En enkel härledning av Centripetal Acceleration Formula?
On januari 31, 2021 by adminKan någon visa mig en enkel och intuitiv härledning av Centripetal Acceleration Formula $ a = v ^ 2 / r $, helst en som inte innefattar kalkyl eller avancerad trigonometri?
Svar
Föreställ dig att ett objekt stadigt passerar en cirkel med radie $ r $ centrerad på ursprunget. Positionen kan representeras av en vektor med konstant längd som ändrar vinkel. Det totala avståndet som täcks i en cykel är $ 2 \ pi r $. Detta är också det ackumulerade beloppet med vilket position har ändrats ..
Tänk nu på hastighetsvektorn för detta objekt: det kan också representeras av en vektor med konstant längd som stadigt ändrar riktning. Denna vektor har längden $ v $, så den ackumulerade hastighetsförändringen är $ 2 \ pi v $.
Accelerationens storlek är då $ \ frac {\ text {förändring i hastighet}} {\ text {förfluten tid}} $, som vi kan skriva som: $$ a = \ frac {2 \ pi v} {\ left (\ frac {2 \ pi r} {v} \ right)} = \ frac {v ^ 2} {r} \,. $$
QED
Bortsett från: den härledningen används i många algebra / trigbaserade läroböcker.
Kommentarer
- Lägg märke till att förändringen efter en hel sväng i position är också noll. Vad vi är intresserade av här är verkligen genomsnittsvärdet för den momentana accelerationen, men för att få det krävs en kalkyl (eller i det gränser), vilket OP inte ’ t vill ha. Så istället betraktar vi inte förskjutning utan avstånd och också motsvarigheten till avstånd för hastighet (som inte ’ inte har ett konventionellt namn) snarare än $ \ vec {v} _f – \ vec { v} _i $. Detta ger centripetalacceleration för alla kurvor (vet $ r $ och $ v $), men vi måste lägga till ” tvärgående ” acceleration för hand.
- Detta är en utmärkt förklaring men kan någon förklara varför den ackumulerade hastighetsförändringen är 2 * pi * v?
- @Konceptualitet Så, genom antagande av partikelns hastighet är konstant, eller hur? Men när det går runt cirkeln ändras dess rörelseriktning. Det betyder att hastighetsvektorn håller samma längd men vänder genom en hel cirkel. Spetsen på hastighetsvektorn beskriver en cirkel med radien $ v $, så avståndet som spetsen rörde sig var $ 2 \ pi v $.
- @dmckee, i samma triangel bevis, är hastighetsförändringen helt enkelt drar avståndet mellan spetsarna på två hastighetsvektorer svans mot svans. Men skulle ” delta v ” helt enkelt vara noll eftersom storleken är konstant? ——— hur menar du egentligen säker på att riktningsförändringen ändå i grad?
- @ theenigma017 Vinklarna är formellt dimensionella (det är därför vinkelhastighet och vinkelfrekvens är samma mått i SI). Därför är $ 2 \ pi r $ ett avstånd och inte någon annan mängd, vilket betyder att $ 2 \ pi v $ är en hastighet. De tre första kommentarerna kan hjälpa, eller så kan du bara tänka på detta som att jämföra avstånd och hastighet.
Svar
I rätvinklig triangel ABC \ begin {ekvation} \ dfrac {| \ dfrac {\ Delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ Delta \ vec \ theta} {2} \ tag {01} \ end {ekvation} Om \ börjar {ekvation} \ theta \ tag {02} \ end {ekvation} är liten \ begin {ekvation} v (t) \ approx v (t + \ delta t) = \ mathbf {\ vec v} \ tag {03} \ end { ekvation} \ börjar {ekvation} \ dfrac {| \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {2} |} {| \ vec V |} = Sin \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ tag {03} \ end {ekvation} För liten vinkel \ börja {ekvation} \ delta \ theta \ approx Sin {\ delta \ theta} \ tag {04} \ end {ekvation} Så vidare ordna \ börja {ekvation} \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {2} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {2} \ times \ vec v \ tag {05} \ end {ekvation} \ begin {ekvation } \ delta \ mathbf {\ vec v} = \ delta \ vec \ theta \ times \ vec v \ tag {06} \ end {ekvation} \ begin {ekvation } \ dfrac {\ delta \ mathbf {\ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ times \ vec v \ tag {07} \ end {ekvation}
\ börja {ekvation} \ mathbf {\ vec a} = \ dfrac {\ delta \ mathbf { \ vec v}} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {08} \ end {ekvation}
\ begin {ekvation} \ vec \ omega = \ dfrac {\ delta \ vec \ theta} {\ delta \ mathbf {t}} \ tag {09} \ end {ekvation}
\ begin {ekvation} \ mathbf {\ vec a} = \ vec \ omega \ times \ vec v \ tag {10} \ end {ekvation}
\ begin {ekvation} \ mathbf {a} = \ omega \ times v \ tag {11} \ end {ekvation} Och sedan \ begin {ekvation} \ mathbf {v} = \ omega \ times r \ tag {12} \ end {ekvation} Så \ begin {ekvation} \ mathbf {a} = \ dfrac {v ^ {2}} { \ mathbf {r}} \ tag {13} \ end {ekvation}
Kommentarer
- Med en liten vinkelgräns är detta , naturligtvis, den korrekta härledningen. Men du kanske vill vara tydlig att $ | \ Delta \ mathbf {v} | = v | \ Delta \ phi | $ är korrekt i den gränsen. Jag har blandat framgång i klassrummet med denna härledning (och med den jag använde också).
- Varför är $ | \ Delta \ mathbf v | = v | \ Delta \ phi | $?
- V (vektor) = en vinkel * hastighet? vad är intuitionen? användes också i svaret ovan
- @Allawonder räknade du ut det? Jag är fast vid samma fråga.
Svar
Du kan göra denna härledning genom att bryta positionen för kretsar partiklar ner i komponenter. Det är inte kort, men jag tycker att det är användbart eftersom det kompletterar algebra med konkreta fysiska analogier. Jag kommer att organisera den i fyra delar: sönderdelning , svängning , energi och symmetri .
Sönderdelning
Positionen för en partikel som rör sig längs en cirkulär bana kan beskrivas med två halv-ut-av- fas sinusvågor – eller motsvarande en sinusvåg och en cosinusvåg:
( via )
Detta är lätt att härleda: antar partikeln rör sig med en konstant vinkelhastighet $ \ omega $ runt en cirkel med radien $ r $. Sedan $ \ theta = \ omega t $, och grundläggande trigonometri säger att positionen för partikeln som ges $ \ theta $ med $ x = r \ cos \ theta $ och $ y = r \ sin \ theta $. Vi kan subst itute för att få $ x = r \ cos (\ omega t) $ och $ y = r \ sin (\ omega t) $.
Oscillation
Det visar sig att det finns en annan typ av rörelse som beskrivs av sinusvågor: svängningen av en vikt på en fjäder . I ett sådant system
$$ x (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {k \ over m} t \ right) $$
där $ A $ är amplituden (dvs. skillnaden mellan fjäderns maximala längd och dess vilolängd), $ k $ är fjäderns kraftkonstant, från Hookes lag, och $ m $ är naturligtvis massan. den här ekvationen på vanligt sätt kräver inte bara kalkyl, utan också differentialekvationer – så jag kommer att be dig att ta mitt ord för det tills det kommer lite senare.
För våra ändamål betyder det att mekaniken för den kretsande partikeln kan simuleras av två oscillerande fjädrar: en för $ x $ -komponenten och en för $ y $ -komponenten som är identisk med den första, men det är halvt ur fas med den.För att föreställa dig hur detta ser ut, titta tillbaka på animationen ovan och låtsas att den blå pricken och den röda pricken är fästa vid fjädrar som är $ 0 $ när du vilar.
Nu när vi har den här vårbaserade modellen kan vi använda den för att bestämma kraften som appliceras på partikeln längs $ x $ -axeln! Genom Hookes lag är kraften som en fjäder utövar på en bifogad vikt $ F = -kx $. Låt oss försöka använda den formeln för att bestämma partikelacceleration när $ x $ fjädern har sin maximala längd. Vi vet att dess maximala längd kommer att vara $ r $ i detta fall – detta motsvarar det ögonblick då partikeln är på $ x = r, y = 0 $. Och vi vet att $ F = ma $. Så genom substitution, $ ma = -kr $; dela med $ m $ och
$$ a = -k \ frac {r} {m} $$
Vårt arbete är hälften klart. Men nu har vi ett nytt problem: vi vet inte vad $ k $ är – trots allt finns det ingen egentlig vår, så vi kan inte mäta någonting. Vi måste veta vilket värde av $ k $ en fjäder kommer att ha om den rör sig på samma sätt som partikeln gör längs $ x $ -axeln. För att lösa detta problem måste vi börja tänka på bevarandelagar.
Energi
Låt ” s tänka på vad som händer när $ x $ våren svänger. När fjädern är på $ x = r $ utövar den den största kraften på partikeln, men partikeln rör sig inte alls. Detta är precis vid vågens topp. Det betyder $ v = 0 $. Från det punkten, kommer kraften som fjädern tillför partikeln att accelerera den från $ 0 $ till dess största hastighet $ -v_ \ text {max} $. 1 Och när partikeln når $ x = 0 $, fjädern kommer inte att använda någon kraft; det är vårens viloläge. Eftersom våren inte använder någon kraft har vi nått $ -v_ \ text {max} $ – riktningen för framtida acceleration kommer att vara i motsatt riktning, saktar ner partikeln tills den når $ x = -r $.
Så det betyder att vid $ x = r $ har vi $ F = -F_ \ text {max} $ , $ a = -a_ \ text {max} $ och $ v = 0 $. Och vid $ x = 0 $ har vi $ F = 0 $, $ a = 0 $ och $ v = -v_ \ text {max} $.
Här händer vad: energin i systemet rör sig fram och tillbaka mellan maximal kinetisk energi (vid $ x = 0 $ när fjädern inte är sträckt eller komprimerad alls) och maximal potentialenergi (vid $ x = r $, när fjädern är helt sträckt ). Och på grund av energibesparing måste dessa två maxima vara lika; med andra ord, $ E_ \ text {max} $ = $ P_ \ text {max} $.
Formeln för kinetisk energi är $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ – det är den grundläggande newtonska mekaniken. Vad är formeln för $ P $ i det här fallet? Detta är den svåraste delen av härledningen. Den potentiella energin som lagras på våren är lika med mängden negativt arbete för att sträcka den till $ x = r $. Så vi måste komma ihåg formeln för arbete: $ W = Fd $, där $ d $ står för rest sträcka – dvs $ x $, förutsatt att vi börjar på $ x = 0 $. Men då har vi ett problem. $ F = -kx $ är inte konstant – det är en funktion av $ x $.
I allmänhet skulle detta innebära att vi måste göra en beräkning. Men lyckligtvis är $ F = -kx $ en linjär funktion, och så är det värde vi vill ha lika med arean av triangeln som bildas av $ x $ axeln och linjen $ F = -kx $:
( via )
I diagrammet ovan, $ k = 1 $, det avstånd som färdats $ d = x_ \ text {max} = 1 $ och området för den givna triangeln representerar det värde du får när du multiplicerar $ F (x) $ med rest sträcka, och justerar för förändringar i värdet på $ F $ när avståndet ökar. Men eftersom triangelns höjd är $ -kx_ \ text {max} $ och triangelns bas är $ x_ \ text {max} $, vi kan bara använda vanlig gammal geometri. Området för en triangel är $ \ rm \ frac {1} {2} bas \ gånger höjd $ – eller här, eftersom $ x_ \ text {max} = r $
$$ W = – \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Och sedan potent ial energi är lika med negativt arbete :
$$ P = \ frac {1} {2} kr ^ 2 $$
Är det inte intressant hur mycket det liknar $ E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $? Om du tänker på det ett tag och anser att $ E + P $ måste vara ett konstant värde kan du börja inse varför en oscillerande fjäder följer en sinusformad väg! (Tips: skriv formeln för en cirkel, men använd $ \ sqrt {E + P} $ istället för $ r $ och $ v $ istället för $ y $.)
Men du kan komma tillbaka till det senare. Vi är mycket nära! Ställer in $ v = v_ \ text {max} $:
$$ E + P = E_ \ text {max} = P_ \ text {max} = \ frac {1} {2} kr ^ 2 = \ frac {1} {2} mv ^ 2 $$
Vad händer när vi löser för $ k $?
\ begin {align} \ frac {1} {2} kr ^ 2 & = \ frac {1} {2} mv ^ 2 \\ \ innebär kr ^ 2 & = mv ^ 2 \\ \ antyder k & = \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ end {align}
Nu kan vi ersätta det med vår formel för acceleration ovan:
\ begin {align} a & = -k \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {mv ^ 2} {r ^ 2} \ frac {r} {m} \\ & = – \ frac {v ^ 2} {r} \ end {align}
Du kanske undrar varför det negativa tecknet visas i den här versionen. Men kom ihåg att accelerationen är tekniskt i motsatt riktning mot förskjutningen. Så när $ x = r, y = 0 $, är accelerationen i riktning mot $ -r $. Om det vore annorlunda skulle partikeln accelerera utåt! 2
Symmetri
Det sista steget i denna härledning kräver ett trick. Vi började med att bryta rörelse i två dimensioner i rörelse längs två endimensionella komponenter. Vi använde sedan imaginära fjädrar för att beskriva partikelns rörelse längs dessa två komponenter. Och nu står vi inför en sista fråga: hur väljer vi våra $ x $ och $ y $ komponenter?
De måste vara i rät vinkel mot varandra, men det är bara halva striden – vi måste hitta ”rätt plats” att börja, den ”riktiga” $ x $ koordinaten. Problemet är att vi kan ”t. Den cirkulära vägen längs vilken partikeln rör sig är rotationssymmetrisk. Det finns ingenting om cirkeln för att berätta var den” börjar ”eller” slutar. ”
Det betyder att ovanstående resonemang gäller oavsett var vi börjar. Vi kan välja vilken punkt som helst i cirkeln som $ x = 1, y = 0 $ punkt, och ovanstående gäller. Så varhelst partikeln är, ställer vi helt enkelt den punkten som vår $ x = r, y = 0 $ punkt, och allt annat faller på plats.
Om vi ville göra mer arbete för oss själva kunde vi räkna ut detaljerna trigonometriskt med hjälp av ovanstående formler, justera dem för $ y $ -axeln och sedan kombinera om $ x $ och $ y $ värden med hjälp av vektoralgebra. Men vi behöver inte – symmetriargumentet är kraftfullare i det här fallet.
1. Här betyder ”största” verkligen ”mest negativa”, eftersom partikeln rör sig negativt $ x $ riktning. Dessa värden kommer verkligen att vara $ -F_ \ text {max} $ och $ -v_ \ text {max} $. Senare, när partikeln rör sig i motsatt riktning, kommer dessa värden att vara positiva.
2. Att förstå tecknen kräver mycket subtilt detaljarbete, i synnerhet måste du förstå varför negativt arbete blir positiv potentiell energi. Det hjälper också att tänka på $ r $ som en vektor (som har en riktning) istället för en storlek (som inte ”t”). Lyckligtvis ger fysisk intuition en tillförlitlig guide i detta fall; om något visar sig vara uppenbart fel, dubbelkolla ditt tänkande.
Svar
För att gå igenom en konkav väg, måste en agent ge kraft åt annars ett linjärt rörligt objekt. Objektet, på grund av sin rörelse, utan frånvaro av någon yttre kraft, rör sig alltid eller tenderar att färdas i riktning mot hastighetsvektorn vid det aktuella ögonblicket.
Så när objektet måste korsa en kurvbana, huvudförutsättningen är införandet av en kraft som manipulerar hastighetsriktningen så att det resulterande stället är den nödvändiga krökta banan, annars skulle objektet färdas rakt.
Kraftens riktning är uppenbarligen riktningen för accelerationen eller gränsen för hastighetsförändring med avseende på tid. Så, för att hitta riktningen, låt oss tänka på en oändlig minimal situation.
Låt en kort tid $ \ Delta t $, det färdade avståndet är $ v (t) \ Delta t $ längs en cirkelbåge med radie $ r $. Vinkeln som transverseras är då $$ \ Delta \ theta = \ dfrac {v (t) \ Delta t} {r} $$.
Föreställ dig halvan på vinkel. Tänk nu på ändringarna i hastighetsparallellen & vinkelrätt mot denna halvering. Initialt har hastigheten en komponent $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ bort från centrum & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ tvärs. Därefter har den en komponent $ v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ mot mitt & $ v \ cos (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ tvärs som tidigare. Således är hastighetsförändringen av storleken $ 2v \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ mot centrum för bågen.
Eftersom $ \ Delta \ theta $ är försvinnande liten, blir $ \ sin (\ frac {\ Delta \ theta} {2}) $ i kan särskiljas som $ \ dfrac {\ Delta \ theta} {2} $. Således kan vi sätta $$ | \ Delta v (t) | = v ^ 2 \ dfrac {\ Delta \ theta} {r} $$. Och riktningen är mot centrum. Sålunda roterar kraften positionsvektorn längs den böjda banan och förändringen är radiellt inåt oavsett om den spåras medurs eller moturs.
Bilden blir mer levande om vi beräknar med polär koordinat.
Först skriver vi positionsvektorn som $ \ mathbf {r} = r \ cdot \ mathbf e_r $. Tänk nu på förändringen av $ \ mathbf {r} $ med tiden. Dess förändring under $ \ Delta t $ är $ r \ Delta \ theta \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $. $ e_r \, \ textrm {och} \, e _ {\ theta} $ är ömsesidigt vinkelräta, den första är radiellt utåt från centrum. Därför är hastigheten $$ \ mathbf v = \ dfrac {\ mathrm d \ mathbf {r}} {\ mathrm dt} = r \ frac {\ mathrm d \ theta} {\ mathrm dt} \ cdot \ mathbf e _ {\ theta } = \ omega r \ cdot \ mathbf e _ {\ theta} $$.
Genom att sätta $ r = 1 $ får vi $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e_r) = \ omega \ mathbf e _ {\ theta} \;. $ $
På samma sätt innebär en ändring av $ \ theta $ en förändring av $ \ mathbf e _ {\ theta} $. Det kan ses att $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – \ omega \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Nu differentierar vi hastigheten, $$ \ mathbf {a} = \ omega r \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} (\ mathbf e _ {\ theta}) = – {\ omega} ^ 2 r \ cdot \ mathbf e_r \;. $$ Detta resultat faller automatiskt ned med rätt riktning som är motsatt $ \ mathbf e_r $ dvs mot mitten radiellt.
Lämna ett svar