Hvordan får man afledningen af en normalfordeling med dens parametre?
On februar 13, 2021 by adminVi beregner normalt afledningen af normal densitet w.r.t dens parametre, gennemsnit og varians. Men kan vi beregne afledningen af normalfordeling med parametrene (ikke variablen, jeg ved, at den afledte wrt til variablen giver densiteten)? Hvis ja, hvordan beregner vi det?
Svar
Anvend bare kædereglen til differentiering . CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $ for en $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ tilfældig variabel $ X $ er $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) $ og så $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ hvor $ \ phi (x) $ er standard normal tæthed og mængden i firkantede parenteser i det yderste udtryk ovenfor kan genkendes som tætheden af $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $.
Jeg forlader beregningen af afledt med hensyn til $ \ sigma $ eller $ \ sigma ^ 2 $ for dig at træne for dig selv.
Kommentarer
- @indumann Jeg har ingen idé om, hvorfor du vil bruge " normale tabeller " til at finde den numeriske værdi af den afledte $ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ right) \ right] $ da derivatet har en kendt enkel formel. Ja, ældre bøger med tabeller som Abramowitz og Stegun har tabeller over værdierne for den normale densitetsfunktion, men i disse dage med " videnskabelig " lommeregnere er så let tilgængelige for ikke at nævne R og MATLAB og Python og Excel og … det er nemt at evakuere afledningen.
- Jeg spekulerer på, hvad downvoter fandt så anklageligt over mit svar.
Svar
Det er en simpel beregning. Husk at en integral (som er kumulativ sandsynlighedsfunktion) er grundlæggende en sum. Så, et derivat af en sum er det samme som en sum af derivater. Derfor differentierer du simpelthen funktionen (dvs. densitet) under integralet og integrerer. Dette var min bastardiserede version af grundlæggende sætning af beregning, at nogle ikke kunne lide her.
Her skal du gøre det med den normale sandsynlighed. For det første er den generelle relation for sandsynlighedsfunktionen $ F (x; \ mu, \ sigma) $ og densiteten $ f (x; \ mu, \ sigma) $ hvor middelværdien og standardafvigelsen er parametrene: $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ int _ {- \ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
Du brugte faktisk en mere generel form for denne manipulation kaldet Leibnitz-regel , da du nævnte, at differentieringen af sandsynlighedsfunktionen af selve variablen (dvs. $ \ frac {\ partial} {\ delvis x} $) giver dig tætheden (PDF).
Tilslut derefter densiteten: $$ = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu } \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
Ændring af variabler $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $: $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left (- \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {- \ xi} d \ xi \ right) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ left (-1- (e ^ {- \ xi (x)} – 1) \ højre) $$ $$ = – \ frac {e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
Derfor har du følgende: $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = – f (x ; \ mu, \ sigma) $$
Du kan et lignende trick med variansen.
Kommentarer
- @dilipsarwate Tak. Det betyder, at jeg er nødt til at slå de normale tabeller op for at få en værdi. Ret?
- Desværre er det generelt ikke sandt, at " -derivatet af et beløb er det samme som en sum af [derivaterne. "
- Desværre mangler det endelige resultat et negativt tegn (det vises korrekt i formlen ovenfor). Men resultatet er forkert på en anden måde. På dette tidspunkt vil jeg nedstemme dette svar i afventning af korrektion af fejlene og måske en omskrivning af første afsnit.
- Nej, stadig forkert. Fejlen starter lige efter du har sagt " Derefter skal du tilslutte densiteten " og udbrede derfra.
Skriv et svar