Inzicht in dispersierelatie
Geplaatst op februari 14, 2021 door adminIk probeer de fysieke betekenis van de dispersierelatie te begrijpen. Is het hoe inhomogeen een medium is? Of hoeveel de elektromagnetische velden in de media verspreiden? Of?
Antwoord
De dispersierelatie drukt de relatie tussen de golfvector $ k $ en de frequentie $ \ omega $. De dispersierelatie neemt de vorm aan van een functionele relatie voor $ \ omega (k) $ die in het algemeen niet lineair is. Aangezien $ \ omega / k $ in feite de (fase) snelheid van de golf is, beschrijft de dispersierelatie de afhankelijkheid van de fasesnelheid van de golflengte.
Het bekendste voorbeeld is de verspreiding van licht door een prisma:
Zelfs als het prisma van homogeen glas is gemaakt, varieert de brekingsindex van glas met $ k $, wat leidt tot dispersie.
In mechanische golven – zoals aan een snaar of in de lucht – is de relatie $ \ omega / k = $ constante slechts een eerste orde benadering (inderdaad een lineaire benadering in de zin dat de bijbehorende golfvergelijking een lineaire PDE is) en de werkelijke dispersierelatie ingewikkelder is. De frequentie van een golf op een string is bijvoorbeeld realistisch gerelateerd aan de golfvector door $$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alpha k ^ 4 + \ ldots \ tag { 1} $$ waarbij $ T_0 $ de spanning in de snaar is en $ \ rho_0 $ de lineaire dichtheid van de snaar. De coëfficiënt $ \ alpha $ zou $ 0 $ zijn als de string perfect elastisch was. Eq. (1) is geschreven om te suggereren dat dit het begin is van een Taylor-uitbreiding in $ k ^ 2 $.
Om dus specifiek de vraag van het OP te beantwoorden: dispersie meet niet het gebrek aan homogeniteit van een medium, maar eerder het gebrek aan eenvoudige lineariteit tussen $ \ omega $ en $ k $. Het is vooral belangrijk wanneer de golf niet monochromatisch is, aangezien alle golflengten zich met enigszins verschillende frequenties voortplanten, zelfs als het medium fysisch homogeen is.
Aangezien in de kwantumfysica de energie gerelateerd is aan $ \ hbar \ omega $, legt de dispersierelatie enkele essentiële fysieke kenmerken van het probleem vast. De spreidingsrelatie van de Klein-Gordon-vergelijking is bijvoorbeeld gewoon (in eenheden met $ \ hbar $ en $ c = 1 $) $$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$ die gewoon wordt geconverteerd naar de bekende relativistische vergelijking $ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $.
Opmerkingen
- De dispersierelatie van de KdV-vergelijking bevat de amplitude van de golf (eigenlijk de verhouding ervan tot de waterdiepte). Dat ' is de niet-lineariteit, niet de $ k ^ 3 $ -term. Dat is gewoon een meer nauwkeurige weergave van LINEAIRE verspreiding.
- @NickP Ik heb bewerkt door zie vergelijking (7) van whoi.edu/fileserver.do? id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- Het ' s altijd een goed idee om Grimshaw te vertrouwen 🙂 Hij verwoordt precies wat ik ' m zeg.
Antwoord
Een spreidingsrelatie vertelt je hoe de frequentie $ \ omega $ van een golf afhangt van de golflengte $ \ lambda $ – het is echter wiskundig het is beter om de inverse golflengte of golfgetal $ k = 2 \ pi / \ lambda $ te gebruiken bij het schrijven van vergelijkingen omdat de fasesnelheid
$ v _ {\ rm phase} \ \ = \ omega / k $
en de groepssnelheid is
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $.
Deze zijn van toepassing op alle soorten golven. Met betrekking tot elektromagnetische golven in vacuüm:
$ \ omega (k) = ck $
zodat
$ v _ {\ rm phase} \ \ = v_ { \ rm group} \ \ = c $.
De golven zijn verspreidingsloos. In een medium, zelfs een homogeen medium, zoals glas, neemt de brekingsindex toe met de frequentie (in het zichtbare natuurlijk) zodat licht door kleur wordt verspreid.
Geef een reactie