Comment obtenir la dérivée dune distribution normale avec ses paramètres?
On février 13, 2021 by adminNous calculons normalement la dérivée de la densité normale par rapport à ses paramètres, sa moyenne et sa variance. Mais peut-on calculer la dérivée de la distribution normale par rapport aux paramètres (pas la variable, je connais la dérivée de la variable qui donne la densité)? Si oui, comment calculer cela?
Réponse
Il suffit dappliquer la règle de chaîne pour la différenciation . La CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $ dune $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ variable aléatoire $ X $ est $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) $ et donc $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ où $ \ phi (x) $ est le standard la densité normale et la quantité entre crochets sur lexpression la plus à droite ci-dessus peuvent être reconnues comme la densité de $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $.
Je vais quitter le calcul du dérivé par rapport à $ \ sigma $ ou $ \ sigma ^ 2 $ pour que vous puissiez travailler par vous-même.
Commentaires
- @indumann Jai aucune idée pourquoi vous voudriez utiliser " tables normales " pour trouver la valeur numérique du dérivé $ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ right) \ right] $ puisque le dérivé a une formule simple connue . Oui, les anciens livres de tableaux tels que Abramowitz et Stegun ont des tableaux des valeurs de la fonction de densité normale, mais de nos jours, avec " scientifique " les calculatrices étant si facilement disponibles pour ne pas mentionner R et MATLAB et Python et Excel et …, il est facile dévaluer le dérivé.
- Je me demande ce que lévaluateur a trouvé répréhensible à propos de ma réponse.
Réponse
Cest un calcul simple. Noubliez pas quune intégrale (qui est le fonction de probabilité cumulative) est fondamentalement une somme. Ainsi, une dérivée dune somme équivaut à une somme de dérivées. Par conséquent, vous différenciez simplement la fonction (cest-à-dire la densité) sous lintégrale et intégrez. Cétait ma version bâtardée théorème fondamental du calcul, que certains naimaient pas ici.
Voici comment vous le feriez avec la probabilité normale. Premièrement, la relation générale pour la fonction de probabilité $ F (x; \ mu, \ sigma) $ et la densité $ f (x; \ mu, \ sigma) $ où la moyenne et lécart type sont les paramètres: $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ int _ {- \ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
En fait, vous avez utilisé un forme plus générale de cette manipulation appelée règle de Leibnitz lorsque vous avez mentionné que la différenciation de la fonction de probabilité par la variable elle-même (ie $ \ frac {\ partial} {\ partial x} $) vous donnera la densité (PDF).
Ensuite, branchez la densité: $$ = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu } \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
Changement de variables $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $: $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left (- \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {- \ xi} d \ xi \ right) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ left (-1- (e ^ {- \ xi (x)} – 1) \ right) $$ $$ = – \ frac {e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
Par conséquent, vous avez ce qui suit: $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = – f (x ; \ mu, \ sigma) $$
Vous pouvez faire un truc similaire avec la variance.
Commentaires
- @dilipsarwate Merci. Cela signifie que je dois rechercher les tables normales pour obtenir une valeur.vrai?
- Malheureusement, il nest généralement pas vrai que le dérivé " dune somme soit la même chose quune somme de [les] dérivées. "
- Malheureusement, il manque un signe négatif au résultat final (il apparaît correctement dans la formule ci-dessus). Mais le résultat est également faux dune autre manière. Pour le moment, je vais voter contre cette réponse en attendant la correction des erreurs, et peut-être une réécriture du premier paragraphe.
- Non, toujours incorrect. Lerreur commence juste après avoir dit " Ensuite, branchez la densité " et se propage à partir de là.
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