O simplă derivare a formulei de accelerare centripetă?
On ianuarie 31, 2021 by adminAr putea cineva să-mi arate o derivare simplă și intuitivă a Formulei de Accelerație Centripetă $ a = v ^ 2 / r $, de preferință una care nu implică calcul sau trigonometrie avansată?
Răspuns
Imaginați-vă un obiect care traversează constant un cerc de rază $ r $ centrat pe origine. Poziția sa poate fi reprezentată de un vector cu lungime constantă care schimbă unghiul. Distanța totală parcursă într-un ciclu este de 2 $ \ pi r $. Aceasta este, de asemenea, suma acumulată cu care sa schimbat poziția ..
Acum, luați în considerare vectorul vitezei acestui obiect: poate fi reprezentat și de un vector cu lungime constantă care schimbă direcția constant. Acest vector are lungimea $ v $, deci modificarea acumulată a vitezei este $ 2 \ pi v $.
Magnitudinea accelerației este apoi $ \ frac {\ text {modificare vitezei}} {\ text {timp scurs}} $, pe care îl putem scrie ca: $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left (\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \,. $$
QED
În afară de aceasta: această derivare este utilizată într-o mulțime de manuale bazate pe algebră / trig.
Comentarii
- Observați că, după o schimbare completă, schimbarea în poziție este, de asemenea, zero. Ceea ce ne interesează aici este într-adevăr valoarea medie a accelerației instantanee, dar pentru ao obține necesită calcul (sau cel puțin mașina limite), pe care OP nu ‘ le dorește. Deci, în schimb, considerăm nu deplasarea, ci distanța și, de asemenea, echivalentul distanței pentru viteză (care nu are ‘ t un nume convențional), mai degrabă decât $ \ vec {v} _f – \ vec { v} _i $. Aceasta oferă accelerația centripetă pentru toate curbele (știind $ r $ și $ v $), dar trebuie să adăugăm accelerarea ” transversală ” de mână.
- Aceasta este o explicație excelentă, dar cineva ar putea explica de ce modificarea acumulată a vitezei este de 2 * pi * v?
- @Conceptualitate Deci, prin presupunerea vitezei particulei este constant, nu? Dar pe măsură ce înconjoară cercul, direcția de mișcare se schimbă. Asta înseamnă că vectorul viteză păstrează aceeași lungime, dar se rotește printr-un cerc întreg. Vârful vectorului de viteză descrie un cerc de rază $ v $, deci distanța pe care a mutat-o a fost de $ 2 \ pi v $.
- @dmckee, în dovada triunghiului similar, schimbarea vitezei este pur și simplu distanța dintre vârfurile a doi vectori de viteză atrage coadă-coadă. Dar ” delta v ” ar fi pur și simplu zero, deoarece magnitudinea este constantă? ——— cum vrei să spui sigur că schimbarea direcției este oricum în grad?
- @ theenigma017 Unghiurile sunt formal adimensionale (de aceea viteza unghiulară și frecvența unghiulară sunt aceeași măsură în SI). De aceea $ 2 \ pi r $ este o distanță și nu o altă cantitate, ceea ce înseamnă că $ 2 \ pi v $ este o viteză. Primele trei comentarii vă pot ajuta, sau vă puteți gândi doar la acest lucru comparând distanța și viteza.
Răspuns
În triunghi dreptunghiular ABC \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {equation} Dacă \ begin {ecuație} \ theta \ tag {02} \ end {equation} este mic \ begin {equation} v (t) \ approx v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { ecuație} \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {equation} Pentru unghi mic \ begin {equation} \ delta \ theta \ approx Sin {\ delta \ theta} \ tag {04} \ end {equation} Deci la rearanjarea \ begin {equation} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ times \ vec v \ tag {05} \ end {ecuație} \ begin {ecuație } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ times \ vec v \ tag {06} \ end {ecuație} \ begin {equation } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ times \ vec v \ tag {07} \ end {ecuație}
\ begin {ecuație} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {08} \ end {equation}
\ begin {equation} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {ecuație}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ times \ vec v \ tag {10} \ end {ecuație}
\ begin {equation} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {equation} Și din moment ce \ begin {ecuație} \ mathbf {v} = \ omega \ times r \ tag {12} \ end {equation} Deci \ begin {equation} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {ecuație}
Comentarii
- Cu o limită de unghi mic aceasta este , desigur, derivarea corectă. Dar s-ar putea să doriți să fiți explicit că $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $ este corectă în acea limită. Am amestecat succesul în clasă cu această derivare (și cu cea pe care am folosit-o și eu).
- De ce este $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (vector) = un unghi * viteză? care este intuiția? folosit și în răspunsul de mai sus
- @Allawonder l-ați rezolvat? Sunt blocat la aceeași întrebare.
Răspuns
Puteți face această derivare rupând poziția orbitând particulele în jos în componente. Nu este scurt, dar cred că este util deoarece completează algebra cu analogii fizice concrete. O voi organiza în patru părți: descompunere , oscilație , energie și simetrie .
Descompunere
Poziția unei particule care se deplasează de-a lungul unei căi circulare poate fi descrisă prin două jumătăți din unde sinusoidale de fază – sau echivalent, o undă sinusoidală și o undă cosinus:
( via )
Acest lucru este ușor de derivat: presupunem particula se mișcă la o viteză unghiulară constantă $ \ omega $ în jurul unui cerc de rază $ r $. Apoi $ \ theta = \ omega t $, iar trigonometria de bază ne spune că poziția particulei dată $ \ theta $ este dată cu $ x = r \ cos \ theta $ și $ y = r \ sin \ theta $. Putem subst itute pentru a obține $ x = r \ cos (\ omega t) $ și $ y = r \ sin (\ omega t) $.
Oscilație
Se pare că există un alt tip de mișcare care este descris de undele sinusoidale: oscilația unui greutate pe un arc . Într-un astfel de sistem,
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
unde $ A $ este amplitudinea (adică diferența dintre lungimea maximă a arcului și lungimea sa de repaus), $ k $ este constanta forței arcului, din legea lui Hooke și $ m $ este, desigur, masa. această ecuație în mod obișnuit necesită nu numai calcul, ci și ecuații diferențiale – așa că vă voi cere să mă credeți pe cuvânt până un pic mai târziu.
Pentru scopurile noastre, asta înseamnă că mecanica particulei care orbitează poate fi simulată de două arcuri oscilante: unul pentru componenta $ x $ și unul pentru componenta $ y $ care este identică cu prima, dar care este pe jumătate defazată cu ea.Pentru a imagina cum arată acest lucru, priviți înapoi la animația de mai sus și prefaceți-vă că punctul albastru și cel roșu sunt atașate la arcuri care sunt la $ 0 când vă odihniți.
Acum că avem acest model bazat pe primăvară, îl putem folosi pentru a determina forța aplicată particulei de-a lungul axei $ x $! Prin legea lui Hooke , forța exercitată de un arc pe o greutate atașată este de $ F = -kx $. Să încercăm să folosim acea formulă pentru a determina accelerarea particulei când arcul $ x $ este la lungimea sa maximă. Știm că lungimea sa maximă va fi $ r $ în acest caz – aceasta corespunde momentului în care particula este la $ x = r, y = 0 $. Și știm că $ F = ma $. Deci, prin substituire, $ ma = -kr $; împărțiți la $ m $ și
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
Munca noastră este pe jumătate terminată. Dar acum avem o nouă problemă: nu știm ce este $ k $ – la urma urmei, nu există arc real, așa că nu putem măsura nimic. Trebuie să știm ce valoare este de $ k $ un arc va avea dacă se mișcă la fel ca particulele de-a lungul axei $ x $. Pentru a rezolva această problemă, trebuie să începem să ne gândim la legile conservării.
Energie
Să „ Gândește-te la ce se întâmplă când oscilează $ x $ arc. Când arcul este la $ x = r $, acesta exercită cea mai mare forță asupra particulei, dar particula nu se mișcă deloc. Aceasta este chiar la vârful undei. Asta înseamnă $ v = 0 $. punct, forța pe care arcul o aplică particulei o va accelera de la $ 0 $ la cea mai mare viteză $ -v_ \ text {max} $. 1 Și până când particula ajunge la $ x = 0 $, arcul nu va aplica forță; aceasta este starea de repaus a arcului. Deoarece arcul nu aplică nici o forță, am ajuns la $ -v_ \ text {max} $ – direcția accelerării viitoare va fi în direcția opusă, încetinind particula până când ajunge la $ x = -r $.
Deci asta înseamnă că la $ x = r $, avem $ F = -F_ \ text {max} $ , $ a = -a_ \ text {max} $ și $ v = 0 $. Și la $ x = 0 $, avem $ F = 0 $, $ a = 0 $ și $ v = -v_ \ text {max} $.
Iată „ce se întâmplă”: energia din sistem se mișcă înainte și înapoi între energia cinetică maximă (la $ x = 0 $ când arcul nu este deloc întins sau comprimat deloc) și energia potențială maximă (la $ x = r $, când arcul este complet întins ). Și din cauza conservării energiei, aceste două maxime trebuie să fie egale; cu alte cuvinte, $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $.
Formula pentru energia cinetică este $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ – aceasta este mecanica newtoniană de bază. Care este formula pentru $ P $ în acest caz? Aceasta este cea mai grea parte a derivării. Energia potențială stocată în primăvară este egală cu cantitatea de muncă negativă efectuată pentru a o întinde la $ x = r $. Deci, trebuie să ne amintim formula de lucru: $ W = Fd $, unde $ d $ reprezintă distanța parcursă – adică $ x $, presupunând că începem de la $ x = 0 $. Dar atunci avem o problemă. $ F = -kx $ nu este constant – este o funcție de $ x $.
În general, acest lucru ar însemna că trebuie să facem calcul. Dar din fericire, $ F = -kx $ este o funcție liniară, și astfel valoarea dorită este egală cu aria triunghiului format de axa $ x $ și linia $ F = -kx $:
( via )
În graficul de mai sus, $ k = 1 $, distanța parcursă $ d = x_ \ text {max} = 1 $ și aria triunghiului dat reprezintă valoarea pe care o obțineți atunci când înmulțiți $ F (x) $ cu distanța parcursă, ajustându-vă pentru modificările valorii de $ F $ pe măsură ce distanța crește. Dar, deoarece înălțimea triunghiului este $ -kx_ \ text {max} $ iar baza triunghiului este $ x_ \ text {max} $, putem folosi doar geometrie simplă veche. Aria unui triunghi este $ \ rm \ frac {1} {2} bază \ ori înălțime $ – sau, aici, deoarece $ x_ \ text {max} = r $
$$ W = – \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Și din moment ce este puternic energia ial este egală cu lucru negativ :
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Nu este interesant cât de asemănător este cu $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $? Dacă vă gândiți la asta pentru o vreme și considerați că $ E + P $ trebuie să fie o valoare constantă, s-ar putea să începeți să vă dați seama de ce un arc oscilant urmează o cale sinusoidală! (Sugestie: scrieți formula pentru un cerc, dar folosiți $ \ sqrt {E + P} $ în loc de $ r $ și $ v $ în loc de $ y $.)
Dar puteți reveni la asta mai târziu. Suntem foarte aproape! Setarea $ v = v_ \ text {max} $:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
Ce se întâmplă când rezolvăm pentru $ k $?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ implică kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ implică k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
Acum îl putem înlocui în formula noastră pentru accelerația de mai sus:
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
S-ar putea să vă întrebați de ce apare semnul negativ în această versiune. Amintiți-vă însă că accelerația este tehnic în direcția opusă a deplasării. Deci, când $ x = r, y = 0 $, accelerația este în direcția $ -r $. Dacă ar fi altfel, particula ar accelera spre exterior! 2
Simetrie
Ultimul pas al acestei derivări necesită un truc. Am început prin a sparge mișcarea în două dimensiuni în mișcare de-a lungul a două componente unidimensionale. Am folosit apoi arcuri imaginare pentru a descrie mișcarea particulelor de-a lungul acestor două componente. Și acum, ne confruntăm cu o întrebare finală: cum alegem componentele noastre $ x $ și $ y $?
Trebuie să să fie în unghi drept unul cu altul, dar asta este doar jumătate din luptă – trebuie să găsim „locul potrivit” pentru a începe, coordonata „reală” $ x $. Problema este că nu putem. Calea circulară de-a lungul căreia particula se mișcă este simetrică prin rotație. Nu există nimic în cerc care să ne spună unde „începe” sau „se termină”.
Aceasta înseamnă că raționamentul de mai sus se menține indiferent de unde începem. Putem alege orice punct de pe cerc ca punctul $ x = 1, y = 0 $, iar cele de mai sus vor fi valabile. Deci, oriunde se află particula, pur și simplu setăm acel punct ca punctul nostru $ x = r, y = 0 $ și orice altceva se încadrează la locul său.
Dacă am fi vrut să facem mai multă treabă pentru noi înșine, am putea elabora detaliile în mod trigonometric, folosind formulele de mai sus, ajustându-le pentru axa $ y $ și apoi recombinând $ x $ și $ y $ valori folosind algebra vectorială. Dar nu este necesar – argumentul de simetrie este mai puternic în acest caz.
1. Aici „cel mai mare” înseamnă „cel mai negativ”, deoarece particula se mișcă în negativ. direcția $ x $. Aceste valori vor fi cu adevărat $ -F_ \ text {max} $ și $ -v_ \ text {max} $. Mai târziu, când particula se mișcă în direcția opusă, aceste valori vor fi pozitive.
2. Înțelegerea semnelor necesită o mulțime de lucrări subtile de detaliu; în special, trebuie să înțelegeți de ce munca negativă devine energie potențială pozitivă. De asemenea, ajută să vă gândiți la $ r $ ca vector (care are o direcție) în loc de o mărime (care nu „t). Din fericire, intuiția fizică oferă un ghid de încredere în acest caz; dacă ceva se dovedește în mod evident greșit, verificați-vă gândirea.
Răspunde
Pentru a trece printr-un cale concavă, un agent trebuie să dea forță altfel unui obiect care se mișcă liniar. Obiectul, în virtutea mișcării sale, sub absența oricărei forțe externe, călătorește întotdeauna sau tinde să călătorească în direcția vectorului vitezei în momentul respectiv.
Deci, atunci când obiectul trebuie să se transforme o traiectorie a curbei, cerința principală este introducerea unei forțe care manipulează direcția vitezei astfel încât locusul rezultat să fie calea curvilinie necesară, în caz contrar obiectul ar călători drept.
Direcția forței este evident direcția accelerației sau limita de schimbare a vitezei în raport cu timpul. Deci, pentru a găsi direcția, să ne gândim la o situație infinitesimală.
Fie pentru o perioadă scurtă de timp $ \ Delta t $, distanța parcursă este $ v (t) \ Delta t $ de-a lungul un arc circular de rază $ r $. Unghiul transversal este apoi $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$.
Imaginați-vă bisectoarea unghiul. Acum, luați în considerare modificările de viteză paralele & perpendicular pe această bisectoare. Inițial viteza are o componentă $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ departe de centru & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ transversal. Ulterior, are o componentă $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ spre centrul & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ transversal ca înainte. Astfel, schimbarea vitezei este de magnitudine $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ către centrul arcului.
Deoarece $ \ Delta \ theta $ este foarte mic, $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ devine în se distinge ca $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $. Astfel, putem pune $$ | \ Delta v (t) | = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. Și direcția este spre centru. Astfel, forța rotește vectorul de poziție de-a lungul traiectoriei curbate și schimbarea este radial spre interior, indiferent dacă este urmărită în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic.
Imaginea devine mai vie dacă calculăm folosind coordonatele polare.
Mai întâi, scriem vectorul de poziție ca $ \ mathbf {r} = r \ cdot \ mathbf e_r $. Acum ia în considerare schimbarea $ \ mathbf {r} $ în timp. Schimbarea sa în timpul $ \ Delta t $ este $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $. $ e_r \, \ textrm {și} \, e _ {\ theta} $ sunt reciproc perpendiculare, primele fiind spre exterior radial din centru. Prin urmare, viteza este $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
Punând $ r = 1 $, obținem $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \;. $ $
În mod similar, o modificare a $ \ theta $ implică o modificare a $ \ mathbf e _ {\ theta} $. Se poate vedea că $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – \ omega \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Acum diferențiem viteza, $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – {\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Acest rezultat cade automat în jos cu direcția corectă care este opusă lui $ \ mathbf e_r $ adică spre centrul radial.
Lasă un răspuns