Hur får man derivatet av en normalfördelning med dess parametrar?
On februari 13, 2021 by adminVi beräknar normalt derivatet av normal densitet med parametrar, medelvärde och varians. Men kan vi beräkna derivatet av normalfördelning med parametrarna (inte variabeln, jag vet att derivatet wrt till variabeln ger densiteten)? Om ja, hur beräknar vi det?
Svar
Använd bara kedjeregeln för differentiering . CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $ för en $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ slumpmässig variabel $ X $ är $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ höger) $ och så $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ där $ \ phi (x) $ är standard normal densitet och kvantiteten inom hakparenteser till höger ovanför uttrycket kan kännas igen som densiteten på $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $.
Jag lämnar beräkningen av derivat med avseende på $ \ sigma $ eller $ \ sigma ^ 2 $ för att du ska träna själv.
Kommentarer
- @indumann Jag har ingen idé varför du vill använda " normala tabeller " för att hitta det numeriska värdet på derivatet $ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ höger) \ höger] $ eftersom derivatet har en känd enkel formel. Ja, äldre tabellböcker som Abramowitz och Stegun har tabeller över värdena för normal densitetsfunktion, men idag med " vetenskaplig " miniräknare är så lätt tillgängliga för att inte nämna R och MATLAB och Python och Excel och … det är enkelt att evakuera derivatet.
- Jag undrar vad downvoter fann så stötande över mitt svar.
Svar
Det är en enkel kalkyl. Kom ihåg att en integral (som är kumulativ sannolikhetsfunktion) är i grunden en summa. Så, ett derivat av en summa är detsamma som en summa av derivat. Därför differentierar du helt enkelt funktionen (dvs. densitet) under integralen och integrerar. Detta var min bastardiserade version av grundläggande sats för kalkyl, att vissa inte tyckte här.
Så här skulle du göra det med normal sannolikhet. Först den allmänna relationen för sannolikhetsfunktionen $ F (x; \ mu, \ sigma) $ och densiteten $ f (x; \ mu, \ sigma) $ där medelvärdet och standardavvikelsen är parametrarna: $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ int _ {- \ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
Du använde faktiskt en mer allmän form av denna manipulation som kallas Leibnitz-regel när du nämnde att differentieringen av sannolikhetsfunktionen av själva variabeln (dvs. $ \ frac {\ partial} {\ delvis x} $) ger dig densiteten (PDF).
Anslut därefter densiteten: $$ = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu } \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
Ändring av variabler $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $: $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left (- \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {- \ xi} d \ xi \ höger) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ vänster (-1- (e ^ {- \ xi (x)} – 1) \ höger) $$ $$ = – \ frac {e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
Därför har du följande: $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = – f (x ; \ mu, \ sigma) $$
Du kan göra ett liknande trick med variansen.
Kommentarer
- @dilipsarwate Tack. Det betyder att jag måste slå upp de normala tabellerna för att få ett värde. Rätt?
- Tyvärr är det generellt sett inte sant att " -derivatet av en summa är samma som en summa av [derivaten. "
- Tyvärr saknar slutresultatet ett negativt tecken (det visas korrekt i formeln ovan). Men resultatet är också fel på ett annat sätt. Vid den här tiden kommer jag att nedrösta detta svar i väntan på korrigering av felen, och kanske en omskrivning av första stycket.
- Nej, fortfarande fel. Felet börjar direkt efter att du har sagt " Därefter ansluter du densiteten " och sprider sig därifrån.
Lämna ett svar