Cum să aflăm dacă o transformare este o transformare canonică?

Există trei teste ușoare pentru a verifica dacă o transformare este canonică. Rețineți că unele constante multiplicative ar putea apărea în anumite manuale, în funcție de definiția exactă a transformare canonică.

Notare

Fie $ x = (p, q) $ variabilele $ 2n $, iar variabilele transformate $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.

Metoda jacobianului simplectic

Fie $ J = \ partial \ tilde {x} / \ partial x $ să fie matricea iacobiană a transformării. Mai mult, să fie $ \ mathbb {E} $ o matrice de bloc $ 2n \ times 2n $ $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$

Apoi transformarea este canonică dacă și numai dacă

$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$

Metoda parantezelor Poisson

Transformarea este canonică dacă și numai dacă parantezele Poisson fundamentale sunt păstrate

$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$

metoda formei diferențiale Liouville

Aceasta este oarecum mai puțin practică, dar o includ pentru completitudine. Transformarea este canonică dacă și numai dacă forma diferențială $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ este închisă.

Comentarii

• Puteți da o referință pentru metoda jacobianului simplectic (de preferință o carte)? 🙂

Sugestie: parantezele Poisson sunt invarianți canonici, acesta este

$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$

Comentarii

• deci este suficient să arătați că $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
• Da; aceasta este definiția mai robustă a unui CT. Deoarece PB-urile sunt derivate, adică respectă regula lanțului, trebuie să calculați doar doi termeni, cu ușurință, pentru a verifica relația pe care o întrebați.

Un alt mod (o scurtătură practică) este să încercați să găsiți o funcție generatoare. În acest caz, vom folosi $ F_3 (Q, p) $ deoarece $ Q $ și $ p $ par a fi mai variabile de bază. Ecuațiile inițiale sunt echivalente cu \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin p. \ tag {2} \ end {align} Ec. (1) este echivalent cu \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}

Acum din ecuații. (2) și (3), putem verifica cu ușurință că $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ satisface \ begin {align} P = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial p}. \ tag {5} \ end {align} Acest lucru înseamnă că transformarea dată este generată de acest $ F_3 (Q, p) $ și, prin urmare, este canonică.

Rețineți că posibila formă funcțională a $ F_3 (Q, p) $ poate fi dedus dintr-o abordare de încercare și eroare. În acest caz, am integrat de fapt Eq. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$ și apoi a verificat că a îndeplinit Eq . (5).

Răspunsul lui Enucatl este suficient de satisfăcător. Cu toate acestea, în exemplul $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ dat în întrebare, se pare că există o nepotrivire dimensională.

Argumentul din interiorul $ \ cot $ trebuie să fie de ceva $ [p / (p_o)] $ unde $ p_o $ are dimensiuni de impuls și argumentul logaritmului trebuie să fie $ $ q_o \ frac {\ sin (p / p „_o)} {q}, $$ $ p” _o $ nu trebuie să fie egal cu $ p_o $. Chiar dacă P și Q nu au dimensiuni de impuls și, respectiv, lungime, este posibil să nu aibă importanță (bine cunoscut ca în orice caz general al unei transformări canonice).

Sunt curios să știu dacă operațiile pentru potrivirea dimensională implicit (cum ar fi modul la modă (care nu-mi place) de a face anumite cărți care iau $ c = 1 $ și numesc energia relativistă a unei particule libere $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} $ în loc de $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ etc.).