Skip to content
Tiantan
Articles

Cum să aflăm dacă o transformare este o transformare canonică?

On februarie 17, 2021 by admin

Am avut câteva exemple în care trebuia să calculăm Transformarea canonică ( CT), dar niciodată nu am vorbit de fapt despre o condiție care decide dacă o transformare este una canonică sau nu.

Permiteți-mi să vă dau un exemplu: Am avut transformarea: $$ P = q \ cdot \ cot (p), \ qquad Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right). $$ Cum văd dacă această transformare este una canonică sau nu?

Nu trebuie să efectuezi calculul complet, dar poate îmi dai un indiciu despre ce trebuie să arăt aici?

Comentarii

  • Mai multe despre CT: physics.stackexchange.com/q/69337/2451

Răspuns

Există trei teste ușoare pentru a verifica dacă o transformare este canonică. Rețineți că unele constante multiplicative ar putea apărea în anumite manuale, în funcție de definiția exactă a transformare canonică.

Notare

Fie $ x = (p, q) $ variabilele $ 2n $, iar variabilele transformate $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.

Metoda jacobianului simplectic

Fie $ J = \ partial \ tilde {x} / \ partial x $ să fie matricea iacobiană a transformării. Mai mult, să fie $ \ mathbb {E} $ o matrice de bloc $ 2n \ times 2n $ $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$

Apoi transformarea este canonică dacă și numai dacă

$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$

Metoda parantezelor Poisson

Transformarea este canonică dacă și numai dacă parantezele Poisson fundamentale sunt păstrate

$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$

metoda formei diferențiale Liouville

Aceasta este oarecum mai puțin practică, dar o includ pentru completitudine. Transformarea este canonică dacă și numai dacă forma diferențială $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ este închisă.

Comentarii

  • Puteți da o referință pentru metoda jacobianului simplectic (de preferință o carte)? 🙂

Răspuns

Sugestie: parantezele Poisson sunt invarianți canonici, acesta este

$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$

Comentarii

  • deci este suficient să arătați că $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
  • Da; aceasta este definiția mai robustă a unui CT. Deoarece PB-urile sunt derivate, adică respectă regula lanțului, trebuie să calculați doar doi termeni, cu ușurință, pentru a verifica relația pe care o întrebați.

Răspuns

Un alt mod (o scurtătură practică) este să încercați să găsiți o funcție generatoare. În acest caz, vom folosi $ F_3 (Q, p) $ deoarece $ Q $ și $ p $ par a fi mai variabile de bază. Ecuațiile inițiale sunt echivalente cu \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin p. \ tag {2} \ end {align} Ec. (1) este echivalent cu \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}

Acum din ecuații. (2) și (3), putem verifica cu ușurință că $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ satisface \ begin {align} P = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial p}. \ tag {5} \ end {align} Acest lucru înseamnă că transformarea dată este generată de acest $ F_3 (Q, p) $ și, prin urmare, este canonică.

Rețineți că posibila formă funcțională a $ F_3 (Q, p) $ poate fi dedus dintr-o abordare de încercare și eroare. În acest caz, am integrat de fapt Eq. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$ și apoi a verificat că a îndeplinit Eq . (5).

Răspuns

Răspunsul lui Enucatl este suficient de satisfăcător. Cu toate acestea, în exemplul $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ dat în întrebare, se pare că există o nepotrivire dimensională.

Argumentul din interiorul $ \ cot $ trebuie să fie de ceva $ [p / (p_o)] $ unde $ p_o $ are dimensiuni de impuls și argumentul logaritmului trebuie să fie $ $ q_o \ frac {\ sin (p / p „_o)} {q}, $$ $ p” _o $ nu trebuie să fie egal cu $ p_o $. Chiar dacă P și Q nu au dimensiuni de impuls și, respectiv, lungime, este posibil să nu aibă importanță (bine cunoscut ca în orice caz general al unei transformări canonice).

Sunt curios să știu dacă operațiile pentru potrivirea dimensională implicit (cum ar fi modul la modă (care nu-mi place) de a face anumite cărți care iau $ c = 1 $ și numesc energia relativistă a unei particule libere $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} $ în loc de $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ etc.).

Written by admin

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Articole recente

  • Folosind un balun cu un dipol rezonant
  • Care este diferența dintre “ nu poate ” și “ nu poate ”? [duplicat]
  • La JFK, vă puteți deplasa între terminalele aeriene pe zborurile interne?
  • “ Apreciat profund ” sau “ apreciat cu drag ”
  • Ce înseamnă ' idei abstracte '? [închis]

Arhive

  • februarie 2021
  • ianuarie 2021
  • decembrie 2020
  • noiembrie 2020
  • Deutsch
  • Nederlands
  • Svenska
  • Norsk
  • Dansk
  • Español
  • Français
  • Português
  • Italiano
  • Română
  • Polski
  • Čeština
  • Magyar
  • Suomi
  • 日本語
  • 한국어

Copyright Tiantan 2021 | Theme by Theme in Progress | Proudly powered by WordPress

Back to top