Dispersiosuhteen ymmärtäminen
On helmikuu 14, 2021 by adminYritän ymmärtää dispersiosuhteen fyysistä merkitystä. Onko se kuinka epähomogeeninen media? Tai kuinka paljon sähkömagneettiset kentät leviävät mediassa? Tai?
Vastaus
-hajontasuhde ilmaisee aaltovektorin $ k $ ja taajuuden $ \ omega $ välinen suhde. Hajotussuhde on funktionaalisen suhteen muodossa $ \ omega (k) $, joka ei yleensä ole lineaarinen. Koska $ \ omega / k $ on periaatteessa aallon (vaihe) nopeuteen nähden, dispersiosuhde kuvaa vaiheen nopeuden riippuvuutta aallonpituudesta.
Tunnetuin esimerkki on valon hajonta prisma:
Parillinen jos prisma on valmistettu homogeenisesta lasista, lasin taitekerroin vaihtelee $ k $: n kanssa, mikä johtaa dispersioon.
Mekaanisissa aalloissa – kuten merkkijonossa tai ilmassa – suhde $ \ omega / k = $ vakio on vain ensimmäisen kertaluvun approksimaatio (todellisuudessa siinä mielessä lineaarinen approksimaatio että siihen liittyvä aaltoyhtälö on lineaarinen PDE) ja todellinen dispersiosuhde on monimutkaisempi. Esimerkiksi merkkijonon aallon taajuus on realistisesti kytketty aaltovektoriin: $$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alfa k ^ 4 + \ ldots \ tag { 1} $$, jossa $ T_0 $ on merkkijono ja $ \ rho_0 $ on merkkijonon lineaarinen tiheys. Kerroin $ \ alpha $ olisi $ 0 $, koska merkkijono oli täysin joustava. Yhtälö (1) on kirjoitettu ehdottamaan, että se on Taylorin laajennuksen alku muodossa $ k ^ 2 $.
Näin ollen vastaamiseksi nimenomaisesti OP: n kysymykseen: dispersio ei mittaa väliaineen homogeenisuuden puutetta, vaan yksinkertaisen lineaarisuuden puutetta $ \ omega $: n ja $ k $: n välillä. Se on erityisen tärkeää, kun aalto ei ole yksivärinen, koska kaikki aallonpituudet etenevät hieman eri taajuuksilla, vaikka väliaine olisi fyysisesti homogeeninen.
Koska kvanttifysiikassa energia liittyy dollariin $ \ hbar \ omega $, dispersiosuhde vangitsee joitain olennaisia fyysisiä piirteitä ongelmasta. Esimerkiksi Klein-Gordon-yhtälön hajonta-suhde on vain (yksiköissä, joissa $ \ hbar $ ja $ c = 1 $) $$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$, joka vain muuntaa tunnettu relativistinen yhtälö $ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $.
Kommentit
- KdV-yhtälön dispersiosuhde sisältää aallon amplitudi (oikeastaan sen suhde veden syvyyteen). Se ' on epälineaarisuus, ei termi $ k ^ 3. Se on yksinkertaisesti tarkempi esitys LINEAR-hajonnasta.
- @NickP I edit by see Eq. (7) of whoi.edu/fileserver.do? id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- Se ' on aina hyvä idea luottaa Grimshawiin 🙂 Hän ilmaisee tarkasti, mitä minä ' m sanon.
Vastaus
Hajotussuhde kertoo kuinka aallon taajuus $ \ omega $ riippuu sen aallonpituudesta $ \ lambda $ – se on kuitenkin matemaattisesti parempi käyttää käänteistä aallonpituutta tai aaltolukua $ k = 2 \ pi / \ lambda $ yhtälöitä kirjoitettaessa, koska vaiheen nopeus on
$ v _ {\ rm vaihe} \ \ = \ omega / k $
ja ryhmän nopeus on
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $.
Nämä koskevat kaikentyyppisiä aaltoja. Sähkömagneettiset aallot tyhjössä:
$ \ omega (k) = ck $
niin, että
$ v _ {\ rm vaihe} \ \ = v_ { \ rm ryhmä} \ \ = c $.
Aallot ovat dispergoitumattomia. Väliaineessa, jopa homogeenisessa väliaineessa, kuten lasissa, taitekerroin kasvaa taajuuden kanssa (tietysti näkyvässä), niin että valo hajottaa väriä.
Vastaa