A diszperziós reláció megértése
On február 14, 2021 by adminMegpróbálom megérteni a diszperziós reláció fizikai jelentését. Mennyire nem homogén a média? Vagy mennyire terjedtek el az elektromágneses mezők a médiában? Vagy?
Válasz
A diszperziós reláció kifejezi a a $ k $ hullámvektor és a $ \ omega $ frekvencia kapcsolata. A diszperziós reláció a $ \ omega (k) $ funkcionális relációja, amely általában nem lineáris. Mivel a $ \ omega / k $ alapvetően a hullám (fázis) sebességéhez viszonyul, a diszperziós reláció leírja a fázis sebességének a hullámhossztól való függését.
A legismertebb példa a fény egy prizma:
Even ha a prizma homogén üvegből készül, akkor az üveg törésmutatója $ k $ -val változik, ami diszperzióhoz vezet.
Mechanikai hullámokban – mint egy húrban vagy levegőben – a $ \ omega / k = $ konstans csak első osztályú közelítés (valójában lineáris közelítés ebben az értelemben hogy a hozzá tartozó hullámegyenlet lineáris PDE) és a valódi diszperziós összefüggés bonyolultabb. Például egy húr hullámának frekvenciáját reálisan viszonyítja a hullámvektorhoz a $$ \ omega ^ 2 = \ frac {T_0} {\ rho_0} k ^ 2 + \ alfa k ^ 4 + \ ldots \ tag { 1} $$ ahol $ T_0 $ a húr feszültsége, $ \ rho_0 $ pedig a húr lineáris sűrűsége. A $ \ alpha $ együttható $ 0 $ lenne, mivel a húr tökéletesen rugalmas volt. Az (1) egyenlet arra utal, hogy ez egy Taylor-bővítés kezdete a $ k ^ 2 $ értékben.
Így az OP kérdésének konkrét megválaszolásához: a diszperzió nem a közeg homogenitásának hiányát, hanem inkább a $ \ omega $ és $ k $ közötti egyszerű linearitás hiányát méri. Különösen fontos, ha a hullám nem monokromatikus, mivel az összes hullámhossz kissé eltérő frekvenciákon terjed, még akkor is, ha a közeg fizikailag homogén.
Mivel a kvantumfizikában az energia összefügg a $ \ hbar \ omega $ -val, a diszperziós reláció megragadja a probléma néhány lényeges fizikai jellemzőjét. Például a Klein-Gordon egyenlet diszperziós relációja csak (egységekben $ \ hbar $ és $ c = 1 $ értékekkel) $$ \ omega ^ 2 = k ^ 2 + m ^ 2 $$, amely csak átalakul a jól ismert relativisztikus egyenlet $ E ^ 2 = p ^ 2 + m ^ 2 $.
Megjegyzések
- A KdV egyenlet diszperziós kapcsolata tartalmazza a hullám amplitúdója (valójában annak aránya a víz mélységéhez). Ez ' a nemlinearitást, nem pedig a $ k ^ 3 $ kifejezést. Ez egyszerűen a LINEAR diszperzió pontosabb ábrázolása.
- @NickP Szerkesztettem a whoi.edu/fileserver.do? id = 136524 & pt = 10 & p = 85713
- It ' mindig jó ötlet megbízni Grimshaw-ban 🙂 Pontosan megfogalmazza azt, amit én ' m mondok.
Válasz
A diszperziós reláció megmondja, hogy a hullám $ \ omega $ frekvenciája hogyan függ a $ \ lambda $ hullámhosszától – azonban matematikailag jobb az inverz hullámhossz vagy a $ k = 2 \ pi / \ lambda $ hullámszám használata egyenletek írásakor, mert a fázis sebessége
$ v _ {\ rm fázis} \ \ = \ omega / k $
és a csoport sebessége
$ v _ {\ rm group} \ \ = d \ omega / dk $.
Ezek minden hullámtípusra vonatkoznak. Az elektromágneses hullámok vákuumban:
$ \ omega (k) = ck $
úgy, hogy
$ v _ {\ rm fázis} \ \ = v_ { \ rm csoport} \ \ = c $.
A hullámok diszpergálatlanok. Egy közegben, még egy homogén közegben, például az üvegben is, a törésmutató a frekvenciával növekszik (természetesen a láthatóban), így a fény színben eloszlik.
Vélemény, hozzászólás?