구심 가속 공식의 간단한 유도?
On 1월 31, 2021 by admin누군가 구심 가속 공식 $ a = v ^ 2 / r $의 간단하고 직관적 인 파생물을 보여줄 수 있습니까? 가급적이면 미적분 또는 고급 삼각법?
답변
원점을 중심으로 반경 $ r $의 원을 꾸준히 횡단하는 물체를 상상해보십시오. 그 위치는 각도를 바꾸는 일정한 길이의 벡터로 표현할 수 있습니다. 한 사이클에 포함 된 총 거리는 $ 2 \ pi r $입니다. 이것은 또한 위치가 변경된 누적량입니다.
이제이 물체의 속도 벡터를 생각해보십시오 : 그것은 또한 방향을 꾸준히 변화시키는 일정한 길이의 벡터로 표현 될 수 있습니다.이 벡터는 길이가 $ v $이므로 누적 된 속도 변화는 $ 2 \ pi v $입니다.
가속도의 크기는 $ \ frac {\ text {change in velocity}} {\ text {elapsed time}} $이며 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left (\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \,. $$
QED
제외 : 그 파생어는 많은 대수 / 트리 그 기반 교과서에서 사용됩니다.
댓글
- 한 번 완전히 전환하면 변경 사항이 적용됩니다. 여기서 우리가 관심을 갖는 것은 순시 가속도의 평균값이지만이를 얻기 위해서는 미적분 (또는 적어도 제한), OP가 원하지 않는 ‘. 따라서 대신 변위가 아니라 거리를 고려하고 $ \ vec {v} _f-\ vec {대신 속도에 대한 거리 (‘ 일반적인 이름이 없음)에 해당하는 거리도 고려합니다. v} _i $. 이렇게하면 모든 곡선 ($ r $ 및 $ v $ 알고 있음)에 대한 구심 가속도가 제공되지만 ” 횡 방향 ” 가속도를 추가해야합니다. 손으로.
- 이것은 훌륭한 설명이지만 누군가가 왜 누적 속도 변화가 2 * pi * v인지 설명 할 수 있습니까?
- @Conceptuality 그래서, 입자의 속도를 가정하여 일정하지 않습니까? 그러나 원을 돌면서 운동 방향이 바뀝니다. 즉, 속도 벡터는 동일한 길이를 유지하지만 전체 원을 회전합니다. 속도 벡터의 끝은 반경 $ v $의 원을 나타내므로 끝이 움직 인 거리는 $ 2 \ pi v $입니다.
- @dmckee, 유사한 삼각형 증명에서 속도의 변화는 다음과 같습니다. 두 속도 벡터의 끝 사이의 거리는 꼬리에서 꼬리까지를 그립니다. 하지만 크기가 일정하기 때문에 ” delta v “는 단순히 0이 될까요? ——— 무슨 의미입니까? 어쨌든 방향의 변화가 확실합니까?
- @ theenigma017 각도는 공식적으로 차원이 없습니다 (이것이 SI에서 각속도와 각 주파수가 동일한 측정 값 인 이유입니다). 그렇기 때문에 $ 2 \ pi r $는 거리이고 다른 수량은 아닙니다. 즉, $ 2 \ pi v $는 속도입니다. 처음 세 개의 댓글이 도움이 될 수도 있고, 거리와 속도를 비교하는 것으로 생각할 수도 있습니다.
답변
직각 삼각형 ABC \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {equation} If \ begin {equation} \ theta \ tag {02} \ end {equation} 은 작습니다. \ begin {equation} v (t) \ approx v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { 방정식} \ begin {equation} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {equation} 작은 각도의 경우 \ begin {equation} \ delta \ theta \ approx Sin {\ delta \ theta} \ tag {04} \ end {equation} 다시 정렬하면 \ begin {equation} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ times \ vec v \ tag {05} \ end {equation} \ begin {equation } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ times \ vec v \ tag {06} \ end {equation} \ begin {equation } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ times \ vec v \ tag {07} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {08} \ end {equation}
\ begin {equation} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ times \ vec v \ tag {10} \ end {equation}
\ begin {equation} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {equation} 이후 \ begin {equation} \ mathbf {v} = \ 오메가 \ times r \ tag {12} \ end {equation} 그래서 \ begin {equation} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {equation}
댓글
- 작은 각도 제한으로 , 물론 올바른 유도. 그러나 $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $는 해당 제한에서 정확합니다. 나는이 파생물 (그리고 내가 사용한 것과 함께)과 함께 교실에서 성공을 거두었습니다.
- 왜 $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (벡터) = 각도 * 속도? 직감은 무엇입니까? 위의 답변에도 사용
- @Allawonder 잘 하셨나요? 나는 같은 질문에 갇혀 있습니다.
답변
당신은이 도출을 할 수 있습니다. 입자를 구성 요소로 선회합니다. 짧지는 않지만 구체적인 물리적 유추로 대수를 보완하기 때문에 유용하다고 생각합니다. 네 부분으로 구성하겠습니다. 분해 , 진동 , 에너지 및 대칭 .
분해
원형 경로를 따라 움직이는 입자의 위치는 위상 사인파 또는 이에 상응하는 사인파와 코사인 파 :
( 경유 )
유추하기 쉽습니다. 입자는 반지름 $ r $의 원 주위에서 일정한 각속도 $ \ omega $로 움직입니다. 그러면 $ \ theta = \ omega t $, 그리고 기본 삼각법은 주어진 $ \ theta $가 주어진 입자의 위치를 알려줍니다. $ x = r \ cos \ theta $ 및 $ y = r \ sin \ theta $로 대체 할 수 있습니다. $ x = r \ cos (\ omega t) $ 및 $ y = r \ sin (\ omega t) $를 얻으려면 반복하십시오.
진동
사인파로 설명되는 또 다른 종류의 움직임이 있습니다. 의 진동 스프링 무게 . 이러한 시스템에서
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
여기서 $ A $ 는 진폭 (즉, 스프링의 최대 길이와 휴지 길이의 차이)이고, $ k $는 Hooke의 법칙에 따른 스프링의 힘 상수이며, $ m $는 물론 질량입니다. 일반적인 방식으로이 방정식은 미적분뿐만 아니라 미분 방정식도 필요로합니다. 그래서 저는 잠시 후에 제 말을 받아들이도록 요청하겠습니다.
우리의 목적을 위해 이것은 의미합니다. 궤도를 도는 입자의 역학은 두 개의 진동 스프링으로 시뮬레이션 할 수 있습니다. 하나는 $ x $ 구성 요소 용이고 다른 하나는 첫 번째 구성 요소와 동일하지만 절반 위상이 다른 구성 요소입니다.이것이 어떻게 생겼는지 상상하기 위해 위의 애니메이션을 다시보고 파란색 점과 빨간색 점이 휴식 할 때 $ 0 $에있는 스프링에 연결된 것처럼 가정합니다.
이제이 스프링 기반 모델이 있으므로이를 사용하여 $ x $ 축을 따라 입자에 적용되는 힘을 결정할 수 있습니다! Hooke의 법칙 에 따라 스프링이 부착 된 무게에 가하는 힘은 $ F = -kx $입니다.이 공식을 사용하여 $ x $ 스프링이 최대 길이에있을 때 입자의 가속. 이 경우 최대 길이는 $ r $가 될 것임을 알고 있습니다. 이것은 입자가 $ x = r, y = 0 $에있는 순간에 해당합니다. 그리고 우리는 $ F = ma $를 압니다. 따라서 대체로 $ ma = -kr $; $ m $로 나누고
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
우리의 작업은 절반이되었습니다. 그러나 이제 새로운 문제가 있습니다. $ k $가 무엇인지 알 수 없습니다. 결국 실제 봄이 없기 때문에 아무것도 측정 할 수 없습니다. 봄당 $ k $의 가치를 알아야합니다. 입자가 $ x $ 축을 따라 이동하는 것과 같은 방식으로 움직이면이 문제를 해결할 수 있습니다.이 문제를 해결하려면 보존 법칙에 대해 생각해야합니다.
에너지
Let ” $ x $ 스프링이 진동 할 때 일어나는 일에 대해 생각합니다. 스프링이 $ x = r $에있을 때, 입자에 가장 큰 힘을 가하지 만 입자는 전혀 움직이지 않습니다. 이것은 파동의 정점에 있습니다. 이는 $ v = 0 $을 의미합니다. 점, 스프링이 입자에 적용되는 힘은 입자를 $ 0 $에서 가장 큰 속도로 가속합니다. $ -v_ \ text {max} $. 1 입자가 $ x = 0에 도달 할 때까지 $, 스프링은 힘을 가하지 않습니다. 이것은 “스프링”의 휴지 상태입니다. 스프링이 힘을 가하지 않기 때문에 $ -v_ \ text {max} $에 도달했습니다. 향후 가속 방향은 다음과 같습니다. 반대 방향으로 입자가 $ x = -r $에 도달 할 때까지 속도를 늦 춥니 다.
즉, $ x = r $에서 $ F = -F_ \ text {max} $가됩니다. , $ a = -a_ \ text {max} $ 및 $ v = 0 $. 그리고 $ x = 0 $에서는 $ F = 0 $, $ a = 0 $ 및 $ v = -v_ \ text {max} $가 있습니다.
다음과 같은 상황이 발생합니다. 시스템의 에너지는 최대 운동 에너지 (스프링이 전혀 늘어나거나 압축되지 않은 경우 $ x = 0 $)와 최대 위치 에너지 (스프링이 완전히 늘어난 경우 $ x = r $) 사이에서 앞뒤로 이동합니다. ). 그리고 에너지 보존 때문에이 두 최대 값은 동일해야합니다. 즉, $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $입니다.
운동 에너지의 공식은 $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $입니다. 이것이 기본적인 뉴턴 역학입니다.이 경우 $ P $의 공식은 무엇입니까? 이것은 파생에서 가장 어려운 부분입니다. 스프링에 저장된 위치 에너지는 $ x = r $로 늘리기 위해 수행 된 부정적인 작업 의 양과 같습니다. 그래서 우리는 일에 대한 공식을 기억해야합니다 : $ W = Fd $, 여기서 $ d $는 이동 한 거리를 나타냅니다. 즉 $ x $에서 시작한다고 가정합니다. 하지만 문제가 있습니다. $ F = -kx $는 일정하지 않습니다. “$ x $의 함수입니다.
일반적으로 이것은 미적분을해야 함을 의미합니다.하지만 운 좋게도 $ F = -kx $는 선형 함수이므로 우리가 원하는 값은 $ x $ 축과 $ F = -kx $ 선으로 형성된 삼각형의 면적과 같습니다.
( 경유 )
위 차트에서 $ k = 1 $, 이동 거리 $ d = x_ \ text {max} = 1 $, 주어진 삼각형의 면적은 $ F (x) $에 이동 한 거리를 곱하여 거리가 증가함에 따라 $ F $ 값의 변화를 조정했을 때 얻는 값을 나타냅니다. 그러나 삼각형의 높이는 $ -kx_이기 때문입니다. \ text {max} $이고 삼각형의 밑변은 $ x_ \ text {max} $입니다. 우리는 평범한 구 기하학을 사용할 수 있습니다. 삼각형의 면적은 $ \ rm \ frac {1} {2} 밑변 \ times입니다. height $-또는 여기에서 $ x_ \ text {max} = r $
$$ W =-\ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
그리고 유력한 이후 실제 에너지는 부정적인 일 과 같습니다.
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
$ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $와 얼마나 유사한 지 흥미롭지 않습니까? 잠시 동안 그것에 대해 생각하고 $ E + P $가 상수 값이어야한다고 생각하면 진동 스프링이 사인파 경로를 따르는 이유를 깨닫기 시작할 수 있습니다! (힌트 : 원의 공식을 작성하되 $ r $ 대신 $ \ sqrt {E + P} $를 사용하고 $ y $ 대신 $ v $를 사용합니다.)
하지만 돌아올 수 있습니다. 나중에. 매우 가깝습니다. 설정 $ v = v_ \ text {max} $ :
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
$ k $를 풀면 어떻게 되나요?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ implies k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
이제이를 위의 가속 공식으로 대체 할 수 있습니다.
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & =-\ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & =-\ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
이 버전에서 음수 부호가 나타나는 이유가 궁금 할 것입니다. 그러나 가속도는 기술적으로 변위의 반대 방향입니다. 따라서 $ x = r, y = 0 $ 일 때 가속도는 $ -r $ 방향입니다. 그렇지 않으면 입자가 바깥쪽으로 가속됩니다! 2
대칭
이 파생의 마지막 단계에는 트릭이 필요합니다. 우리는 2 차원의 움직임을 2 개의 1 차원 구성 요소를 따라 움직임으로 나누는 것으로 시작했습니다. 그런 다음 가상의 스프링을 사용하여이 두 구성 요소를 따라 입자의 움직임을 설명했습니다. 이제 마지막 질문에 직면합니다. $ x $ 및 $ y $ 구성 요소를 어떻게 선택합니까?
서로 직각을 이룬다. 그러나 그것은 “전투의 절반에 불과하다. 우리는 시작할”올바른 장소 “,”실제 “$ x $ 좌표를 찾아야한다. 문제는 우리가 할 수 없다는 것입니다. 입자가 이동하는 원형 경로는 회전 대칭입니다. 원에 대해 “시작”또는 “종료”위치를 알려주는 것은 없습니다.
이것은 우리가 어디에서 시작하든 위의 추론이 유지된다는 것을 의미합니다. 원의 어떤 점이든 $ x = 1, y = 0 $ 점으로 선택할 수 있으며 위의 점이 유효합니다. 그래서 입자가 어디에 있든, 우리는 그 점을 $ x = r, y = 0 $ 점으로 설정하고 다른 모든 것은 제자리에 놓입니다.
자신을 위해 더 많은 작업을하고 싶다면 위의 공식을 사용하여 $ y $ 축에 맞게 조정 한 다음 $ x $와 $ y $를 다시 결합하여 세부 사항을 삼각법으로 계산할 수 있습니다. 벡터 대수를 사용하는 값. 하지만 그럴 필요는 없습니다.이 경우 대칭 주장이 더 강력합니다.
1. 여기서 “최대”는 실제로 “가장 부정적”을 의미합니다. 입자가 음수로 움직이기 때문입니다. $ x $ 방향.이 값은 실제로 $ -F_ \ text {max} $ 및 $ -v_ \ text {max} $입니다. 나중에 입자가 반대 방향으로 이동할 때이 값은 양수입니다.
2. 신호를 이해하기 위해서는 많은 미묘한 세부 작업이 필요합니다. 특히 부정적인 작업이 긍정적 인 잠재 에너지가되는 이유를 이해해야합니다. $ r에 대해 생각하는 것도 도움이됩니다. $는 크기 대신 (방향이있는) 벡터로 사용됩니다. 다행히도 육체적 직관은이 경우 신뢰할 수있는 가이드를 제공합니다. 명백히 잘못된 것이 있으면 생각을 다시 확인하십시오.
답변
오목한 경로에서 에이전트는 선형으로 움직이는 물체에 힘을 가해 야합니다. 물체는 움직임으로 인해 외부 힘이없는 상태에서 항상 해당 순간에 속도 벡터의 방향으로 이동하거나 이동하는 경향이 있습니다.
따라서 물체가 횡단해야 할 때 곡선 궤적, 주요 필수 조건은 결과 궤적이 필요한 곡선 경로가되도록 속도 방향을 조작하는 힘을 도입하는 것입니다. 그렇지 않으면 물체가 직선으로 이동합니다.
힘의 방향은 분명히 가속 방향 또는 시간에 따른 속도 변화의 한계입니다. 따라서 방향을 찾기 위해 극히 작은 상황을 생각해 봅시다.
짧은 시간 동안 $ \ Delta t $, 이동 거리는 $ v (t) \ Delta t $입니다. 반지름 $ r $의 원호. 횡단 각도는 $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$입니다.
이제이 이등분선에 수직 인 속도 평행 &의 변화를 고려합니다. 처음에는 속도에 $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) 성분이 있습니다. $ 중심에서 멀어짐 & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ 이후에는 $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ 중앙으로 & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $. 따라서 속도의 변화는 크기가 $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $입니다. 원호의 중심.
$ \ Delta \ theta $가 점점 작아 지므로 $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $는 $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $로 구분할 수 있습니다. 따라서 $$ | \ Delta v (t) | = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. 그리고 방향은 중앙을 향합니다. 따라서 힘은 곡선 궤적을 따라 위치 벡터를 회전시키고 변화는 시계 방향 또는 시계 반대 방향으로 추적되는지 여부에 관계없이 반경 방향 안쪽으로 향합니다.
극좌표를 사용하여 계산하면 그림이 더욱 선명 해집니다.
먼저 위치 벡터를 $ \ mathbf {r} = r \ cdot \로 씁니다. mathbf e_r $. 이제 시간에 따른 $ \ mathbf {r} $의 변화를 고려하십시오. $ \ Delta t $ 동안의 변화는 $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $입니다. $ e_r \, \ textrm {and} \, e _ {\ theta} $는 서로 수직이며 첫 번째는 외부 방사형 센터에서. 따라서 속도는 $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
$ r = 1 $를 넣으면 $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \;. $ $
마찬가지로 $ \ theta $의 변경은 $ \ mathbf e _ {\ theta} $의 변경을 의미합니다. $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) =-\ omega \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ 이제 속도를 미분합니다. $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) =-{\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \;. $$이 결과는 $ \ mathbf e_r $와 반대 인 올바른 방향으로 자동으로 내려갑니다. 방사형으로 중심.
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