Hvordan finne ut om en transformasjon er en kanonisk transformasjon?
On februar 17, 2021 by adminVi hadde et par eksempler der vi skulle beregne Canonical Transformation ( CT), men vi har faktisk aldri snakket om en tilstand som avgjør om en transformasjon er en kanonisk eller ikke.
La meg gi deg et eksempel: Vi hadde transformasjonen: $$ P = q \ cdot \ cot (p), \ qquad Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right). $$ Hvordan kan jeg se om denne transformasjonen er en kanonisk eller ikke?
Du trenger ikke å utføre hele beregningen, men kanskje du kan gi meg et hint hva jeg trenger å vise her?
Kommentarer
- Mer om CT: physics.stackexchange.com/q/69337/2451
Svar
Det er tre enkle tester for å sjekke om en transformasjon er kanonisk. Vær oppmerksom på at noen multiplikative konstanter kan dukke opp i visse lærebøker, avhengig av den nøyaktige definisjonen av kanonisk transformasjon.
Notasjon
La $ x = (p, q) $ være $ 2n $ -variablene, og de transformerte variablene være $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.
Metoden til den symplektiske jakoben
La $ J = \ delvis \ tilde {x} / \ partial x $ være den Jacobianske matrisen for transformasjonen. Videre, la $ \ mathbb {E} $ være en $ 2n \ ganger 2n $ blokkmatrise $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$
Så transformasjon er kanonisk hvis og bare hvis
$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$
Metoden for Poisson-parenteser
Transformasjonen er kanonisk hvis og bare hvis de grunnleggende Poisson-parentesene er bevart
$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$
metode for Liouville differensialform
Dette er noe mindre praktisk, men jeg inkluderer det for fullstendighet. Transformasjonen er kanonisk hvis og bare hvis differensialformen $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ er stengt.
Kommentarer
- Kan du gi en referanse til metoden til den symplektiske jacoben (helst en bok)? 🙂
Svar
Tips: Poisson-parenteser er kanoniske invarianter, dette er
$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$
Kommentarer
- så det er tilstrekkelig å vise at $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
- Ja; dette er den mer robuste definisjonen av en CT. Siden PB-er er derivatlignende, dvs. overholder kjederegelen, trenger du bare å beregne to termer, enkelt, for å verifisere forholdet du spør om.
Svar
En annen måte (en praktisk snarvei) er å prøve å finne en genereringsfunksjon. I dette tilfellet skal vi bruke $ F_3 (Q, p) $ siden $ Q $ og $ p $ ser ut til å være mer grunnleggende variabler. De opprinnelige ligningene tilsvarer \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin s. \ tag {2} \ end {align} Lik. (1) tilsvarer \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}
Nå fra Eqs. (2) og (3), kan vi lett bekrefte at $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ tilfredsstiller \ begin {align} P = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ partial F_3} {\ partial p}. \ tag {5} \ end {align} Dette betyr at for den gitte transformasjonen genereres av denne $ F_3 (Q, p) $, og er dermed kanonisk.
Merk at den mulige funksjonelle formen til $ F_3 (Q, p) $ kan trekkes fra en prøve-og-feil-tilnærming. I dette tilfellet integrerte vi faktisk Eq. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$ og deretter bekreftet at den var tilfreds . (5).
Svar
Svaret fra Enucatl er tilfredsstillende nok. I eksemplet $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ gitt i spørsmålet, det ser ut til at det er dimensjonal uoverensstemmelse.
Argumentet i $ \ cot $ må være $ $ [p / (p_o)] $ hvor $ p_o $ har dimensjoner på momentum og argumentet til logaritmen må være $ $ q_o \ frac {\ sin (p / p «_o)} {q}, $$ $ p» _o $ trenger ikke være lik $ p_o $. Selv om P og Q ikke har dimensjoner av henholdsvis momentum og lengde, kan det ikke ha noe å si (kjent som et generelt tilfelle av en kanonisk transformasjon).
Jeg er nysgjerrig på å vite om operasjonene for dimensjonal matching underforstått (som den fasjonable (som jeg ikke liker) måten at visse bøker tar $ c = 1 $ og kaller den relativistiske energien til en fri partikkel $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} $ i stedet for $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ osv.).
Legg igjen en kommentar