Hvordan finder jeg ud af, om en transformation er en kanonisk transformation?
On februar 17, 2021 by adminVi havde et par eksempler, hvor vi skulle beregne Canonical Transformation ( CT), men vi talte faktisk aldrig om en tilstand, der bestemmer, om en transformation er en kanonisk eller ej.
Lad mig give dig et eksempel: Vi havde transformationen: $$ P = q \ cdot \ cot (p), \ qquad Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right). $$ Hvordan kan jeg se, om denne transformation er kanonisk eller ej?
Du behøver ikke udføre den fulde beregning, men måske kan du give mig et tip, hvad jeg har brug for at vise her?
Kommentarer
- Mere om CT: physics.stackexchange.com/q/69337/2451
Svar
Der er tre nemme test for at kontrollere, om en transformation er kanonisk. Bemærk, at nogle multiplikative konstanter muligvis dukker op i bestemte lærebøger afhængigt af den nøjagtige definition af kanonisk transformation.
Notation
Lad $ x = (p, q) $ være $ 2n $ -variablerne, og de transformerede variabler være $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.
Metoden til det symplektiske jacob
Lad $ J = \ partial \ tilde {x} / \ partial x $ være den Jacobianske matrix for transformationen. Lad os desuden $ \ mathbb {E} $ være $ 2n \ gange 2n $ blokmatrix $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$
Derefter transformation er kanonisk, hvis og kun hvis
$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$
Metoden til Poisson-parenteser
Transformationen er kanonisk, hvis og kun hvis de grundlæggende Poisson-parenteser bevares
$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$
metode til Liouville differentieringsform
Dette er noget mindre praktisk, men jeg inkluderer det for fuldstændighed. Transformationen er kanonisk, hvis og kun hvis differensformen $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ er lukket.
Kommentarer
- Kan du give en reference til metoden til den symplektiske jacobian (helst en bog)? 🙂
Svar
Tip: Poisson-parenteser er kanoniske invarianter, dette er
$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$
Kommentarer
- så det er tilstrækkeligt at vise, at $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
- Ja; dette er den mere robuste definition af en CT. Da PBer er derivatlignende, dvs. overholder kædereglen, behøver du kun beregne to udtryk, let for at verificere den relation, du spørger om.
Svar
En anden måde (en praktisk genvej) er at prøve at finde en genereringsfunktion. I dette tilfælde bruger vi $ F_3 (Q, p) $, da $ Q $ og $ p $ ser ud til at være mere grundlæggende variabler. De originale ligninger svarer til \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin s. \ tag {2} \ end {align} Lig. (1) svarer til \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}
Nu fra Eqs. (2) og (3), kan vi let kontrollere, at $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ opfylder \ begin {align} P = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial p}. \ tag {5} \ end {align} Dette betyder for den givne transformation genereres af denne $ F_3 (Q, p) $, og er derfor kanonisk.
Bemærk, at den mulige funktionelle form af $ F_3 (Q, p) $ kan udledes af en prøve-og-fejl-tilgang. I dette tilfælde integrerede vi faktisk Eq. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$ og derefter bekræftet, at den var tilfreds . (5).
Svar
Svaret fra Enucatl er tilfredsstillende nok. I eksemplet $$ $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ givet i spørgsmålet, det ser ud til, at der er dimensionel uoverensstemmelse.
Argumentet inde i $ \ cot $ skal være nogle $ [p / (p_o)] $, hvor $ p_o $ har dimensioner af momentum, og argumentet for logaritmen skal være $ $ q_o \ frac {\ sin (p / p “_o)} {q}, $$ $ p” _o $ behøver ikke være lig med $ p_o $. Selvom P og Q ikke har dimensioner af henholdsvis momentum og længde, betyder det måske ikke noget (velkendt som i ethvert generelt tilfælde af en kanonisk transformation).
Jeg er nysgerrig efter at vide, om operationerne til dimensionel matching underforstået (som den moderigtige (som jeg ikke kan lide) måde, hvorpå visse bøger tager $ c = 1 $ og kalder den relativistiske energi af en fri partikel $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} $ i stedet for $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ osv.).
Skriv et svar