Jak dowiedzieć się, czy transformacja jest transformacją kanoniczną?
On 17 lutego, 2021 by adminMieliśmy kilka przykładów, w których mieliśmy obliczyć transformację kanoniczną ( CT), ale tak naprawdę nigdy nie mówiliśmy o warunku, który decyduje o tym, czy transformacja jest kanoniczna, czy nie.
Podam przykład: mieliśmy transformację: $$ P = q \ cdot \ cot (p), \ qquad Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right). $$ Jak sprawdzić, czy ta transformacja jest kanoniczna, czy nie?
Nie musisz wykonywać pełnych obliczeń, ale może możesz podpowiedzieć mi, co mam tutaj pokazać?
Komentarze
- Więcej na temat CT: physics.stackexchange.com/q/69337/2451
Odpowiedź
Istnieją trzy proste testy pozwalające sprawdzić, czy transformacja jest kanoniczna. Pamiętaj, że w niektórych podręcznikach mogą pojawiać się pewne mnożnikowe stałe, w zależności od dokładnej definicji transformacja kanoniczna.
Notacja
Niech $ x = (p, q) $ będzie zmiennymi $ 2n $, a przekształconymi zmiennymi $ \ tilde {x} (x) = (\ tilde {p} (p, q), \ tilde {q} (p, q)) $.
Metoda symplektycznego jakobianu
Niech $ J = \ częściowa \ tylda {x} / \ częściowa x $ będzie jakobianową macierzą transformacji. Ponadto niech $ \ mathbb {E} $ będzie $ 2n \ times 2n $ macierzą blokową $$ \ mathbb {E} = \ begin { pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} $$
Następnie transformacja jest kanoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy
$$ J \ mathbb {E} J ^ T = \ mathbb {E} $$
Metoda nawiasów Poissona
Przekształcenie jest kanoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy zachowane są podstawowe nawiasy Poissona
$$ \ {\ tilde {p} _i, \ tilde {p} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {q} _j \} = 0 \ qquad \ {\ tilde {q} _i, \ tilde {p} _j \} = \ delta_ {ij} $$
metoda formy różniczkowej Liouvillea
Jest to trochę mniej praktyczne, ale dołączam ją dla kompletności. Przekształcenie jest kanoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy forma różniczkowa $ \ sum_i p_i \ mathrm {d} q_i – \ sum_i \ tilde {p} _i \ mathrm {d} \ tilde {q} _i $ jest zamknięta.
Komentarze
- Czy możesz podać odniesienie do metody symplektycznego jakobianu (najlepiej książka)? 🙂
Odpowiedź
Wskazówka: Nawiasy Poissona są niezmiennikami kanonicznymi, to jest
$$ \ {F, G \} _ {q, p} = \ {F, G \} _ {Q, P} $$
Komentarze
- wystarczy więc wykazać, że $ \ {Q, P \} _ {q, p} = 1 $?
- Tak; jest to bardziej solidna definicja CT. Ponieważ PB są podobne do pochodnych, tj. Przestrzegają reguły łańcucha, wystarczy obliczyć łatwo tylko dwa wyrazy, aby zweryfikować relację, o którą pytasz.
Odpowiedź
Innym sposobem (praktycznym skrótem) jest próba znalezienia funkcji generującej. W tym przypadku użyjemy $ F_3 (Q, p) $, ponieważ $ Q $ i $ p $ wydają się bardziej podstawowymi zmiennymi. Oryginalne równania są równoważne z \ begin {align} P & = q \, \ cot p \ tag {1} \\ q & = e ^ {- Q} \, \ sin p. \ tag {2} \ end {align} Eq. (1) jest odpowiednikiem \ begin {align} P = e ^ {- Q} \, \ cos p. \ tag {3} \ end {align}
Teraz z Eqs. (2) i (3), możemy z łatwością sprawdzić, czy $ F_3 (Q, p) = e ^ {- Q} \ cos p $ spełnia \ begin {align} P = – \ frac {\ częściowe F_3} {\ częściowe Q}, \ tag {4} \\ q = – \ frac {\ części F_3} {\ częściowe p}. \ tag {5} \ end {align} Oznacza to, że dla danej transformacji jest generowana przez $ F_3 (Q, p) $, a zatem jest kanoniczna.
Zauważ, że możliwa forma funkcjonalna $ F_3 (Q, p) $ można wywnioskować z metody prób i błędów. W tym przypadku faktycznie zintegrowaliśmy Eq. (4), $$ F_3 = – \ int P \, dQ = – \ int e ^ {- Q} \ cos p \, dQ = e ^ {- Q} \ cos p, $$, a następnie zweryfikowano, że jest spełnione równanie . (5).
Odpowiedź
Odpowiedź Enucatla jest wystarczająco satysfakcjonująca. Jednak w przykładzie $$ P = q \ cot (p), $$ $$ Q = \ ln \ left (\ frac {\ sin (p)} {q} \ right), $$ podane w pytaniu, wygląda na to, że występuje niedopasowanie wymiarowe.
Argument wewnątrz $ \ cot $ musi wynosić około $ [p / (p_o)] $, gdzie $ p_o $ ma wymiary pędu, a argument logarytmu musi wynosić $ $ q_o \ frac {\ sin (p / p „_o)} {q}, $$ $ p” _o $ nie musi być równe $ p_o $. Nawet jeśli P i Q nie mają odpowiednio wymiarów pędu i długości, może to nie mieć znaczenia (dobrze znane jako każdy ogólny przypadek transformacji kanonicznej).
Jestem ciekawy, czy operacje dopasowywania wymiarowego dorozumiany (jak modny (który mi się nie podoba) sposób, w jaki niektóre książki biorą $ c = 1 $ i nazywają relatywistyczną energię wolnej cząstki $ E = (m ^ 2 + p ^ 2) ^ {1/2} $ zamiast $ E = (m ^ 2 c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2) ^ {1/2} $ itd.).
Dodaj komentarz