¿Cómo saber si una transformación es una transformación canónica?
On febrero 17, 2021 by adminTeníamos un par de ejemplos en los que se suponía que debíamos calcular la transformación canónica ( CT), pero nunca hablamos de una condición que decide si una transformación es canónica o no.
Déjame darte un ejemplo: Tuvimos la transformación: $$ P = q \ cdot \ cot (p), \ qquad Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right). $$ ¿Cómo veo si esta transformación es canónica o no?
No tiene que realizar el cálculo completo, pero tal vez pueda darme una pista de lo que necesito mostrar aquí.
Comentarios
- Más sobre CT: physics.stackexchange.com/q/69337/2451
Respuesta
Hay tres pruebas sencillas para comprobar si una transformación es canónica. Tenga en cuenta que algunas constantes multiplicativas pueden aparecer en ciertos libros de texto, según la definición exacta de transformación canónica.
Notación
Sea $ x = (p, q) $ las variables $ 2n $ y las variables transformadas $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.
El método del jacobiano simpléctico
Sea $ J = \ parcial \ tilde {x} / \ parcial x $ ser la matriz jacobiana de la transformación. Además, sea $ \ mathbb {E} $ una matriz de bloques de $ 2n \ times 2n $ $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$
Luego, el La transformación es canónica si y solo si
$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$
El método de los corchetes de Poisson
La transformación es canónica si y solo si se conservan los corchetes de Poisson fundamentales
$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$
El método de la forma diferencial de Liouville
Esto es algo menos práctico, pero lo incluyo para completarlo. La transformación es canónica si y solo si la forma diferencial $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ está cerrada.
Comentarios
- ¿Puede darnos una referencia para el método del jacobiano simpléctico (preferiblemente un libro)? 🙂
Respuesta
Sugerencia: Los corchetes de Poisson son invariantes canónicos, esto es
$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$
Comentarios
- por lo que es suficiente mostrar que $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
- Sí; esta es la definición más sólida de un CT. Dado que los PB son derivados, es decir, obedecen la regla de la cadena, solo necesita calcular dos términos, fácilmente, para verificar la relación sobre la que está preguntando.
Respuesta
Otra forma (un atajo práctico) es intentar encontrar una función generadora. En este caso, usaremos $ F_3 (Q, p) $ ya que $ Q $ y $ p $ parecen ser una variable más básica. Las ecuaciones originales son equivalentes a \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin p. \ tag {2} \ end {align} Eq. (1) es equivalente a \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}
Ahora de Eqs. (2) y (3), podemos verificar fácilmente que $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ satisface \ begin {align} P = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial Q}, \ etiqueta {4} \\ q = – \ frac {\ parcial F_3} {\ parcial p}. \ tag {5} \ end {align} Esto significa que la transformación dada es generada por este $ F_3 (Q, p) $, y por lo tanto es canónica.
Note que la posible forma funcional de $ F_3 (Q, p) $ se puede deducir de un enfoque de prueba y error. En este caso, en realidad integramos la Ec. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$ y luego verificó que cumplió con la ecuación . (5).
Respuesta
La respuesta de Enucatl es suficientemente satisfactoria. Sin embargo, en el ejemplo $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ dado en la pregunta, parece que hay un desajuste dimensional.
El argumento dentro de $ \ cot $ debe ser $ [p / (p_o)] $ donde $ p_o $ tiene dimensiones de impulso y el argumento del logaritmo debe ser $ $ q_o \ frac {\ sin (p / p «_o)} {q}, $$ $ p» _o $ no necesita ser igual a $ p_o $. Incluso si P y Q no tienen dimensiones de momento y longitud respectivamente, puede que no importe (bien conocido por cualquier caso general de una transformación canónica).
Tengo curiosidad por saber si las operaciones para la coincidencia dimensional implícita (como la forma de moda (que no me gusta) de ciertos libros tomando $ c = 1 $ y llamando a la energía relativista de una partícula libre $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} $ en lugar de $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ etc.).
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