A Centripetal Acceleration Formula egyszerű levezetése?
On január 31, 2021 by adminMeg tudná valaki mutatni a Centripetal Acceleration Formula egyszerű és intuitív levezetését $ a = v ^ 2 / r $, lehetőleg olyat, amely nem jár számítással vagy fejlett trigonometria?
Válasz
Képzeljen el egy objektumot, amely folyamatosan halad egy $ r $ sugarú körön, amelynek középpontjában az origó áll. Pozícióját állandó hosszúságú vektorral lehet ábrázolni, amely szöget változtat. Az egy ciklus alatt megtett teljes távolság $ 2 \ pi r $. Ez az a halmozott összeg is, amellyel a pozíció megváltozott.
Most vegye figyelembe ennek az objektumnak a sebességvektorát: állandó hosszúságú vektorral is reprezentálható, amely folyamatosan változtatja az irányt. Ennek a vektornak a hossza $ v $, tehát a sebesség halmozott változása $ 2 \ pi v $.
A gyorsulás nagysága ekkor $ \ frac {\ text {sebességváltozás}} {\ text {eltelt idő}} $, amelyet így írhatunk: $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left (\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \,. $$
QED
Eltekintve: ezt a levezetést sok algebra / trig alapú tankönyvben használják.
Megjegyzések
- Vegye észre, hogy egy teljes fordulat után a változás A helyzetben szintén nulla. Amit itt érdekel, az a pillanatnyi gyorsulás átlagértéke, de ennek megszerzéséhez számításra van szükség (vagy legalábbis a határok), amelyet az OP nem akar ‘ nem akar. Tehát ehelyett nem az elmozdulást, hanem a távolságot és a sebesség egyenértékét is figyelembe vesszük (aminek ‘ nincs hagyományos neve), nem pedig $ \ vec {v} _f – \ vec { v} _i $. Ez megadja az összes görbe centripetális gyorsulását (ismerve $ r $ és $ v $), de hozzá kell adnunk a ” keresztirányú ” gyorsulást kézzel.
- Ez nagyszerű magyarázat, de meg tudná valaki magyarázni, miért a sebesség halmozott változása 2 * pi * v?
- @ Konceptualitás Tehát feltételezve a részecske sebességét állandó, igaz? De ahogy körbe megy, a mozgás iránya megváltozik. Ez azt jelenti, hogy a sebességvektor azonos hosszúságú, de egy egész kört átfordít. A sebességvektor csúcsa egy $ v $ sugarú kört ír le, tehát a csúcs mozgatásának távolsága $ 2 \ pi v $ volt.
- @dmckee, a hasonló háromszögproblémában a sebességváltozás egyszerűen két sebességvektor csúcsa közötti távolság húzza a farkát a farkáig. De ” delta v ” egyszerűen nulla lenne, mivel a nagyság állandó? ——— biztos az irányváltozás amúgy is fokban?
- @ theenigma017 A szögek formailag dimenziómentesek (ezért a szögsebesség és a szögfrekvencia ugyanaz a mérték SI-ben). Ezért $ 2 \ pi r $ távolság, és nem valamilyen más mennyiség, ami azt jelenti, hogy $ 2 \ pi v $ sebesség. Az első három megjegyzés segíthet, vagy csak úgy gondolhatja ezt, mint a távolság és a sebesség összehasonlítását.
Válasz
ABC derékszögű háromszögben \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {equation} Ha \ begin {equation} \ theta \ tag {02} \ end {egyenlet} kicsi \ begin {egyenlet} v (t) \ kb v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { egyenlet} \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {equation} Kis szög esetén \ begin {equation} \ delta \ theta \ kb Sin {\ delta \ theta} \ tag {04} \ end {equation} Tehát a \ átrendezésénél kezdődik {equation} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ times \ vec v \ tag {05} \ end {equation} \ begin {egyenlet } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ times \ vec v \ tag {06} \ end {egyenlet} \ begin {egyenlet } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ times \ vec v \ tag {07} \ end {egyenlet}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {08} \ end {equation}
\ begin {equation} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ times \ vec v \ tag {10} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {equation} És mivel \ begin {egyenlet} \ mathbf {v} = \ omega \ times r \ tag {12} \ end {equation} Tehát \ begin {equation} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {equation}
Megjegyzések
- Kis szöghatárral ez természetesen a helyes levezetés. De érdemes egyértelművé tenni, hogy $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $ helyes ebben a korlátban. Vegyes sikereket ért el az osztályteremben ezzel a levezetéssel (és az általam használtal is).
- Miért van $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (vektor) = szög * sebesség? mi az intuíció? a fenti válaszban is használják
- @Allawonder sikerült megoldani? Ugyanazon a kérdésnél ragadtam.
Válasz
Ezt a levezetést úgy teheti meg, hogy megszakítja a keringő részecske le alkatrészekre. Nem rövid, de úgy gondolom, hogy hasznos, mert konkrét fizikai analógiákkal egészíti ki az algebrát. Négy részre szervezem: bontás , oszcilláció , energia és szimmetria .
Bomlás
A körút mentén mozgó részecske helyzetét két félig kívülről le lehet írni fázis szinusz hullámok – vagy ekvivalensen, szinusz és koszinusz hullám:
( keresztül )
Ezt könnyű levezetni: tegyük fel, hogy a részecske állandó szögsebességgel mozog $ \ omega $ körül egy $ r sugarú kör körül. Ezután $ \ theta = \ omega t $, és az alap trigonometria azt mondja, hogy a $ \ theta $ adott részecske helyzete adott $ x = r \ cos \ theta $ és $ y = r \ sin \ theta $ által itute $ x = r \ cos (\ omega t) $ és $ y = r \ sin (\ omega t) $ megszerzéséhez.
Oszcilláció
Kiderült, hogy van még egyfajta mozgás, amelyet szinuszhullámok írnak le: egy oszcillációja súly egy rugón . Egy ilyen rendszerben
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
ahol $ A $ az amplitúdó (azaz a rugó maximális hossza és a pihenő hossza közötti különbség), $ k $ a rugó erőállandója, Hooke törvénye alapján, és $ m $ természetesen a tömeg. Ehhez az egyenlethez a szokásos módon nemcsak számításokra, hanem differenciálegyenletekre is szükség van – ezért arra kérem Önt, hogy egy kicsit későbbig vegye be a szavam.
Céljainkhoz ez azt jelenti, hogy a keringő részecske mechanikáját két oszcilláló rugóval lehet szimulálni: az egyik a $ x $ komponensre, a másik pedig a $ y $ komponensre, amely megegyezik az elsővel, de félig kívül van vele.Hogy megnézze, hogyan néz ki, nézzen vissza a fenti animációra, és tegyen úgy, mintha a kék pont és a piros pont olyan rugókhoz lenne rögzítve, amelyek pihenéskor 0 dollárnál vannak.
Most, hogy megvan ez a tavaszi modell, felhasználhatjuk arra, hogy meghatározzuk a részecskére a $ x $ tengely mentén kifejtett erőt! Hooke törvénye szerint a rugó által a csatolt súlyra kifejtett erő $ F = -kx $. Próbáljuk meg ezt a képletet használni a a részecske gyorsulása, amikor a $ x $ rugó maximális hossza. Tudjuk, hogy maximális hossza ebben az esetben $ r $ lesz – ez felel meg annak a pillanatnak, amikor a részecske $ x = r, y = 0 $ értéken van. És tudjuk, hogy $ F = ma $. Tehát helyettesítéssel $ ma = -kr $; osszuk el $ m $ -val, és
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
A munkánk félig kész. De most új problémánk van: nem tudjuk, mi az a $ k $ – elvégre nincs tényleges tavasz, így semmit sem tudunk mérni. Tudnunk kell, hogy a tavaszi $ k $ értéke mekkora akkor lesz, ha ugyanúgy mozog, mint a részecske a $ x $ tengely mentén. A probléma megoldásához el kell kezdenünk gondolkodni a természetvédelmi törvényeken.
Energia
Let ” s azon gondolkodunk, mi történik, amikor a $ x $ rugó leng. Ha a rugó $ x = r $ -nál van, akkor a legnagyobb erőt fejti ki a részecskén, de a részecske egyáltalán nem mozog. Ez a hullám csúcsán van. Ez azt jelenti, hogy $ v = 0 $. pont, az az erő, amelyet a rugó a részecskére gyakorol, 0 $ -ról $ legnagyobb sebességre gyorsítja fel a $ -v_ \ text {max} $ sebességet. 1 És mire a részecske eléri az $ x = 0 értéket $, a tavasz nem fog erőt kifejteni; ez a rugó nyugalmi állapota. Mivel a tavasz nem alkalmaz erőt, elértük a $ -v_ \ text {max} $ értéket – a jövőbeli gyorsulás iránya ellenkező irányba, lassítva a részecskét, amíg el nem éri a $ x = -r $ értéket.
Ez tehát azt jelenti, hogy $ x = r $ értéknél $ F = -F_ \ text {max} $ , $ a = -a_ \ text {max} $, és $ v = 0 $. A $ x = 0 $ értéknél $ F = 0 $, $ a = 0 $ és $ v = -v_ \ text {max} $ van.
Itt vannak a következők: a rendszer energiája előre és hátra mozog a maximális mozgási energia ($ x = 0 $ értéknél, amikor a rugó egyáltalán nincs kifeszítve vagy összenyomva) és a maximális potenciális energia ($ x = r $ értéknél, amikor a rugó teljesen kifeszül) ). És az energiamegtakarítás miatt ennek a két maximumnak egyenlőnek kell lennie; más szóval: $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $.
A kinetikus energia képlete $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ – ez az alapvető newtoni mechanika. Mi ebben az esetben a $ P $ képlete? Ez a levezetés legnehezebb része. A tavasszal tárolt potenciális energia megegyezik a negatív munka mennyiségével, amelyet annak $ x = r $ -ra nyújtására végeztek. Tehát emlékeznünk kell a munka képletére: $ W = Fd $, ahol $ d $ a megtett távolságot jelenti – vagyis $ x $, feltételezve, hogy $ x = 0 $ -nál indulunk. De akkor van egy problémánk. A $ F = -kx $ nem állandó – ez a $ x $ függvénye.
Ez általában azt jelentené, hogy számításokat kell végeznünk. De szerencsére a $ F = -kx $ egy lineáris függvény, így a kívánt érték megegyezik a $ x $ tengely és a $ F = -kx $ egyenes által alkotott háromszög területével:
( keresztül )
A fenti diagramban $ k = 1 $, a megtett távolság $ d = x_ \ text {max} = 1 $, és az adott háromszög területe azt az értéket jelöli, amelyet akkor kap, ha $ F (x) $ -ot megszoroz a megtett távolsággal, alkalmazkodva az $ F $ értékében bekövetkező változásokhoz, ahogy a távolság növekszik. \ text {max} $ és a háromszög alapja $ x_ \ text {max} $, egyszerűen használhatunk sima régi geometriát. A háromszög területe $ \ rm \ frac {1} {2} base \ times magasság $ – vagy itt, mert $ x_ \ text {max} = r $
$$ W = – \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
És mivel erős az ial energia megegyezik a negatív munkával :
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Nem érdekes, mennyire hasonlít a $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ -ra? Ha elgondolkodik ezen egy ideig, és úgy véli, hogy az $ E + P $ értéknek állandó értéknek kell lennie, akkor elkezdheti felismerni, hogy egy oszcilláló rugó miért követ szinuszos utat! (Tipp: írjuk meg a kör képletét, de a $ r $ helyett $ \ sqrt {E + P} $ -ot, a $ y $ helyett pedig $ v $ -ot használjunk.)
De visszajöhet arra később. Nagyon közel vagyunk! $ V = v_ \ text {max} $ beállítása:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
Mi történik, ha $ k $ -ért megoldjuk?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ implikálja k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
Most ezt felvehetjük a fenti gyorsítási képletünkbe:
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
Kíváncsi lehet, miért jelenik meg a negatív jel ebben a verzióban. Emlékezzünk azonban arra, hogy a gyorsulás technikailag az elmozdulás ellentétes irányába mutat. Tehát amikor $ x = r, y = 0 $, a gyorsulás $ -r $ irányába mutat. Ha másképp lenne, a részecske kifelé gyorsulna! 2
Szimmetria
A levezetés utolsó lépése trükköt igényel. Azzal kezdtük, hogy a két dimenziós mozgást két egydimenziós komponens mentén mozgássá bontottuk. Ezután képzeletbeli rugókkal írtuk le a részecske mozgását a két komponens mentén. És most egy utolsó kérdés elé nézünk: hogyan válasszuk ki a $ x $ és $ y $ komponenseinket?
Nekik kell legyenek egymással derékszögben, de ez csak a csata fele – meg kell találnunk a kezdéshez szükséges “megfelelő helyet”, az “igazi” $ x $ koordinátát. A baj az, hogy nem tudunk “t”. A kör alakú út, amelyen a részecske mozog, forgásszimmetrikus. A körről semmi nem árulja el, hogy hol “indul” vagy “végződik”.
Ez azt jelenti, hogy a fenti gondolatmenet függetlenül attól, hogy hol kezdjük. Bármely pontot kiválaszthatunk a körből, mint $ x = 1, y = 0 $ pontot, és a fentiek érvényesek lesznek. Tehát bárhol is van a részecske, egyszerűen ezt a pontot állítjuk be $ x = r, y = 0 $ pontunkként, és minden más a helyére kerül.
Ha több munkát szeretnénk magunknak előteremteni, trigonometrikusan dolgozhatnánk ki a részleteket, a fenti képletek felhasználásával, a $ y $ tengelyhez igazítva, majd az $ x $ és $ y $ rekombinációjával. értékek vektor algebra segítségével. De nem kell – ebben az esetben a szimmetria érv erősebb.
1. Itt a „legnagyobb” valóban azt jelenti, hogy „a legtöbb negatív”, mert a részecske negatívban mozog. $ x $ irány. Ezek az értékek valóban $ -F_ \ text {max} $ és $ -v_ \ text {max} $ lesznek. Később, amikor a részecske ellenkező irányba mozog, ezek az értékek pozitívak lesznek.
2. A jelek megértése sok finom részletmunkát igényel; különösen meg kell értenie, hogy a negatív munka miért válik pozitív potenciális energiává. Ez is segít gondolkodni a $ r-n A $ vektorként (amelynek iránya van) nagysága helyett (amely nem “t”). Szerencsére a fizikai intuíció megbízható útmutatót nyújt ebben az esetben; ha valami nyilvánvalóan rosszul derül ki, ellenőrizze még egyszer gondolkodását.
Válasz
A konkáv utat, az ügynöknek erőt kell adnia az egyébként lineárisan mozgó tárgynak. Az objektum mozgása révén, külső erő hiányában, mindig az adott pillanatban halad vagy hajlamos a sebességvektor irányába haladni.
Tehát, amikor az objektumnak keresztbe kell állnia görbe pálya, a fő követelmény egy olyan erő bevezetése, amely úgy manipulálja a sebesség irányát, hogy az eredő lókusz a kívánt görbe vonal, különben az objektum egyenesen haladna. div id = “20d3fcfd61”>
Az erő iránya nyilvánvalóan a gyorsulás iránya vagy a sebesség időbeli változásának határértéke. Tehát az irány megtalálásához gondoljunk végtelenül kis helyzetre.
Hagyjuk rövid ideig $ \ Delta t $, a megtett távolság $ v (t) \ Delta t $ egy kör alakú, $ r $ sugarú kör. Az áthúzott szög ekkor $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$.
Képzelje el a szög. Most vegye figyelembe az & párhuzamos sebességváltozásokat, amelyek merőlegesek erre a felezőre. Kezdetben a sebességnek van egy $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) összetevője $ távol a középponttól & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ keresztirányban. Utána van egy $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ a középső & felé $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ keresztirányban, mint korábban. Így a sebességváltozás nagysága $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ felé az ív közepe.
Mivel a $ \ Delta \ theta $ elenyészően kicsi, a $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ megkülönböztethető: $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $. Így tehetünk $$ | \ Delta v (t) | -t = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. És az irány a középpont felé tart. Így az erő forgatja a helyzetvektort az ívelt pálya mentén, és a változás sugárirányban befelé halad, függetlenül attól, hogy az óramutató járásával megegyező vagy az óramutató járásával ellentétes irányban követik-e.
A kép élénkebb lesz, ha polárkoordinátával számolunk.
Először a helyzetvektort írjuk $ \ mathbf {r} = r \ cdot \ mathbf e_r $. Most vegye figyelembe a $ \ mathbf {r} $ időbeli változását. Változása a $ \ Delta t $ során $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $. A $ e_r \, \ textrm {és} \, e _ {\ theta} $ kölcsönösen merőlegesek, az első sugárirányban kifelé a központból. Ezért a sebesség $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
A $ r = 1 $ beírásával $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \;. $ $
Hasonlóképpen, a $ \ theta $ módosítása $ \ mathbf e _ {\ theta} $ változását is magában foglalja. Látható, hogy $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – \ omega \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Most megkülönböztetjük a sebességet, $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – {\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Ez az eredmény automatikusan leesik a helyes irányban, amely ellentétes a $ \ mathbf e_r $ -val, azaz felé a központ sugárirányban.
Vélemény, hozzászólás?