Como obter a derivada de uma distribuição normal com seus parâmetros?
On Fevereiro 13, 2021 by adminNormalmente calculamos a derivada da densidade normal com seus parâmetros, média e variância. Mas podemos calcular a derivada da distribuição normal com os parâmetros (não a variável, eu sei que a derivada com a variável dá a densidade)? Em caso afirmativo, como calculamos isso?
Resposta
Basta aplicar a regra da cadeia para diferenciação . O CDF $ F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) $ de uma $ N (\ mu, \ sigma ^ 2) $ variável aleatória $ X $ é $ \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) $ e assim $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} \ Phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ frac {-1} {\ sigma} = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma} \ right) \ right] $$ onde $ \ phi (x) $ é o padrão a densidade normal e a quantidade entre colchetes na expressão mais à direita acima podem ser reconhecidas como a densidade de $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ 2) $.
Vou deixar o cálculo do derivado em relação a $ \ sigma $ ou $ \ sigma ^ 2 $ para você descobrir por si mesmo.
Comentários
- @indumann que eu tenho não a ideia de por que você iria querer usar " tabelas normais " para encontrar o valor numérico da derivada $ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F_X (x; \ mu, \ sigma ^ 2) = – \ left [\ frac {1} {\ sigma} \ phi \ left (\ frac {x- \ mu } { \ sigma} \ right) \ right] $ já que a derivada tem uma fórmula simples conhecida . Sim, livros mais antigos de tabelas, como Abramowitz e Stegun , têm tabelas dos valores da função de densidade normal, mas atualmente, com " científico " calculadoras tão prontamente disponíveis para não mencionar R e MATLAB e Python e Excel e …, avaliar a derivada é fácil.
- Eu me pergunto o que o downvoter descobriu isso questionável sobre minha resposta.
Resposta
É um cálculo simples. Lembre-se de que uma integral (que é o função de probabilidade cumulativa) é basicamente uma soma. Portanto, uma derivada de uma soma é o mesmo que uma soma de derivadas. Portanto, você simplesmente diferencia a função (ou seja, densidade) na integral e integra. Esta foi a minha versão bastardizada do teorema fundamental do cálculo, que alguns não gostaram aqui.
Veja como você faria isso com a probabilidade normal. Primeiro, a relação geral para a função de probabilidade $ F (x; \ mu, \ sigma) $ e a densidade $ f (x; \ mu, \ sigma) $ onde a média e o desvio padrão são os parâmetros: $$ \ frac {\ parcial} {\ parcial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = \ frac {\ parcial} {\ parcial \ mu} \ int _ {- \ infty} ^ xf (x; \ mu, \ sigma ) dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} f (x; \ mu, \ sigma) dx $$
Você, na verdade, usou um forma mais geral desta manipulação chamada regra de Leibnitz quando você mencionou que a diferenciação da função de probabilidade pela própria variável (ou seja, $ \ frac {\ partial} {\ parcial x} $) fornecerá a densidade (PDF).
Em seguida, conecte a densidade: $$ = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {\ partial} {\ partial \ mu } \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx = \ int _ {- \ infty} ^ x \ frac {2 ( x- \ mu)} {\ sigma ^ 2} \ frac {e ^ {- (x- \ mu) ^ 2 / \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} dx $$
Mudança de variáveis $ \ xi = \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2} $: $$ = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma } \ left (- \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ xi} d \ xi + \ int_ {0} ^ {\ xi (x)} e ^ {- \ xi} d \ xi \ right) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ left (-1- (e ^ {- \ xi (x)} – 1) \ right) $$ $$ = – \ frac {e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {\ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} $$
Portanto, você tem o seguinte: $$ \ frac {\ partial} {\ partial \ mu} F (x; \ mu, \ sigma) = – f (x ; \ mu, \ sigma) $$
Você pode fazer um truque semelhante com a variância.
Comentários
- @dilipsarwate Obrigado. Isso significa que tenho que consultar as tabelas normais para obter um valor. Certo?
- Infelizmente, geralmente não é verdade que a " derivada de uma soma é o mesmo que uma soma de [as] derivadas. "
- Infelizmente, o resultado final está sem um sinal negativo (ele aparece corretamente na fórmula acima). Mas o resultado também está errado de outra maneira. Neste momento, irei votar contra esta resposta enquanto se aguarda a correção dos erros e talvez uma reescrita do primeiro parágrafo.
- Não, ainda incorreto. O erro começa logo depois de você dizer " Em seguida, conecte a densidade " e se propague a partir daí.
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