En enkel avledning av Centripetal Acceleration Formula?
On januar 31, 2021 by adminKan noen vise meg en enkel og intuitiv avledning av Centripetal Acceleration Formula $ a = v ^ 2 / r $, helst en som ikke involverer kalkulator eller avansert trigonometri?
Svar
Se for deg et objekt som jevnlig krysser en sirkel med radius $ r $ sentrert på opprinnelsen. Positionen kan representeres av en vektor med konstant lengde som endrer vinkel. Den totale avstanden dekket i en syklus er $ 2 \ pi r $. Dette er også den akkumulerte mengden posisjon har endret seg med.
Tenk nå på hastighetsvektoren til dette objektet: den kan også representeres av en vektor med konstant lengde som jevnlig endrer retning. Denne vektoren har lengden $ v $, så den akkumulerte hastighetsendringen er $ 2 \ pi v $.
Akselerasjonens størrelse er da $ \ frac {\ text {endring i hastighet}} {\ text {forløpt tid}} $, som vi kan skrive som: $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left (\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \,. $$
QED
Bortsett fra: den avledningen brukes i mange algebra / trig-baserte lærebøker.
Kommentarer
- Legg merke til at endringen etter en hel sving i posisjon er også null. Det vi er interessert i her, er virkelig gjennomsnittsverdien av den øyeblikkelige akselerasjonen, men for å få det kreves kalkulus (eller i det minste maskineriet til grenser), som OP-en ‘ ikke vil ha. Så i stedet vurderer vi ikke forskyvning men avstand og også ekvivalenten av avstand for hastighet (som ikke ‘ ikke har et konvensjonelt navn) i stedet for $ \ vec {v} _f – \ vec { v} _i $. Dette gir sentripetal akselerasjon for alle kurver (å vite $ r $ og $ v $), men vi må legge til » tverrgående » akselerasjon for hånd.
- Dette er en god forklaring, men kan noen forklare hvorfor den akkumulerte hastighetsendringen er 2 * pi * v?
- @Konseptualitet Så, ved antagelse om partikkelens hastighet er konstant, ikke sant? Men når den går rundt sirkelen, endres bevegelsesretningen. Det betyr at hastighetsvektoren holder samme lengde, men snur seg gjennom en hel sirkel. Spissen på hastighetsvektoren beskriver en sirkel med radius $ v $, så avstanden som spissen flyttet var $ 2 \ pi v $.
- @dmckee, i den samme trekantsikre, er hastighetsendringen bare avstanden mellom spissene til to hastighetsvektorer tegner hale mot hale. Men ville » delta v » rett og slett være null siden størrelsen er konstant? ——— hvordan mener du egentlig sikker på at retningsendringen uansett i grad?
- @ theenigma017 Vinkler er formelt dimensjonsløse (dette er grunnen til at vinkelhastighet og vinkelfrekvens er det samme målet i SI). Det er derfor $ 2 \ pi r $ er en avstand og ikke noe annet antall, noe som betyr at $ 2 \ pi v $ er en hastighet. De tre første kommentarene kan hjelpe, eller du kan bare tenke på dette som å sammenligne avstand og hastighet.
Svar
I rettvinklet trekant ABC \ begin {ligning} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {equation} Hvis \ begin {equation} \ theta \ tag {02} \ end {equation} er liten \ begin {ligning} v (t) \ approx v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { ligning} \ begin {ligning} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {ligning} For liten vinkel \ begin {ligning} \ delta \ theta \ approx Sin {\ delta \ theta} \ tag {04} \ end {ligning} Så omorganiserer du \ begynner {ligning} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ times \ vec v \ tag {05} \ end {equation} \ begin {ligning } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ times \ vec v \ tag {06} \ end {ligning} \ begin {ligning } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ times \ vec v \ tag {07} \ end {equation}
\ begin {ligning} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {08} \ end {equation}
\ begin {equation} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {ligning}
\ begin {ligning} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ ganger \ vec v \ tag {10} \ slutt {ligning}
\ begin {equation} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {equation} Og siden \ begin {ligning} \ mathbf {v} = \ omega \ times r \ tag {12} \ end {equation} Så \ begin {equation} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {equation}
Kommentarer
- Med en liten vinkelgrense er dette , selvfølgelig, riktig avledning. Men du vil kanskje være eksplisitt at $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $ er riktig i den grensen. Jeg har blandet suksess i klasserommet med denne avledningen (og med den jeg også brukte).
- Hvorfor er $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (vektor) = en vinkel * hastighet? hva er intuisjonen? også brukt i svaret ovenfor
- @Allawonder har du trent det? Jeg sitter fast ved det samme spørsmålet.
Svar
Du kan gjøre denne avledningen ved å bryte posisjonen til kretser partikkel ned i komponenter. Det er ikke kort, men jeg tror det er nyttig fordi det supplerer algebraen med konkrete fysiske analogier. Jeg organiserer det i fire deler: nedbrytning , svingning , energi , og symmetri .
Nedbrytning
Posisjonen til en partikkel som beveger seg langs en sirkulær bane kan beskrives med to halv-ut-av- fase sinusbølger – eller tilsvarende, en sinusbølge og en cosinusbølge:
( via )
Dette er lett å utlede: antar partikkelen beveger seg med en konstant vinkelhastighet $ \ omega $ rundt en sirkel med radius $ r $. Deretter $ \ theta = \ omega t $, og grunnleggende trigonometri forteller oss at posisjonen til partikkelen gitt $ \ theta $ er gitt av $ x = r \ cos \ theta $ og $ y = r \ sin \ theta $. Vi kan subst itute å få $ x = r \ cos (\ omega t) $ og $ y = r \ sin (\ omega t) $.
Oscillasjon
Det viser seg at det er en annen slags bevegelse som er beskrevet av sinusbølger: svingningen av en vekt på en fjær . I et slikt system,
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
hvor $ A $ er amplituden (dvs. forskjellen mellom fjærens maksimale lengde og hvilelengden), $ k $ er vårens kraftkonstant, fra Hookes lov, og $ m $ er selvfølgelig massen. denne ligningen på vanlig måte krever ikke bare kalkulasjon, men også differensiallikninger – så jeg vil be deg om å ta mitt ord for det til litt senere.
For våre formål betyr dette at mekanikken til den kretsende partikkelen kan simuleres av to oscillerende fjærer: en for $ x $ -komponenten, og en for $ y $ -komponenten som er identisk med den første, men det er halv-ut-av-fase med den.For å se hvordan dette ser ut, se tilbake på animasjonen ovenfor, og la som den blå prikken og den røde prikken er festet til fjærer som er på $ 0 $ når du hviler.
Nå som vi har denne vårbaserte modellen, kan vi bruke den til å bestemme kraften som påføres partikkelen langs $ x $ aksen! Ved Hookes lov er kraften en fjær utøver på en vedlagt vekt $ F = -kx $. La oss prøve å bruke den formelen for å bestemme akselerasjon av partikkelen når $ x $ fjæren er på maksimal lengde. Vi vet at den maksimale lengden vil være $ r $ i dette tilfellet – dette tilsvarer øyeblikket når partikkelen er på $ x = r, y = 0 $. Og vi vet at $ F = ma $. Så ved erstatning, $ ma = -kr $; divider med $ m $, og
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
Vårt arbeid er halvparten ferdig. Men nå har vi et nytt problem: vi vet ikke hva $ k $ er – det er tross alt ingen faktisk vår, så vi kan ikke måle noe. Vi må vite hvilken verdi av $ k $ en vår vil ha hvis den beveger seg på samme måte som partikkelen gjør langs $ x $ aksen. For å løse dette problemet, må vi begynne å tenke på bevaringslover.
Energi
La » s tenk på hva som skjer når $ x $ våren svinger. Når fjæren er på $ x = r $, utøver den den største kraften på partikkelen, men partikkelen beveger seg ikke i det hele tatt. Dette er rett ved toppen av bølgen. Det betyr $ v = 0 $. Fra det punktet, vil kraften som våren gjelder partikkelen akselerere den fra $ 0 $ til den største hastigheten $ -v_ \ text {max} $. 1 Og når partikkelen når $ x = 0 $, fjæren vil ikke bruke noen kraft; det er vårens hviletilstand. Siden våren ikke bruker kraft, har vi nådd $ -v_ \ text {max} $ – retningen for fremtidig akselerasjon vil være i motsatt retning, sakte ned partikkelen til den når $ x = -r $.
Så dette betyr at vi ved $ x = r $ har $ F = -F_ \ text {max} $ , $ a = -a_ \ text {max} $, og $ v = 0 $. Og til $ x = 0 $ har vi $ F = 0 $, $ a = 0 $ og $ v = -v_ \ text {max} $.
Her er hva som skjer: energien i systemet beveger seg frem og tilbake mellom maksimal kinetisk energi (ved $ x = 0 $ når fjæren ikke er strukket eller komprimert i det hele tatt) og maksimal potensiell energi (ved $ x = r $, når våren er helt strukket ). Og på grunn av energibesparelse, må disse to maksimumene være like; med andre ord, $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $.
Formelen for kinetisk energi er $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ – det er den grunnleggende newtonske mekanikken. Hva er formelen for $ P $ i dette tilfellet? Dette er den vanskeligste delen av avledningen. Den potensielle energien som er lagret på våren er lik mengden negativt arbeid som er gjort for å strekke den til $ x = r $. Så vi må huske formelen for arbeid: $ W = Fd $, hvor $ d $ står for tilbakelagt avstand – dvs. $ x $, forutsatt at vi starter på $ x = 0 $. Men så har vi et problem. $ F = -kx $ er ikke konstant – det er en funksjon på $ x $.
Generelt sett vil dette bety at vi må gjøre kalkulator. Men heldigvis er $ F = -kx $ en lineær funksjon, og verdien vi ønsker er lik arealet av trekanten dannet av $ x $ aksen og linjen $ F = -kx $:
( via )
I diagrammet ovenfor, $ k = 1 $, tilbakelagt avstand $ d = x_ \ text {max} = 1 $, og området til den gitte trekanten representerer verdien du får når du multipliserer $ F (x) $ med tilbakelagt avstand, og justerer for endringer i verdien på $ F $ når avstanden øker. Men siden høyden på trekanten er $ -kx_ \ text {max} $ og bunnen av trekanten er $ x_ \ text {max} $, vi kan bare bruke vanlig gammel geometri. Området i en trekant er $ \ rm \ frac {1} {2} base \ ganger høyde $ – eller her fordi $ x_ \ text {max} = r $
$$ W = – \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Og siden potent ial energi er lik negativt arbeid :
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Er det ikke interessant hvor lik $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $? Hvis du tenker på det en stund, og vurderer at $ E + P $ må være en konstant verdi, kan du kanskje begynne å innse hvorfor en svingende fjær følger en sinusformet vei! (Tips: skriv formelen for en sirkel, men bruk $ \ sqrt {E + P} $ i stedet for $ r $, og $ v $ i stedet for $ y $.)
Men du kan komme tilbake til det senere. Vi er veldig nærme! Angi $ v = v_ \ text {max} $:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
Hva skjer når vi løser for $ k $?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ innebærer kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ innebærer k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
Nå kan vi erstatte det i vår formel for akselerasjon ovenfor:
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
Du lurer kanskje på hvorfor det negative tegnet vises i denne versjonen. Men husk at akselerasjonen er teknisk i motsatt retning av forskyvningen. Så når $ x = r, y = 0 $, er akselerasjonen i retning $ -r $. Hvis det ikke var noe annet, ville partikkelen akselerere utover! 2
Symmetry
Det siste trinnet i denne utledningen krever et triks. Vi begynte med å bryte bevegelse i to dimensjoner til bevegelse langs to endimensjonale komponenter. Vi brukte deretter imaginære fjærer for å beskrive partikkelens bevegelse langs de to komponentene. Og nå står vi overfor et siste spørsmål: hvordan velger vi $ x $ og $ y $ komponentene?
De må være i rette vinkler mot hverandre, men det er bare halvparten av kampen – vi må finne det «rette stedet» å starte, den «virkelige» $ x $ koordinaten. Problemet er at vi kan «t. Den sirkulære banen langs hvilken partikkelen beveger seg er rotasjonssymmetrisk. Det er ingenting om sirkelen som forteller oss hvor den» starter «eller» slutter. »
Dette betyr at ovennevnte resonnement holder uansett hvor vi begynner. Vi kan velge hvilket som helst punkt i sirkelen som $ x = 1, y = 0 $ poeng, og ovenstående vil være gyldig. Så uansett hvor partikkelen er, setter vi ganske enkelt det punktet som vårt $ x = r, y = 0 $ punkt, og alt annet faller på plass.
Hvis vi ønsket å gjøre mer arbeid for oss selv, kunne vi trene detaljene trigonometrisk ved å bruke formlene ovenfor, justere dem for $ y $ aksen, og deretter kombinere $ x $ og $ y $ verdier ved hjelp av vektoralgebra. Men vi trenger ikke – symmetriargumentet er kraftigere i dette tilfellet.
1. Her betyr «største» virkelig «mest negativt», fordi partikkelen beveger seg negativt $ x $ retning. Disse verdiene vil virkelig være $ -F_ \ text {max} $ og $ -v_ \ text {max} $. Senere, når partikkelen beveger seg i motsatt retning, vil disse verdiene være positive.
2. Å gi mening om tegnene krever mye subtil detaljarbeid, spesielt må du forstå hvorfor negativt arbeid blir positiv potensiell energi. Det hjelper også å tenke på $ r $ som en vektor (som har en retning) i stedet for en størrelse (som ikke «t»). Heldigvis gir fysisk intuisjon en pålitelig guide i dette tilfellet; hvis noe viser seg å være åpenbart galt, dobbeltsjekk tankegangen.
Svar
For å bevege deg gjennom en konkav bane, må en agent overføre kraft til ellers et lineært bevegelig objekt. Objektet, i kraft av sin bevegelse, under fravær av ekstern kraft, beveger seg alltid eller har en tendens til å bevege seg i retning av hastighetsvektoren i det aktuelle øyeblikket.
Så når objektet må krysse en kurvebane, er hovedforutsetningen innføring av en kraft som manipulerer hastighetsretningen slik at det resulterende locus er den nødvendige krøllete banen, ellers ville objektet bevege seg rett.
Kraftens retning er tydeligvis retningen til akselerasjonen eller grensen for hastighetsendring med hensyn til tid. Så, for å finne retningen, la oss tenke på en uendelig liten situasjon.
La i kort tid $ \ Delta t $, den tilbakelagte avstanden er $ v (t) \ Delta t $ langs en sirkelbue med radius $ r $. Den kryssede vinkelen blir da $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$.
Se for deg halvsnittet til vinkel. Vurder nå endringene i hastighetsparallell & vinkelrett på denne halveringslinjen. Opprinnelig har hastigheten en komponent $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ vekk fra sentrum & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ på tvers. Etterpå har den en komponent $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ mot sentrum & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ på tvers som før. Dermed er hastighetsendringen av størrelsen $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ mot sentrum av buen.
Da $ \ Delta \ theta $ er forsvinnende liten, blir $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ i skiller seg ut som $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $. Dermed kan vi sette $$ | \ Delta v (t) | = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. Og retningen er mot sentrum. Dermed roterer kraften posisjonsvektoren langs den buede banen, og endringen er radialt innover uavhengig av om den blir sporet med eller mot urviseren.
Bildet blir mer levende hvis vi beregner med polarkoordinat.
Først skriver vi posisjonsvektoren som $ \ mathbf {r} = r \ cdot \ mathbf e_r $. Vurder nå endringen av $ \ mathbf {r} $ med tiden. Endringen i løpet av $ \ Delta t $ er $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $. $ e_r \, \ textrm {and} \, e _ {\ theta} $ er gjensidig vinkelrett, den første er radielt utover fra sentrum. Derfor er hastigheten $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
Ved å sette $ r = 1 $ får vi $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \;. $ $
Tilsvarende innebærer en endring av $ \ theta $ en endring av $ \ mathbf e _ {\ theta} $. Det kan sees at $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – \ omega \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Nå skiller vi hastigheten, $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – {\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Dette resultatet faller automatisk ned med riktig retning som er motsatt av $ \ mathbf e_r $ dvs. mot sentrum radielt.
Legg igjen en kommentar