Une simple dérivation de la formule daccélération centripète?
On janvier 31, 2021 by adminQuelquun pourrait-il me montrer une dérivation simple et intuitive de la formule daccélération centripète $ a = v ^ 2 / r $, de préférence une formule qui nimplique pas de calcul ou trigonométrie avancée?
Réponse
Imaginez un objet traversant régulièrement un cercle de rayon $ r $ centré sur lorigine. Sa position peut être représentée par un vecteur de longueur constante qui change dangle. La distance totale parcourue en un cycle est de 2 $ \ pi r $. Cest aussi le montant cumulé par lequel la position a changé.
Considérons maintenant le vecteur vitesse de cet objet: il peut aussi être représenté par un vecteur de longueur constante qui change régulièrement de direction. Ce vecteur a une longueur $ v $, donc le changement cumulé de vitesse est $ 2 \ pi v $.
La magnitude de laccélération est alors $ \ frac {\ text {changement de vitesse}} {\ text {temps écoulé}} $, que nous pouvons écrire comme: $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left (\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \,. $$
QED
A part: cette dérivation est utilisée dans de nombreux manuels basés sur lalgèbre / trigonométrie.
Commentaires
- Notez quaprès un tour complet, le changement en position est également zéro. Ce qui nous intéresse ici vraiment la valeur moyenne de laccélération instantanée, mais pour lobtenir nécessite le calcul (ou du moins la machinerie de limites), ce que l’OP ne souhaite pas ‘. Donc, à la place, nous considérons non pas le déplacement mais la distance et aussi léquivalent de la distance pour la vitesse (qui na ‘ t avoir un nom conventionnel) plutôt que $ \ vec {v} _f – \ vec { v} _i $. Cela donne laccélération centripète pour toutes les courbes (sachant $ r $ et $ v $), mais nous devons ajouter laccélération » transversale » à la main.
- Cest une bonne explication mais quelquun pourrait-il expliquer pourquoi le changement accumulé de vitesse est de 2 * pi * v?
- @Conceptuality Donc, par hypothèse, la vitesse de la particule est constant, non? Mais à mesure quil fait le tour du cercle, sa direction de mouvement change. Cela signifie que le vecteur de vitesse garde la même longueur mais tourne à travers un cercle entier. La pointe du vecteur de vitesse décrit un cercle de rayon $ v $, donc la distance à laquelle la pointe sest déplacée était $ 2 \ pi v $.
- @dmckee, dans la preuve triangulaire similaire, le changement de vitesse est simplement la distance entre les extrémités de deux vecteurs de vitesse se dessine de bout en bout. Mais est-ce que » delta v » serait simplement zéro puisque la magnitude est constante? ——— comment voulez-vous vraiment dire sûr que le changement de direction de toute façon en degrés?
- @ theenigma017 Les angles sont formellement sans dimension (cest pourquoi la vitesse angulaire et la fréquence angulaire sont la même mesure en SI). Cest pourquoi $ 2 \ pi r $ est une distance et non une autre quantité, ce qui signifie que $ 2 \ pi v $ est une vitesse. Les trois premiers commentaires peuvent aider, ou vous pouvez simplement penser à cela comme une comparaison de la distance et de la vitesse.
Réponse
Dans le triangle rectangle ABC \ begin {équation} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {equation} Si \ begin {equation} \ theta \ tag {02} \ end {equation} est petit \ begin {équation} v (t) \ approx v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { équation} \ begin {équation} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {equation} Pour petit angle \ begin {équation} \ delta \ theta \ approx Sin {\ delta \ theta} \ tag {04} \ end {equation} Donc sur la réorganisation de \ begin {equation} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ times \ vec v \ tag {05} \ end {equation} \ begin {équation } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ times \ vec v \ tag {06} \ end {equation} \ begin {équation } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ times \ vec v \ tag {07} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {08} \ end {equation}
\ begin {equation} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {équation}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ times \ vec v \ tag {10} \ end {equation}
\ begin {équation} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {equation} Et puisque \ begin {équation} \ mathbf {v} = \ omega \ times r \ tag {12} \ end {equation} Donc \ begin {equation} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {equation}
Commentaires
- Avec une petite limite dangle, cest , bien sûr, la dérivation correcte. Mais vous voudrez peut-être être explicite que $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $ est correct dans cette limite. Jai un succès mitigé en classe avec cette dérivation (et avec celle que jai utilisée aussi).
- Pourquoi $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (vecteur) = un angle * vitesse? quelle est lintuition? également utilisé dans la réponse ci-dessus
- @Allawonder lavez-vous résolu? Je suis coincé à la même question.
Réponse
Vous pouvez faire cette dérivation en cassant la position du en orbite autour des particules en composants. Ce nest pas court, mais je pense que cest utile car il complète lalgèbre avec des analogies physiques concrètes. Je vais lorganiser en quatre parties: décomposition , oscillation , énergie et symétrie .
Décomposition
La position dune particule se déplaçant le long dun chemin circulaire peut être décrite par deux demi-hors- onde sinusoïdale de phase – ou de manière équivalente, une onde sinusoïdale et une onde cosinusoïdale:
( via )
Ceci est facile à calculer: supposons la particule se déplace à une vitesse angulaire constante $ \ omega $ autour dun cercle de rayon $ r $. Alors $ \ theta = \ omega t $, et la trigonométrie de base nous dit que la position de la particule donnée $ \ theta $ est par $ x = r \ cos \ theta $ et $ y = r \ sin \ theta $. On peut substituer itute pour obtenir $ x = r \ cos (\ omega t) $ et $ y = r \ sin (\ omega t) $.
Oscillation
Il savère quil existe un autre type de mouvement qui est décrit par des ondes sinusoïdales: loscillation dun poids sur un ressort . Dans un tel système,
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
où $ A $ est lamplitude (cest-à-dire la différence entre la longueur maximale du ressort et sa longueur au repos), $ k $ est la constante de force du ressort, daprès la loi de Hooke, et $ m $ est, bien sûr, la masse. cette équation de la manière habituelle nécessite non seulement des calculs, mais aussi des équations différentielles – donc je vais vous demander de me croire sur parole jusquà un peu plus tard.
Pour nos besoins, cela signifie que la mécanique de la particule en orbite peut être simulée par deux ressorts oscillants: un pour le composant $ x $, et un pour le composant $ y $ qui est identique au premier, mais qui est à moitié déphasé avec lui.Pour imaginer à quoi cela ressemble, regardez lanimation ci-dessus et faites comme si le point bleu et le point rouge sont attachés à des ressorts à 0 $ au repos.
Maintenant que nous avons ce modèle à ressort, nous pouvons lutiliser pour déterminer la force appliquée à la particule le long de laxe $ x $! Selon la loi de Hooke , la force quun ressort exerce sur un poids attaché est $ F = -kx $. Essayons dutiliser cette formule pour déterminer le accélération de la particule lorsque le ressort $ x $ est à sa longueur maximale. Nous savons que sa longueur maximale sera de $ r $ dans ce cas – cela correspond au moment où la particule est à $ x = r, y = 0 $. Et nous savons que $ F = ma $. Donc par substitution, $ ma = -kr $; divisez par $ m $, et
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
Notre travail est à moitié terminé. Mais maintenant, nous avons un nouveau problème: nous ne savons pas ce quest $ k $ – après tout, il ny a pas de ressort réel, donc nous ne pouvons rien mesurer. Nous devons savoir quelle valeur de $ k $ un ressort aura si elle se déplace de la même manière que la particule le long de laxe $ x $. Pour résoudre ce problème, nous devons commencer à réfléchir aux lois de conservation.
Énergie
Soit » s réfléchissez à ce qui se passe lorsque le ressort $ x $ oscille. Lorsque le ressort est à $ x = r $, il exerce la plus grande force sur la particule, mais la particule ne bouge pas du tout. Cest juste au sommet de la vague. Cela signifie $ v = 0 $. À partir de là point, la force que le ressort applique à la particule laccélérera de $ 0 $ à sa plus grande vitesse $ -v_ \ text {max} $. 1 Et au moment où la particule atteindra $ x = 0 $, le ressort nappliquera aucune force; cest létat de repos du ressort. Puisque le ressort napplique aucune force, nous avons atteint $ -v_ \ text {max} $ – la direction de laccélération future sera dans la direction opposée, ralentissant la particule jusquà ce quelle atteigne $ x = -r $.
Cela signifie donc quà $ x = r $, on a $ F = -F_ \ text {max} $ , $ a = -a_ \ text {max} $ et $ v = 0 $. Et à $ x = 0 $, nous avons $ F = 0 $, $ a = 0 $ et $ v = -v_ \ text {max} $.
Voici ce qui se passe: lénergie dans le système va et vient entre lénergie cinétique maximale (à $ x = 0 $ lorsque le ressort nest pas du tout étiré ou comprimé) et lénergie potentielle maximale (à $ x = r $, lorsque le ressort est complètement étiré ). Et à cause de la conservation de lénergie, ces deux maxima doivent être égaux; en dautres termes, $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $.
La formule de lénergie cinétique est $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ – cest la mécanique newtonienne de base. Quelle est la formule de $ P $ dans ce cas? Cest la partie la plus difficile de la dérivation. Lénergie potentielle stockée dans le ressort est égale à la quantité de travail négatif effectué pour létirer à $ x = r $. Nous devons donc nous souvenir de la formule du travail: $ W = Fd $, où $ d $ représente la distance parcourue – cest-à-dire $ x $, en supposant que nous commençons à $ x = 0 $. Mais alors nous avons un problème. $ F = -kx $ nest pas constant – cest « une fonction de $ x $.
En général, cela voudrait dire que nous devons faire du calcul. Mais heureusement, $ F = -kx $ est une fonction linéaire, et donc la valeur que nous voulons est égale à laire du triangle formé par laxe $ x $ et la ligne $ F = -kx $:
( via )
Dans le graphique ci-dessus, $ k = 1 $, la distance parcourue $ d = x_ \ text {max} = 1 $, et laire du triangle donné représente la valeur que vous obtenez lorsque vous multipliez $ F (x) $ par la distance parcourue, en ajustant les changements de la valeur de $ F $ à mesure que la distance augmente. Mais puisque la hauteur du triangle est $ -kx_ \ text {max} $ et la base du triangle est $ x_ \ text {max} $, nous pouvons simplement utiliser une vieille géométrie simple. Laire dun triangle est $ \ rm \ frac {1} {2} base \ times height $ – ou, ici, parce que $ x_ \ text {max} = r $
$$ W = – \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Et depuis puissant lénergie iale est égale à travail négatif :
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
N « est-il pas intéressant de savoir à quel point cela est similaire à $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $? Si vous pensez à cela pendant un moment et considérez que $ E + P $ doit être une valeur constante, vous pourriez commencer à comprendre pourquoi un ressort oscillant suit un chemin sinusoïdal! (Astuce: écrivez la formule dun cercle, mais utilisez $ \ sqrt {E + P} $ au lieu de $ r $, et $ v $ au lieu de $ y $.)
Mais vous pouvez revenir à cela plus tard. Nous sommes très proches! Définition de $ v = v_ \ text {max} $:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
Que se passe-t-il lorsque nous résolvons pour $ k $?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ implique kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ implique k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
Nous pouvons maintenant remplacer cela dans notre formule daccélération ci-dessus:
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
Vous vous demandez peut-être pourquoi le signe négatif apparaît dans cette version. Mais rappelons que laccélération est techniquement dans le sens opposé du déplacement. Ainsi, lorsque $ x = r, y = 0 $, laccélération est dans la direction de $ -r $. Sil en était autrement, la particule accélérerait vers lextérieur! 2
Symétrie
La dernière étape de cette dérivation nécessite une astuce. Nous avons commencé par briser le mouvement en deux dimensions en mouvement le long de deux composants unidimensionnels. Nous avons ensuite utilisé des ressorts imaginaires pour décrire le mouvement de la particule le long de ces deux composants. Et maintenant, nous sommes confrontés à une dernière question: comment choisir nos composants $ x $ et $ y $?
Ils doivent être perpendiculaires les uns aux autres, mais ce nest que la moitié de la bataille – nous devons trouver le «bon endroit» pour commencer, la «vraie» coordonnée $ x $. Le problème est que nous ne pouvons pas « t. Le chemin circulaire le long duquel la particule se déplace est symétrique en rotation. Il ny a rien dans le cercle pour nous dire où il » commence « ou » se termine « .
Cela signifie que le raisonnement ci-dessus est valable quel que soit le point de départ. Nous pouvons choisir nimporte quel point du cercle comme le point $ x = 1, y = 0 $, et ce qui précède sera valide. Donc, où que se trouve la particule, nous définissons simplement ce point comme notre point $ x = r, y = 0 $, et tout le reste se met en place.
Si nous voulions faire plus de travail pour nous-mêmes, nous pourrions travailler les détails de manière trigonométrique, en utilisant les formules ci-dessus, en les ajustant pour laxe $ y $, puis en recombinant les $ x $ et $ y $ valeurs utilisant lalgèbre vectorielle. Mais nous nen avons pas besoin – largument de symétrie est plus puissant dans ce cas.
1. Ici, « le plus grand » signifie vraiment « le plus négatif », car la particule se déplace dans le négatif $ x $ direction. Ces valeurs seront en réalité $ -F_ \ text {max} $ et $ -v_ \ text {max} $. Plus tard, lorsque la particule se déplacera dans la direction opposée, ces valeurs seront positives.
2. Comprendre les signes demande beaucoup de travail de détail subtil; en particulier, vous devez comprendre pourquoi le travail négatif devient une énergie potentielle positive. Cela aide également à penser à $ r $ en tant que vecteur (qui a une direction) au lieu dune grandeur (qui ne le fait pas). Heureusement, lintuition physique fournit un guide fiable dans ce cas; si quelque chose savère manifestement faux, revérifiez votre réflexion.
Réponse
Afin de parcourir un chemin concave, un agent doit donner une force à un objet se déplaçant de manière linéaire. Lobjet, de par son mouvement, en labsence de toute force extérieure, se déplace ou tend toujours à se déplacer dans la direction du vecteur vitesse à linstant concerné.
Donc, lorsque lobjet doit traverser une trajectoire courbe, la condition principale est lintroduction dune force qui manipule la direction de la vitesse de telle sorte que le lieu résultant soit le chemin curviligne requis, sinon lobjet se déplacerait tout droit.
La direction de la force est évidemment la direction de laccélération ou la limite de changement de vitesse par rapport au temps. Donc, pour trouver la direction, pensons à une situation infinitésimale.
Soit pendant un court laps de temps $ \ Delta t $, la distance parcourue est $ v (t) \ Delta t $ le long un arc de cercle de rayon $ r $. Langle transversal est alors $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$.
Imaginez la bissectrice de la Maintenant, considérons les changements de vitesse parallèle & perpendiculaire à cette bissectrice. Initialement, la vitesse a une composante $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ loin du centre & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ transversalement. Ensuite, il a une composante $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ vers le centre & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ transversalement comme précédemment. Ainsi le changement de vitesse est de grandeur $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ vers le centre de larc.
Comme $ \ Delta \ theta $ est extrêmement petit, $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ devient in distinguable comme $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $. Ainsi, on peut mettre $$ | \ Delta v (t) | = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. Et la direction est vers le centre. Ainsi, la force fait tourner le vecteur de position le long de la trajectoire courbe et le changement est radialement vers lintérieur indépendamment du fait quil soit tracé dans le sens horaire ou anti-horaire.
Limage devient plus vivante si nous calculons en utilisant les coordonnées polaires.
Premièrement, nous écrivons le vecteur de position comme $ \ mathbf {r} = r \ cdot \ mathbf e_r $. Considérons maintenant le changement de $ \ mathbf {r} $ avec le temps. Son changement pendant $ \ Delta t $ est $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $. $ e_r \, \ textrm {et} \, e _ {\ theta} $ sont mutuellement perpendiculaires, le premier étant radialement vers lextérieur du centre. Donc la vitesse est $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
En mettant $ r = 1 $, on obtient $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \;. $ $
De même, un changement de $ \ theta $ implique un changement de $ \ mathbf e _ {\ theta} $. On peut voir que $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – \ omega \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Maintenant, nous différencions la vitesse, $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – {\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Ce résultat tombe automatiquement avec la direction correcte qui est opposée à $ \ mathbf e_r $ ie vers le centre radialement.
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