求心加速度式の単純な導出?
On 1月 31, 2021 by admin求心加速度式$ a = v ^ 2 / r $の単純で直感的な導出、できれば微積分を含まないもの、または高度な三角法?
回答
原点を中心とする半径$ r $の円を着実に横断するオブジェクトを想像してみてください。その位置は、角度が変化する一定の長さのベクトルで表すことができます。1サイクルでカバーされる合計距離は$ 2 \ pi r $です。これは、位置が変化した累積量でもあります。
次に、このオブジェクトの速度ベクトルについて考えます。これは、方向を着実に変化させる一定の長さのベクトルで表すこともできます。このベクトルの長さは$ v $であるため、速度の累積変化は$ 2 \ pi v $です。
加速の大きさは、$ \ frac {\ text {速度の変化}} {\ text {経過時間}} $であり、次のように書くことができます。$$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left(\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \、。$$
QED
余談ですが、その派生は多くの代数/トリガーベースの教科書で使用されています。
コメント
- 1回転すると変更されることに注意してください。位置もゼロです。ここで関心があるのは、実際には瞬間加速度の平均値ですが、それを取得するには、計算(または少なくとも制限)、OPは’必要ありません。したがって、代わりに、$ \ vec {v} _f- \ vec {ではなく、変位ではなく距離と、速度の距離に相当するもの(’ tには従来の名前はありません)を考慮します。 v} _i $。これにより、すべての曲線($ r $と$ v $を知っている)の求心加速度が得られますが、”横方向”の加速度を追加する必要があります。手作業で。
- これはすばらしい説明ですが、速度の累積変化が2 * pi * vである理由を誰かが説明できますか?
- @Conceptualityつまり、粒子の速度を仮定すると一定ですよね?しかし、それが円を一周すると、その動きの方向が変わります。つまり、速度ベクトルは同じ長さを保ちますが、円全体を回転します。速度ベクトルの先端は半径$ v $の円を表すため、先端が移動した距離は$ 2 \ pi v $でした。
- @dmckee、同様の三角形の証明では、速度の変化は次のようになります。単に2つの速度ベクトルの先端間の距離がテールツーテールを描きます。しかし、” delta v “は、大きさが一定であるため、単にゼロになるでしょうか?———どういう意味ですか?とにかく度の方向の変化を確認しますか?
- @ theenigma017角度は形式的に無次元です(これが角速度と角周波数がSIで同じ尺度である理由です)。これが、$ 2 \ pi r $が距離であり、他の量ではない理由です。つまり、$ 2 \ pi v $は速度です。最初の3つのコメントが役立つ場合があります。または、これを距離と速度の比較と考えることもできます。
回答
直角三角形ABC \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {equation} If \ begin {equation} \ theta \ tag {02} \ end {equation} は小さい
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {08} \ end {equation}
\ begin {equation} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ times \ vec v \ tag {10} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {equation} そして
コメント
- 角度制限が小さい場合、これはもちろん、正しい派生。ただし、$ | \ Delta \ mathbf {v} |であることを明示したい場合があります。 = v | \ Delta \ phi | $はその制限で正しいです。私は教室での成功とこの派生(そして私が使用した派生)を組み合わせました。
- $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $なのはなぜですか?
- V(ベクトル)=角度*速度?直感とは何ですか?上記の回答でも使用されています
- @Allawonderうまくいきましたか?私は同じ質問で立ち往生しています。
回答
この導出は、粒子をコンポーネントに周回させます。短くはありませんが、代数を具体的な物理的アナロジーで補足するので便利だと思います。 分解、振動
、エネルギー、および対称性。
分解
円形のパスに沿って移動する粒子の位置は、2つの半分の値で表すことができます。位相正弦波-または同等に、正弦波と余弦波:
( via )
これは簡単に導き出すことができます。粒子は半径$ r $の円の周りを一定の角速度$ \ omega $で移動しています。次に、$ \ theta = \ omega t $であり、基本的な三角関数は、$ \ theta $が与えられた粒子の位置が与えられていることを示します。 $ x = r \ cos \ theta $および$ y = r \ sin \ theta $によって。 $ x = r \ cos(\ omega t)$および$ y = r \ sin(\ omega t)$を取得します。
振動
正弦波で表される別の種類の動きがあります。それは、の振動です。ばねの重さ。このようなシステムでは、
$$ x(t)= A \ cos \ left(\ sqrt {k \ over m} t \ right)$$
where $ A $は振幅(つまり、ばねの最大長とその静止長の差)、$ k $はフックの法則からのばねの力の定数、そして$ m $はもちろん質量です。この方程式は通常の方法で計算だけでなく微分方程式も必要とします-それで私はあなたに少し後でまで私の言葉を受け入れるように頼むつもりです。
私たちの目的のために、これはそれを意味します軌道を回る粒子のメカニズムは、2つの振動するばねによってシミュレートできます。1つは$ x $コンポーネント用で、もう1つは最初のコンポーネントと同じですが位相が半分ずれている$ y $コンポーネント用です。これがどのように見えるかを想像するには、上のアニメーションを振り返り、青い点と赤い点が休憩時に$ 0 $のばねに取り付けられているふりをします。
このばねベースのモデルができたので、これを使用して、$ x $軸に沿って粒子に加えられている力を決定できます。 フックの法則により、ばねが取り付けられた重りに及ぼす力は$ F = -kx $です。その式を使用して、 $ x $ばねが最大長にあるときの粒子の加速。この場合、最大長は$ r $になることがわかっています。これは、粒子が$ x = r、y = 0 $にある瞬間に対応します。そして、$ F = ma $であることがわかります。したがって、置換により、$ ma = -kr $; $ m $で割り、
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
作業は半分完了しました。しかし、今、新しい問題があります。$ k $が何であるかがわかりません。結局のところ、実際のばねがないため、何も測定できません。ばねの$ k $の値を知る必要があります。粒子が$ x $軸に沿って移動するのと同じように移動する場合、が発生します。この問題を解決するには、保存則について考え始める必要があります。
エネルギー
しましょう。」 s $ x $のばねが振動するとどうなるかを考えます。ばねが$ x = r $にあるとき、それは粒子に最大の力を及ぼしますが、粒子はまったく動いていません。これは波のピークにあります。つまり、$ v = 0 $です。ポイント、ばねが粒子に加える力は、粒子を$ 0 $から最大速度$ -v_ \ text {max} $に加速します。 1 そして粒子が$ x = 0に達するまでに$、ばねは力を加えません。これは「ばね」の静止状態です。ばねは力を加えていないため、$-v_ \ text {max} $に到達しました。将来の加速の方向は次のようになります。反対方向に、粒子が$ x = -r $に達するまで速度を落とします。
つまり、$ x = r $の場合、$ F = -F_ \ text {max} $になります。 、$ a = -a_ \ text {max} $、および$ v = 0 $。そして、$ x = 0 $では、$ F = 0 $、$ a = 0 $、および$ v = -v_ \ text {max} $があります。
これが何が起こっているかです。システム内のエネルギーは、最大運動エネルギー(ばねがまったく伸びていない、または圧縮されていない場合は$ x = 0 $)と最大位置エネルギー(ばねが完全に伸びている場合は$ x = r $)の間を行き来しています。 )。また、エネルギー保存の法則により、これら2つの最大値は等しくなければなりません。つまり、$ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $です。
運動エネルギーの式は$ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $です。これは基本的なニュートン力学です。この場合の$ P $の式は何ですか?これは、導出の最も難しい部分です。ばねに蓄えられる位置エネルギーは、ばねを$ x = r $に伸ばすために行われる負の仕事の量に等しくなります。したがって、仕事の公式を覚えておく必要があります。$ W = Fd $、ここで$ d $は移動距離を表します。つまり、$ x = 0 $から開始すると仮定すると、$ x $です。しかし、問題があります。 $ F = -kx $は定数ではありません-それは$ x $の関数です。
一般に、これは微積分を行う必要があることを意味します。しかし幸いなことに、$ F = -kx $は線形関数であるため、必要な値は、$ x $軸と線$ F = -kx $によって形成される三角形の面積に等しくなります。
(経由)
上のグラフでは、$ k = 1 $、移動距離$ d = x_ \ text {max} = 1 $、および与えられた三角形の面積は、$ F(x)$に移動距離を掛けたときに得られる値を表し、距離が長くなるにつれて$ F $の値の変化を調整します。ただし、三角形の高さは$ -kx_なので\ text {max} $で、三角形の底辺は$ x_ \ text {max} $なので、単純な古いジオメトリを使用できます。三角形の面積は$ \ rm \ frac {1} {2}底辺\ timesです。 height $-または、ここでは、$ x_ \ text {max} = r $
$$ W =-\ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
そして強力なのでialエネルギーは負の仕事に等しい:
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
$ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $にどれほど似ているかは興味深いですか?しばらく考えて、$ E + P $を一定の値にする必要があると考えると、振動するばねが正弦波の経路をたどる理由に気付くかもしれません。 (ヒント:円の数式を記述しますが、$ r $の代わりに$ \ sqrt {E + P} $を使用し、$ y $の代わりに$ v $を使用します。)
ただし、戻ってくることはできます。後でそれに。 $ v = v_ \ text {max} $の設定:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
$ k $を解くとどうなりますか?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\\ kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\\を意味しますk & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2}を意味します\ end {align}
これで、上記の加速の式に代入できます。
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & =-\ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & =-\ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
このバージョンで負の符号が表示される理由を疑問に思われるかもしれません。ただし、加速度は技術的には変位の反対方向にあることを思い出してください。したがって、$ x = r、y = 0 $の場合、加速度は$ -r $の方向になります。そうでなければ、粒子は外側に向かって加速します! 2
対称性
この導出の最後のステップにはトリックが必要です。まず、2次元の動きを、2つの1次元コンポーネントに沿った動きに分割しました。次に、架空のばねを使用して、これら2つのコンポーネントに沿った粒子の動きを説明しました。そして最後の質問に直面します。$ x $コンポーネントと$ y $コンポーネントをどのように選択するのですか?
互いに直角になりますが、それは戦いの半分にすぎません。開始する「適切な場所」、つまり「実際の」$ x $座標を見つける必要があります。問題は、私たちができないことです。粒子が移動する円形の経路は回転対称です。円については、「開始」または「終了」する場所を示すものは何もありません。
これは、どこから始めても上記の推論が成り立つことを意味します。円上の任意の点を$ x = 1、y = 0 $点として選択でき、上記が有効になります。したがって、パーティクルがどこにあっても、そのポイントを$ x = r、y = 0 $ポイントとして設定するだけで、他のすべてが適切に配置されます。
自分でもっと作業をしたい場合は、上記の式を使用して詳細を三角測量で計算し、$ y $軸に合わせて調整してから、$ x $と$ y $を再結合します。ベクトル代数を使用した値。ただし、その必要はありません。この場合、対称性の引数の方が強力です。
1.ここで、「最大」は、粒子が負の方向に移動しているため、実際には「最も負の値」を意味します。 $ x $方向。これらの値は実際には$ -F_ \ text {max} $と$ -v_ \ text {max} $になります。後でパーティクルが反対方向に移動すると、これらの値は正になります。
2.兆候を理解するには、多くの微妙な詳細作業が必要です。特に、ネガティブな作業がポジティブな位置エネルギーになる理由を理解する必要があります。$ rについて考えることも役立ちます。大きさ(そうではない)ではなく、ベクトル(方向がある)としての$。幸いなことに、この場合、物理的な直感が信頼できるガイドを提供します。何かが明らかに間違っていることが判明した場合は、考えを再確認してください。
回答
凹状の経路では、エージェントは直線的に移動するオブジェクトに力を与える必要があります。オブジェクトは、その動きにより、外力がない場合、常に移動するか、関係する瞬間に速度ベクトルの方向に移動する傾向があります。
したがって、オブジェクトが横方向に移動する必要がある場合曲線軌道の場合、主な必要条件は、速度の方向を操作する力を導入して、結果の軌跡が必要な曲線パスになるようにすることです。そうでない場合、オブジェクトは直進します。
力の方向は、明らかに加速度の方向または時間に対する速度の変化の限界です。ですから、方向を見つけるために、微小な状況を考えてみましょう。
短時間$ \ Delta t $とすると、移動距離は$ v(t)\ Delta t $に沿って半径$ r $の円弧。横方向の角度は$$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v(t)\ Delta t} {r} $$です。
の二等分線を想像してみてください。ここで、この二等分線に垂直な&に平行な速度の変化を考えます。最初は速度の成分は$ v \ sin(\ frac {\ Delta \ theta} {2})です。中心から$離れた& $ v \ cos(\ frac {\ Delta \ theta} {2})$横方向。その後、コンポーネント$ v \ sin(\ frac {\ Delta \ theta} {2})$ 中央に向かって中央& $ v \ cos(\ frac {\ Delta \ theta} {2})$は前と同じように横方向に移動します。したがって、速度の変化は$ 2v \ sin(\ frac {\ Delta \ theta} {2})$に向かって大きくなります。円弧の中心。
$ \ Delta \ theta $が非常に小さいため、$ \ sin(\ frac {\ Delta \ theta} {2})$は次のようになります。 $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $として区別できます。したがって、$$ | \ Delta v(t)|を置くことができます。 = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$。そして方向は中心に向かっています。したがって、力は湾曲した軌道に沿って位置ベクトルを回転させ、時計回りまたは反時計回りのどちらでトレースされているかに関係なく、変化は半径方向内側になります。
極座標を使用して計算すると、画像がより鮮明になります。
まず、位置ベクトルを$ \ mathbf {r} = r \ cdot \と記述します。 mathbf e_r $。ここで、時間の経過に伴う$ \ mathbf {r} $の変化について考えてみましょう。 $ \ Delta t $中の変化は$ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $です。 $ e_r \、\ textrm {and} \、e _ {\ theta} $は相互に垂直であり、最初は外側に放射状に中心から。したがって、速度は$$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$。
$ r = 1 $とすると、$$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt}(\ mathbf e_r)= \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \;。$が得られます。 $
同様に、$ \ theta $の変更は、$ \ mathbf e _ {\ theta} $の変更を意味します。$$ \ frac {\ mathrmd} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta})=-\ omega \ cdot \ mathbf e_r \;。$$ここで、速度を微分します。$$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt}(\ mathbf e _ {\ theta})=-{\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \;。$$この結果は、$ \ mathbf e_r $とは逆の正しい方向、つまり放射状に中心。
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