Jednoduchý původ vzorce dostředivého zrychlení?
On 31 ledna, 2021 by adminMohl by mi někdo ukázat jednoduchou a intuitivní derivaci Centripetal Acceleration Formula $ a = v ^ 2 / r $, nejlépe takovou, která nezahrnuje kalkul nebo pokročilá trigonometrie?
Odpověď
Představte si objekt, který neustále prochází kruhem o poloměru $ r $ soustředěném na počátek. Její polohu lze vyjádřit vektorem konstantní délky, který mění úhel. Celková ujetá vzdálenost v jednom cyklu je $ 2 \ pi r $. Toto je také kumulované množství, o které se poloha změnila ..
Nyní zvažte vektor rychlosti tohoto objektu: může být také reprezentován vektorem s konstantní délkou, který stabilně mění směr. Tento vektor má délku $ v $, takže akumulovaná změna rychlosti je $ 2 \ pi v $.
Velikost zrychlení je pak $ \ frac {\ text {změna rychlosti}} {\ text {uplynulý čas}} $, které můžeme zapsat jako: $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left (\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \,. $$
QED
Kromě toho: tato derivace se používá v mnoha učebnicích založených na algebře / trig.
Komentáře
- Všimněte si, že po jednom úplném otočení bude změna v pozici je také nula. To, co nás zde zajímá, je skutečně průměrná hodnota okamžitého zrychlení, ale k jejímu získání je zapotřebí kalkul (nebo alespoň mechanismus limity), které OP ‚ nechce. Místo toho tedy nepovažujeme posunutí, ale vzdálenost a také ekvivalent vzdálenosti pro rychlost (která ‚ nemá konvenční název) spíše než $ \ vec {v} _f – \ vec { v} _i $. To dává dostředivé zrychlení pro všechny křivky (s vědomím $ r $ a $ v $), ale musíme přidat “ příčné “ zrychlení ručně.
- Toto je skvělé vysvětlení, ale mohl by někdo vysvětlit, proč je akumulovaná změna rychlosti 2 * pi * v?
- @Conceptuality Takže, za předpokladu, že rychlost částice je konstantní, že? Ale jak to jde kolem kruhu, jeho směr pohybu se mění. To znamená, že vektor rychlosti udržuje stejnou délku, ale otáčí se celým kruhem. Špička vektoru rychlosti popisuje kruh o poloměru $ v $, takže vzdálenost, kterou se špička pohybovala, byla $ 2 \ pi v $.
- @dmckee, v podobném trojúhelníkovém důkazu je změna rychlosti jednoduše vzdálenost mezi špičkami dvou rychlostních vektorů kreslí od ocasu. Ale “ delta v “ by prostě byla nulová, protože velikost je konstantní? ——— jak to opravdu myslíte určitě změna směru ve stupních?
- @ theenigma017 Úhly jsou formálně bezrozměrné (proto jsou úhlová rychlost a úhlová frekvence v SI stejné míry). Proto je $ 2 \ pi r $ vzdálenost a ne nějaká jiná veličina, což znamená, že $ 2 \ pi v $ je rychlost. První tři komentáře mohou pomoci, nebo o tom můžete uvažovat jako o porovnání vzdálenosti a rychlosti.
Odpověď
V pravoúhlém trojúhelníku ABC \ begin {rovnice} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {equation} If \ begin {equation} \ theta \ tag {02} \ end {equation} je malý \ begin {equation} v (t) \ přibližně v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { equation} \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {equation} Pro malý úhel \ begin {equation} \ delta \ theta \ cca Sin {\ delta \ theta} \ tag {04} \ end {equation} Takže při přeskupování \ begin {equation} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ times \ vec v \ tag {05} \ end {equation} \ begin {rovnice } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ times \ vec v \ tag {06} \ end {rovnice} \ begin {rovnice } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ times \ vec v \ tag {07} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ značka {08} \ end {rovnice}
\ begin {rovnice} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {rovnice}
\ begin {rovnice} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ times \ vec v \ tag {10} \ end {rovnice}
\ begin {equation} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {equation} A od \ begin {rovnice} \ mathbf {v} = \ omega \ times r \ tag {12} \ end {equation} Takže \ begin {equation} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {equation}
Komentáře
- S malým omezením úhlu je to samozřejmě správné odvození. Možná však budete chtít výslovně uvést, že $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $ je v tomto limitu správný. S touto derivací (a také s tou, kterou jsem použil) jsem ve třídě smíšil úspěch.
- Proč je $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (vektor) = úhel * rychlost? jaká je intuice? také použito ve výše uvedené odpovědi
- @ Allawonder vypracovali jste to? Jsem na stejné otázce.
Odpovědět
Tuto derivaci můžete provést rozbitím polohy obíhající částice dolů do složek. Není to krátké, ale myslím si, že je to užitečné, protože doplňuje algebru konkrétními fyzikálními analogiemi. Uspořádám to do čtyř částí: rozklad , oscilace , energie a symetrie .
Dekompozice
Polohu částice pohybující se po kruhové dráze lze popsat dvěma polovičními fázové sinusové vlny – nebo ekvivalentně sinusová vlna a kosinová vlna:
( přes )
To lze snadno odvodit: předpokládejme částice se pohybuje konstantní úhlovou rychlostí $ \ omega $ kolem kruhu o poloměru $ r $. Potom $ \ theta = \ omega t $ a základní trigonometrie nám říká, že poloha dané částice $ \ theta $ je dána o $ x = r \ cos \ theta $ a $ y = r \ sin \ theta $. Můžeme subst itute získat $ x = r \ cos (\ omega t) $ a $ y = r \ sin (\ omega t) $.
Oscilace
Ukázalo se, že existuje další druh pohybu popsaný sinusovými vlnami: oscilace hmotnost na pružině . V takovém systému
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
kde $ A $ je amplituda (tj. rozdíl mezi maximální délkou pružiny a její klidovou délkou), $ k $ je silová konstanta pružiny, podle Hookova zákona, a $ m $ je samozřejmě hmotnost. tato rovnice obvyklým způsobem vyžaduje nejen kalkul, ale také diferenciální rovnice – takže vás požádám, abyste si toho vzal za slovo, až o něco později.
Pro naše účely to znamená, že mechaniku obíhající částice lze simulovat dvěma oscilačními pružinami: jednou pro komponentu $ x $ a druhou pro komponentu $ y $, která je identická s první, ale je s ní napůl mimo fázi.Chcete-li si představit, jak to vypadá, podívejte se zpět na animaci výše a předstírejte, že modrá a červená tečka jsou připevněny k pružinám, které jsou při odpočinku na 0 $.
Nyní, když máme tento pružinový model, můžeme jej použít k určení síly aplikované na částici podél osy $ x $! Podle Hookova zákona je síla, kterou pružina působí na připojenou váhu, $ F = -kx $. Zkusme použít tento vzorec k určení zrychlení částice, když je pružina $ x $ na své maximální délce. Víme, že jeho maximální délka bude v tomto případě $ r $ – to odpovídá okamžiku, kdy je částice na $ x = r, y = 0 $. A víme, že $ F = ma $. Substitucí tedy $ ma = -kr $; vydělte $ m $ a
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
Naše práce je z poloviny hotová. Ale teď máme nový problém: nevíme, co je $ k $ – koneckonců neexistuje skutečné jaro, takže nemůžeme nic měřit. Potřebujeme vědět, jakou hodnotu $ k $ jaro bude mít, pokud se bude pohybovat stejným způsobem jako částice podél osy $ x $. Abychom tento problém vyřešili, musíme začít přemýšlet o zákonech zachování.
Energie
Nechť “ Přemýšlejte o tom, co se stane, když pružina $ x $ osciluje. Když je pružina na $ x = r $, vyvíjí největší sílu na částici, ale částice se vůbec nepohybuje. To je přímo na vrcholu vlny. To znamená $ v = 0 $. Z toho bod, síla, kterou pružina aplikuje na částice, ji zrychlí z $ 0 $ na její největší rychlost $ -v_ \ text {max} $. 1 A v době, kdy částice dosáhne $ x = 0 $, pružina nebude vyvíjet žádnou sílu; to je klidový stav pružiny. Protože pružina nevyvíjí žádnou sílu, dosáhli jsme $ -v_ \ text {max} $ – směr budoucího zrychlení bude v opačném směru, zpomalení částice, dokud nedosáhne $ x = -r $.
Takže to znamená, že v $ x = r $ máme $ F = -F_ \ text {max} $ , $ a = -a_ \ text {max} $ a $ v = 0 $. A na $ x = 0 $ máme $ F = 0 $, $ a = 0 $ a $ v = -v_ \ text {max} $.
Co se děje: energie v systému se pohybuje tam a zpět mezi maximální kinetickou energií (na $ x = 0 $, když pružina není vůbec natažená nebo stlačená) a maximální potenciální energií (na $ x = r $, když je pružina plně natažená ). A kvůli zachování energie musí být tato dvě maxima stejná; jinými slovy, $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $.
Vzorec pro kinetickou energii je $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ – to je základní newtonovská mechanika. Jaký je vzorec pro $ P $ v tomto případě? Toto je nejtěžší část odvození. Potenciální energie uložená na jaře se rovná množství negativní práce provedené k jejímu roztažení na $ x = r $. Musíme si tedy zapamatovat vzorec pro práci: $ W = Fd $, kde $ d $ znamená ujetou vzdálenost – tj. $ X $, za předpokladu, že začneme od $ x = 0 $. Ale pak máme problém. $ F = -kx $ není konstantní – je to funkce $ x $.
Obecně by to znamenalo, že musíme udělat kalkul. Ale naštěstí $ F = -kx $ je lineární funkce, a tedy hodnota, kterou chceme, se rovná ploše trojúhelníku tvořeného osou $ x $ a přímkou $ F = -kx $:
( přes )
Ve výše uvedeném grafu $ k = 1 $, ujetá vzdálenost $ d = x_ \ text {max} = 1 $ a oblast daného trojúhelníku představuje hodnotu, kterou získáte, když vynásobíte $ F (x) $ ujetou vzdáleností a upravíte ji podle změn v hodnotě $ F $, jak se vzdálenost zvětší. Ale protože výška trojúhelníku je $ -kx_ \ text {max} $ a základ trojúhelníku je $ x_ \ text {max} $, stačí použít obyčejnou starou geometrii. Plocha trojúhelníku je $ \ rm \ frac {1} {2} základna \ krát výška $ – nebo zde, protože $ x_ \ text {max} = r $
$$ W = – \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
A protože silný ial energie se rovná negativní práci :
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Není zajímavé, jak podobné je to $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $? Pokud o tom chvíli přemýšlíte a myslíte si, že $ E + P $ musí být konstantní hodnotou, můžete si začít uvědomovat, proč oscilační pružina sleduje sinusovou dráhu! (Rada: napište vzorec pro kruh, ale místo $ r $ použijte $ \ sqrt {E + P} $ a místo $ y $ $ v $.)
Ale můžete se vrátit k tomu později. Jsme si velmi blízcí! Nastavení $ v = v_ \ text {max} $:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
Co se stane, když vyřešíme za $ k $?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ implikuje kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ implikuje k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
Nyní to můžeme dosadit do našeho vzorce pro zrychlení výše:
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
Možná vás zajímá, proč se v této verzi zobrazuje záporné znaménko. Ale připomeňme, že zrychlení je technicky v opačném směru posunutí. Takže když $ x = r, y = 0 $, zrychlení je ve směru $ -r $. Pokud by to bylo jinak, částice by se zrychlovala směrem ven! 2
Symetrie
Poslední krok této derivace vyžaduje trik. Začali jsme rozdělením pohybu ve dvou dimenzích na pohyb podél dvou jednorozměrných komponent. Poté jsme pomocí imaginárních pružin popsali pohyb částice podél těchto dvou složek. A nyní stojíme před poslední otázkou: jak vybereme naše komponenty $ x $ a $ y $?
Musí být v pravém úhlu k sobě navzájem, ale to je jen polovina bitvy – musíme najít „správné místo“, abychom mohli začít, „skutečnou“ souřadnici $ x $. Problém je v tom, že nemůžeme „t. Kruhová dráha, po které se částice pohybuje, je rotačně symetrická. Na kruhu není nic, co by nám říkalo, kde„ začíná “nebo„ končí “.
To znamená, že výše uvedená úvaha platí bez ohledu na to, kde začneme. Můžeme vybrat libovolný bod v kruhu jako bod $ x = 1, y = 0 $ a výše uvedené bude platné. Takže kdekoli je částice, jednoduše nastavíme tento bod jako náš bod $ x = r, y = 0 $ a vše ostatní zapadne na místo.
Pokud bychom chtěli více pracovat pro sebe, mohli bychom podrobnosti vypočítat trigonometricky, pomocí výše uvedených vzorců, upravit je pro osu $ y $ a poté rekombinovat $ x $ a $ y $ hodnoty pomocí vektorové algebry. Ale to nemusíme – argument symetrie je v tomto případě silnější.
1. Zde „největší“ ve skutečnosti znamená „nejvíce negativní“, protože částice se pohybuje v záporném směru $ x $ direction. Tyto hodnoty budou skutečně $ -F_ \ text {max} $ a $ -v_ \ text {max} $. Později, když se částice bude pohybovat v opačném směru, budou tyto hodnoty kladné.
2. Pochopení znamení vyžaduje spoustu jemných detailních prací; musíte zejména pochopit, proč se negativní práce stává pozitivní potenciální energií. Pomáhá také přemýšlet o $ r $ jako vektor (který má směr) namísto velikosti (která „není“). Naštěstí v tomto případě poskytuje spolehlivá příručka fyzická intuice; pokud se něco ukáže zjevně špatně, zkontrolujte své myšlení.
Odpovědět
Chcete-li procházet konkávní cesta, agent musí dodat sílu lineárně se pohybujícímu objektu. Objekt, na základě svého pohybu, za nepřítomnosti jakékoli vnější síly, vždy cestuje nebo má tendenci cestovat ve směru vektoru rychlosti v daném okamžiku.
Takže, když objekt musí procházet napříč trajektorie křivky, hlavním předpokladem je zavedení síly, která manipuluje se směrem rychlosti tak, že výsledným místem je požadovaná křivočará dráha, jinak by objekt cestoval rovně.
Směr síly je evidentně směr zrychlení nebo limit změny rychlosti vzhledem k času. Abychom tedy našli směr, pojďme myslet na nekonečně malou situaci.
Pojďme na krátkou dobu $ \ Delta t $, ujetá vzdálenost je $ v (t) \ Delta t $ podél kruhový oblouk o poloměru $ r $. Příčný úhel je pak $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$.
Představte si přímku úhel. Nyní zvažte změny rychlosti paralelně & kolmé na tuto půlu. Zpočátku má rychlost složku $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ od středu & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ příčně. Poté má komponentu $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ směrem k středu & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ příčně jako dříve. Změna rychlosti je tedy o velikosti $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ směrem k střed oblouku.
Protože $ \ Delta \ theta $ je marně malý, $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ se stává v rozlišitelné jako $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $. Můžeme tedy dát $$ | \ Delta v (t) | = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. A směr je do středu. Síla tedy rotuje polohový vektor podél zakřivené trajektorie a změna je radiálně směrem dovnitř bez ohledu na to, zda je sledována ve směru nebo proti směru hodinových ručiček.
Obrázek se stane živějším, pokud vypočítáme pomocí polární souřadnice.
Nejprve zapíšeme poziční vektor jako $ \ mathbf {r} = r \ cdot \ mathbf e_r $. Nyní zvažte časovou změnu $ \ mathbf {r} $. Jeho změna během $ \ Delta t $ je $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $. $ e_r \, \ textrm {a} \, e _ {\ theta} $ jsou vzájemně kolmé, přičemž první je ven radiálně od centra. Proto je rychlost $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
Zadáním $ r = 1 $ získáme $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \;. $ $
Podobně změna $ \ theta $ implikuje změnu $ \ mathbf e _ {\ theta} $. Je vidět, že $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – \ omega \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Nyní rozlišujeme rychlost, $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – {\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Tento výsledek padá automaticky se správným směrem, který je opačný k $ \ mathbf e_r $, tj. směrem střed radiálně.
Napsat komentář