdução de uma força que manipula a direção da velocidade de modo que o lugar geométrico resultante seja o caminho curvilíneo necessário, caso contrário, o objeto se moveria em linha reta.
A direção da força é evidentemente a direção da aceleração ou o limite de mudança da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a direção, vamos pensar em uma situação infinitesimal.
Vamos por um curto período de tempo $ \ Delta t $, a distância percorrida é $ v (t) \ Delta t $ ao longo um arco circular de raio $ r $. O ângulo transversal é então $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$.
Imagine a bissetriz do ângulo. Agora, considere as mudanças na velocidade paralela & perpendicular a esta bissetriz. Inicialmente, a velocidade tem um componente $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ longe do centro & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ transversalmente. Posteriormente, tem um componente $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ em direção a o centro & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ transversalmente como antes. Assim, a mudança de velocidade é de magnitude $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ em direção ao centro do arco.
Como $ \ Delta \ theta $ é muito pequeno, $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ torna-se em distinguível como $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $. Assim, podemos colocar $$ | \ Delta v (t) | = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. E a direção é para o centro. Assim, a força está girando o vetor de posição ao longo da trajetória curva e a mudança é radialmente para dentro, independentemente de ser traçada no sentido horário ou anti-horário.
A imagem se torna mais vívida se calcularmos usando as coordenadas polares.
Primeiro, escrevemos o vetor de posição como $ \ mathbf {r} = r \ cdot \ mathbf e_r $. Agora considere a mudança de $ \ mathbf {r} $ com o tempo. Sua mudança durante $ \ Delta t $ é $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $. $ e_r \, \ textrm {and} \, e _ {\ theta} $ são mutuamente perpendiculares, sendo o primeiro radialmente para fora do centro. Portanto, a velocidade é $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
Ao colocar $ r = 1 $, obtemos $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \; $ $
Da mesma forma, uma mudança de $ \ theta $ implica uma mudança de $ \ mathbf e _ {\ theta} $. Pode-se ver que $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – \ omega \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Agora diferenciamos a velocidade, $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – {\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Este resultado cai automaticamente com a direção correta que é oposta a $ \ mathbf e_r $ ie em direção o centro radialmente.
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