Una semplice derivazione della formula dellaccelerazione centripeta?
Su Gennaio 31, 2021 da adminQualcuno potrebbe mostrarmi una derivazione semplice e intuitiva della Formula di accelerazione centripeta $ a = v ^ 2 / r $, preferibilmente una che non coinvolge il calcolo o trigonometria avanzata?
Risposta
Immagina un oggetto che attraversi costantemente un cerchio di raggio $ r $ centrato sullorigine. La sua posizione può essere rappresentata da un vettore di lunghezza costante che cambia angolo. La distanza totale percorsa in un ciclo è $ 2 \ pi r $. Questa è anche la quantità accumulata di cui la posizione è cambiata ..
Consideriamo ora il vettore velocità di questo oggetto: può anche essere rappresentato da un vettore di lunghezza costante che cambia costantemente direzione. Questo vettore ha lunghezza $ v $, quindi la variazione di velocità accumulata è $ 2 \ pi v $.
Lentità dellaccelerazione è quindi $ \ frac {\ text {cambio di velocità}} {\ text {tempo trascorso}} $, che possiamo scrivere come: $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left (\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \,. $$
QED
A parte: questa derivazione è usata in molti libri di testo basati su algebra / trigonometria.
Commenti
- Notare che dopo un intero giro il cambiamento anche in posizione è zero. Quello che ci interessa qui è proprio il valore medio dellaccelerazione istantanea, ma per ottenerlo occorre il calcolo (o almeno il macchinario di limiti), cosa che ‘ non vuole. Quindi invece consideriamo non lo spostamento ma la distanza e anche lequivalente della distanza per la velocità (che ‘ non ha un nome convenzionale) piuttosto che $ \ vec {v} _f – \ vec { v} _i $. Questo fornisce laccelerazione centripeta per tutte le curve (conoscendo $ r $ e $ v $), ma dobbiamo aggiungere laccelerazione ” trasversale ” a mano.
- Questa è unottima spiegazione, ma qualcuno potrebbe spiegare perché la variazione di velocità accumulata è 2 * pi * v?
- @Conceptuality Quindi, supponendo che la velocità della particella è costante, giusto? Ma mentre gira intorno al cerchio, la sua direzione di movimento cambia. Ciò significa che il vettore velocità mantiene la stessa lunghezza ma gira attraverso un intero cerchio. La punta del vettore di velocità descrive un cerchio di raggio $ v $, quindi la distanza percorsa dalla punta era $ 2 \ pi v $.
- @dmckee, nella dimostrazione del triangolo simile, il cambiamento di velocità è semplicemente la distanza tra le punte di due vettori di velocità disegna coda a coda. Ma ” delta v ” sarebbe semplicemente zero poiché la magnitudine è costante? ——— come intendi veramente certo il cambio di direzione comunque in gradi?
- @ theenigma017 Gli angoli sono formalmente adimensionali (ecco perché la velocità angolare e la frequenza angolare sono la stessa misura in SI). Ecco perché $ 2 \ pi r $ è una distanza e non qualche altra quantità, il che significa che $ 2 \ pi v $ è una velocità. I primi tre commenti possono aiutare, oppure puoi pensare a questo come a un confronto tra distanza e velocità.
Risposta
Nel triangolo rettangolo ABC \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {equation} Se \ begin {equation} \ theta \ tag {02} \ end {equation} è piccolo \ begin {equation} v (t) \ approx v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { equation} \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {equation} Per piccoli angoli \ begin {equation} \ delta \ theta \ approx Sin {\ delta \ theta} \ tag {04} \ end {equation} Quindi, riorganizzando \ begin {equation} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ times \ vec v \ tag {05} \ end {equation} \ begin {equation } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ times \ vec v \ tag {06} \ end {equation} \ begin {equation } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ times \ vec v \ tag {07} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {08} \ end {equation}
\ begin {equation} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ times \ vec v \ tag {10} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {equation} E poiché \ begin {equation} \ mathbf {v} = \ omega \ times r \ tag {12} \ end {equation} Quindi \ begin {equation} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {equation}
Commenti
- Con un piccolo limite di angolo questo è , ovviamente, la derivazione corretta. Ma potresti voler essere esplicito che $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $ è corretto in quel limite. Ho un successo misto in classe con questa derivazione (e anche con quella che ho usato).
- Perché $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (vettore) = un angolo * velocità? qual è lintuizione? utilizzato anche nella risposta sopra
- @Allawonder hai risolto? Sono bloccato sulla stessa domanda.
Risposta
Puoi eseguire questa derivazione interrompendo la posizione del particelle orbitanti verso il basso nei componenti. Non è breve, ma penso sia utile perché integra lalgebra con analogie fisiche concrete. Lo organizzerò in quattro parti: decomposizione , oscillazione , energy e simmetria .
Decomposizione
La posizione di una particella che si muove lungo un percorso circolare può essere descritta da due metà fuori onde sinusoidali di fase o, equivalentemente, unonda sinusoidale e unonda coseno:
( tramite )
Questo è facile da dedurre: supponiamo la particella si muove a una velocità angolare costante $ \ omega $ attorno a un cerchio di raggio $ r $. Quindi $ \ theta = \ omega t $, e la trigonometria di base ci dice che è data la posizione della particella data $ \ theta $ per $ x = r \ cos \ theta $ e $ y = r \ sin \ theta $. Possiamo sostituire itute per ottenere $ x = r \ cos (\ omega t) $ e $ y = r \ sin (\ omega t) $.
Oscillazione
Si scopre che cè un altro tipo di movimento descritto dalle onde sinusoidali: loscillazione di un peso su una molla . In un tale sistema,
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
dove $ A $ è lampiezza (cioè la differenza tra la lunghezza massima della molla e la sua lunghezza di riposo), $ k $ è la costante di forza della molla, dalla legge di Hooke, e $ m $ è, ovviamente, la massa. questa equazione nel solito modo richiede non solo il calcolo, ma anche le equazioni differenziali, quindi ti chiederò di credermi sulla parola fino a un po più tardi.
Per i nostri scopi, questo significa che la meccanica della particella orbitante può essere simulata da due molle oscillanti: una per la componente $ x $ e laltra per la componente $ y $ che è identica alla prima, ma con essa è per metà sfasata.Per immaginare come appare, guarda lanimazione sopra e fingi che il punto blu e il punto rosso siano attaccati alle molle che si trovano a $ 0 $ a riposo.
Ora che abbiamo questo modello basato sulla molla, possiamo usarlo per determinare la forza applicata alla particella lungo lasse $ x $! In base alla legge di Hooke , la forza che una molla esercita su un peso attaccato è $ F = -kx $. Proviamo a utilizzare questa formula per determinare la accelerazione della particella quando la molla $ x $ è alla sua lunghezza massima. Sappiamo che la sua lunghezza massima sarà $ r $ in questo caso – questo corrisponde al momento in cui la particella è a $ x = r, y = 0 $. E sappiamo che $ F = ma $. Quindi, per sostituzione, $ ma = -kr $; dividi per $ m $ e
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
Il nostro lavoro è a metà. Ma ora abbiamo un nuovo problema: non sappiamo cosa sia $ k $ – dopotutto, non esiste una molla effettiva, quindi non possiamo misurare nulla. Dobbiamo sapere quale valore di $ k $ una molla avrà se si muove allo stesso modo della particella lungo lasse $ x $. Per risolvere questo problema, dobbiamo iniziare a pensare alle leggi di conservazione.
Energia
Let ” Pensa a cosa succede quando la molla $ x $ oscilla. Quando la molla si trova a $ x = r $, esercita la forza maggiore sulla particella, ma la particella non si muove affatto. Questo è proprio al picco dellonda. Ciò significa $ v = 0 $. Da ciò punto, la forza che la molla applica alla particella la accelererà da $ 0 $ alla sua velocità massima $ -v_ \ text {max} $. 1 E quando la particella raggiunge $ x = 0 $, la molla non applicherà alcuna forza; questo è lo stato di riposo della molla. Poiché la molla non applica alcuna forza, abbiamo raggiunto $ -v_ \ text {max} $ – la direzione dellaccelerazione futura sarà nella direzione opposta, rallentando la particella fino a raggiungere $ x = -r $.
Quindi questo significa che a $ x = r $, abbiamo $ F = -F_ \ text {max} $ , $ a = -a_ \ text {max} $ e $ v = 0 $. E a $ x = 0 $, abbiamo $ F = 0 $, $ a = 0 $ e $ v = -v_ \ text {max} $.
Ecco cosa sta succedendo: lenergia nel sistema si muove avanti e indietro tra la massima energia cinetica (a $ x = 0 $ quando la molla non è tesa o compressa affatto) e la massima energia potenziale (a $ x = r $, quando la molla è completamente tesa ). E a causa della conservazione dellenergia, questi due massimi devono essere uguali; in altre parole, $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $.
La formula per lenergia cinetica è $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ – questa è la meccanica newtoniana di base. Qual è la formula per $ P $ in questo caso? Questa è la parte più difficile della derivazione. Lenergia potenziale immagazzinata in primavera è uguale alla quantità di lavoro negativo svolto per estenderla a $ x = r $. Quindi dobbiamo ricordare la formula per il lavoro: $ W = Fd $, dove $ d $ sta per distanza percorsa, cioè $ x $, assumendo che iniziamo da $ x = 0 $. Ma poi abbiamo un problema. $ F = -kx $ non è costante – è “una funzione di $ x $.
In generale, questo significherebbe che dobbiamo fare calcoli. Ma fortunatamente $ F = -kx $ è una funzione lineare, quindi il valore che vogliamo è uguale allarea del triangolo formato dallasse $ x $ e dalla linea $ F = -kx $:
( tramite )
Nel grafico sopra, $ k = 1 $, la distanza percorsa $ d = x_ \ text {max} = 1 $ e larea del triangolo dato rappresenta il valore che si ottiene quando si moltiplica $ F (x) $ per la distanza percorsa, adattandosi alle variazioni del valore di $ F $ allaumentare della distanza. Ma poiché laltezza del triangolo è $ -kx_ \ text {max} $ e la base del triangolo è $ x_ \ text {max} $, possiamo usare semplicemente la vecchia geometria. Larea di un triangolo è $ \ rm \ frac {1} {2} base \ times altezza $ – o, qui, perché $ x_ \ text {max} = r $
$$ W = – \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
E poiché potente ial energy è uguale a lavoro negativo :
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Non è interessante quanto sia simile a $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $? Se ci pensi per un po e consideri che $ E + P $ deve essere un valore costante, potresti iniziare a capire perché una molla oscillante segue un percorso sinusoidale! (Suggerimento: scrivi la formula per un cerchio, ma usa $ \ sqrt {E + P} $ invece di $ r $ e $ v $ invece di $ y $.)
Ma puoi tornare indietro a quello più tardi. Siamo molto vicini! Impostazione $ v = v_ \ text {max} $:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
Cosa succede quando risolviamo $ k $?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ implica kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ implica k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
Ora possiamo sostituirlo nella nostra formula per laccelerazione sopra:
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
Ti starai chiedendo perché il segno negativo appare in questa versione. Ma ricorda che laccelerazione è tecnicamente nella direzione opposta dello spostamento. Quindi, quando $ x = r, y = 0 $, laccelerazione è nella direzione di $ -r $. Se fosse altrimenti, la particella accelererebbe verso lesterno! 2
Simmetria
Lultimo passaggio di questa derivazione richiede un trucco. Abbiamo iniziato spezzando il movimento in due dimensioni in movimento lungo due componenti unidimensionali. Abbiamo quindi utilizzato molle immaginarie per descrivere il movimento della particella lungo queste due componenti. E ora, ci troviamo di fronte a unultima domanda: come selezioniamo le nostre componenti $ x $ e $ y $?
Devono essere ad angolo retto luno con laltro, ma questa è solo metà della battaglia: dobbiamo trovare il “posto giusto” per iniziare, la “reale” coordinata $ x $. Il guaio è che possiamo “t. Il percorso circolare lungo il quale si muove la particella è simmetrico di rotazione. Non cè niente nel cerchio che ci dica dove” inizia “o” finisce “.
Ciò significa che la linea di ragionamento sopra riportata vale indipendentemente da dove iniziamo. Possiamo scegliere qualsiasi punto del cerchio come $ x = 1, y = 0 $ punto, e quanto sopra sarà valido. Quindi, ovunque si trovi la particella, impostiamo semplicemente quel punto come il nostro punto $ x = r, y = 0 $ e tutto il resto va a posto.
Se volessimo lavorare di più per noi stessi, potremmo elaborare i dettagli in modo trigonometrico, utilizzando le formule sopra, regolandole per lasse $ y $ e quindi ricombinando $ x $ e $ y $ valori utilizzando lalgebra vettoriale. Ma non è necessario: largomento della simmetria è più potente in questo caso.
1. Qui “più grande” significa davvero “più negativo”, perché la particella si sta muovendo in senso negativo $ x $ direction. Questi valori saranno in realtà $ -F_ \ text {max} $ e $ -v_ \ text {max} $. Successivamente, quando la particella si muoverà nella direzione opposta, questi valori saranno positivi.
2. Dare un senso ai segni richiede un lavoro molto sottile; in particolare, devi capire perché il lavoro negativo diventa energia potenziale positiva. Aiuta anche a pensare a $ r $ come vettore (che ha una direzione) invece di una grandezza (che non ha “t). Fortunatamente, lintuizione fisica fornisce una guida affidabile in questo caso; se qualcosa risulta evidentemente sbagliato, ricontrolla il tuo pensiero.
Rispondi
Per spostarti attraverso un percorso concavo, un agente deve impartire forza a un oggetto che altrimenti si muove linearmente. Loggetto, in virtù del suo movimento, in assenza di qualsiasi forza esterna, viaggia o tende a viaggiare sempre nella direzione del vettore velocità nellistante in questione.
Quindi, quando loggetto deve attraversare una traiettoria curva, il requisito principale è lintroduzione di una forza che manipoli la direzione della velocità in modo tale che il luogo risultante sia il percorso curvilineo richiesto, altrimenti loggetto viaggerebbe diritto.
La direzione della forza è evidentemente la direzione dellaccelerazione o il limite del cambio di velocità rispetto al tempo. Quindi, per trovare la direzione, pensiamo a una situazione infinitesimale.
Lasciamo per un breve periodo di tempo $ \ Delta t $, la distanza percorsa è $ v (t) \ Delta t $ lungo un arco circolare di raggio $ r $. Langolo attraversato è quindi $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$.
Immagina la bisettrice del angolo. Ora, considera le variazioni di velocità parallele & perpendicolare a questa bisettrice. Inizialmente la velocità ha una componente $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ di distanza dal centro & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ trasversalmente. Successivamente, ha una componente $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ verso il centro & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ trasversalmente come prima. Quindi il cambiamento di velocità è di magnitudine $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ verso il centro dellarco.
Poiché $ \ Delta \ theta $ è incredibilmente piccolo, $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ diventa distinguibile come $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $. Quindi, possiamo mettere $$ | \ Delta v (t) | = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. E la direzione è verso il centro. Così la forza fa ruotare il vettore di posizione lungo la traiettoria curva e il cambiamento è radialmente verso linterno indipendentemente dal fatto che sia tracciato in senso orario o antiorario.
Limmagine diventa più vivida se calcoliamo utilizzando le coordinate polari.
Per prima cosa, scriviamo il vettore di posizione come $ \ mathbf {r} = r \ cdot \ mathbf e_r $. Consideriamo ora il cambiamento di $ \ mathbf {r} $ nel tempo. La sua modifica durante $ \ Delta t $ è $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $. $ e_r \, \ textrm {e} \, e _ {\ theta} $ sono reciprocamente perpendicolari, il primo dei quali verso lesterno radialmente dal centro. Pertanto la velocità è $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
Mettendo $ r = 1 $, otteniamo $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \;. $ $
Allo stesso modo, una modifica di $ \ theta $ implica una modifica di $ \ mathbf e _ {\ theta} $. Si può vedere che $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – \ omega \ cdot \ mathbf e_r \; $$ Ora differenziamo la velocità, $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – {\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \; $$ Questo risultato cade automaticamente con la direzione corretta che è opposta a $ \ mathbf e_r $ ie verso il centro radialmente.
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